文档内容
第 01 讲 二次根式（2 个知识点+2 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
①“ ”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根
式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
知识点2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性． （a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能
利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识复习
一．二次根式的定义（共18小题）
1．（2023春•北仑区校级期中）如果 是二次根式，那么 应满足的条件是 ．
2．（2023春•霍邱县期末）代数式 是二次根式（填“一定”“一定不”“不一
定”
3．（2023 春•钢城区期中）观察下列各式：① ，② ，③
， ，根据以上规律，第 个等式应为： ．
4．（2023春•西宁期末）下列各式中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
5．（2023春•信州区校级期中）若 是整数，则正整数 的最小值是
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2023春•西青区期中）已知 是整数，非负整数 的最小值是
A．4 B．3 C．2 D．0
7．（2023春•中江县月考）若 是二次根式，则 的取值范围是
A． 为非负数 B． C． D．
8．（2023春•兴县期中）下列式子中，是二次根式的有 个① ；② ；③ ；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023春•泰山区期末）已知下列各式： ， ， ， ， ，
其中二次根式的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023春•长寿区校级月考）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数
式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，
求得的商就会出现类似 这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如 ，
都是根分式．
已知两个根分式 与 ．则下列说法：
①根分式 中 的取值范围为： 且 ；
②存在实数 ，使得 ；
③存在两个无理数 ，使得 是一个整数．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2023 春•密云区校级期末）在式子① ，② ，③ ，④
，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）．12．（2022秋•宁德期末）已知 是正整数， 是整数，则 的最小值是2．那么若 是
正整数， 是大于1的整数，则 的最大值与最小值的差是 ．
13．（2023春•唐县期末）如图，在数轴上所表示的 的取值范围中，有意义的二次根式
是
A． B． C． D．
14．（2023春•武昌区校级期中）若 是整数，则满足条件的最小正整数 的值为
．
15．（2023春•诸暨市期末）当 时，二次根式 的值是 ．
16．（2023春•鹿城区校级期中）当 时，二次根式 的值是 ．
17．（2023春•大足区期末）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是
用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得
的商就会出现类似 这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如
都是根分式，已知两个根分式 与 ，则下列说法：
①根分式 中 的取值范围为： 且 ；
②存在实数 ，使得 ；③存在无理数 ，使得 是一个整数；
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
18．（2023春•盐城期中）定义：若两个二次根式 ， 满足 ，且 是有理数，
则称 与 是关于 的因子二次根式．
（1）若 与 是关于4的因子二次根式，则 ；
（2）若 与 是关于 的因子二次根式，求 的值．
二．二次根式有意义的条件（共20小题）
19．（2023春•泸县校级期末）要使代数式 有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
20．（2023•湘潭）若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
21．（2023•保定一模）若二次根式 有意义，则 的取值范围在数轴上表示正确的是
A． B． C． D．
22．（2023春•增城区期末）代数式 有意义时， 应满足的条件为
A． B． C． D．
23．（2023春•岳池县期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．24．（2023•淮安模拟）使 有意义的 的取值范围在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
25．（2023秋•吉州区期末）对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y＝aX+bY，其中a，b为
常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若 成立，那么2*3＝
．
26．（2023秋•丹江口市期末）已知 a、b分别为等腰三角形的两条边长，且 a、b满足
，此三角形的周长为 ．
27．（2023•思明区模拟）使得二次根式 在实数范围内有意义的 的取值范围是
．
28．（2023•香坊区校级开学）已知 ，则 ．
29．（2023春•梧州期中）当 时， 有意义．
30．（2023春•安丘市校级月考）先阅读，后回答问题： 为何值时， 有意义？
解：要使该二次根式有意义，需 ，由乘法法则得 或 ．
解得 或 ．
当 或 ， 有意义．
体会解题思想后，请你解答： 为何值时， 有意义？31．（2023•平潭县校级开学）已知 ．
（1）求 的值．
（2）求 的值．
32．（2023春•铁西区期中）（1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知 ，求 ， 的值．
解：由 ，得 ， ；
（2）尝试应用：若 ， 为实数，且 ，化简： ．
（3）拓展创新：已知 ，求 的值．
33．（2023春•富锦市校级期中）已知 ，求 的值．
34．（2023春•长沙期末）（1）已知 是 的算术平方根， 是
的立方根，求 的立方根；
（2）若 ， 的算术平方根是5，求 的平方根．
35．（2023春•东宝区月考）解下列各题．
（1）已知： ，求 的平方根；
（2）已知 ，求代数式 的值．
36．（2023 春•新会区校级期中）若 ， 都是实数，且 ，求
的值．
37．（2023春•景县期中）已知 、 满足等式 ．
（1）求出 、 的值分别是多少？（2）试求 的值．
38．（2023春•上杭县校级月考）（1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法．
例：已知 ，求 的值．
解：由 ，得 ， ， ；
（2）尝试应用：若 ， 为实数，且 ，化简： ；
（3）拓展创新：已知 ，求 的值．
强化训练
一、单选题
1．（2024下·全国·八年级专题练习）下列给出的式子是二次根式的是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2024·全国·八年级竞赛）已知 是整数，则满足条件的最小正整数 （ ）．
A．5 B．0 C．3 D．75
3．（2024下·全国·八年级专题练习）已知 是整数，则自然数m的最小值是
（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
4．（2024·全国·八年级竞赛）已知 是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024下·八年级课时练习）二次根式 中，x的值不能是（ ）
A．1 B．0.5 C．0 D．
6．（2024·全国·八年级竞赛）若a、b、m满足如下关系式：
，则 的平方根为
（ ）．A．1 B．2 C． D．
7．（2024下·八年级课前预习）若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·八年级竞赛）已知正整数 满足 ．则这样的
的取值（ ）．
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
9．（2023下·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）下列命题的逆命题成立的是（
）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．正方形的对角线相等
C．对顶角相等 D．若 ，则
10．（2024下·八年级课时练习）已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024下·全国·八年级专题练习）式子 的意义是 ．
12．（2024下·全国·八年级专题练习）当 时，二次根式 值为 ．
13．（2024下·全国·八年级专题练习）已知关于x的方程 有实数解，那么m
的取值范围是 ．
14．（2024上·湖南长沙·八年级校考期末）如果代数式 有意义，那么x的取值范围是
．
15．（2024·全国·八年级竞赛）定义一种新的运算“ ”： ，其中 、 为常
数，且使得等式 恒成立，那么 ．
16．（2024·全国·八年级竞赛）若实数a满足 ，则 ．17．（2024·全国·八年级竞赛）若不等式 对任意实数 都成立，
则 的最大值为 ．
18．（2024·全国·八年级竞赛）使分式 有意义的 的取值范围是
．
三、解答题
19．（2024·全国·八年级假期作业）（1）已知 是整数，求自然数 所有可能的值；
（2）已知 是整数，求正整数 的最小值．
20．（2024下·全国·八年级专题练习）已知： ，
（1）求m，n的值；
（2）先化简，再求值： ．21．（2024下·八年级课时练习）下列各式是否二次根式？说明理由．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) （a＜0）．
22．（2024·全国·八年级竞赛）若m满足关系式
，求m的值．
23．（2024下·全国·八年级专题练习）计算： ，圆圆的做法是
．24．（2024下·浙江·八年级专题练习）先观察下列等式．再回答问题：
① ，
② ，
③ ，
(1)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： ．
(2) ．
25．（2024下·全国·八年级专题练习）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简 ；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ．
26．（2024下·八年级单元测试）阅读材料：把根式 进行化简，若能找到两个数
，是 且 ，则把 变成 开方，从而使得
化简．
例如：化简
解：∵
∴ ；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1) ；
(2)
