文档内容
专题20.4 勾股定理（高频易错题题型训练）
【解析版】
题型十四 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 题型一 用勾股定理解三角形
题型十五 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 题型二 勾股树（数）问题
题型十六 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积
题型十七 解决航海问题（勾股定理的应用） 题型四 勾股定理与网格问题
题型十八 求河宽（勾股定理的应用） 题型五 勾股定理与折叠问题
题型十九 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
题型二十 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 题型七 利用勾股定理证明线段平方关系
勾股定理
题型二十一 判断是否受台风影响（沟股定理的应用） 题型八 勾股定理的证明方法
题型二十一 选址使到两地距离相等（沟股定理的应用） 题型九 以弦图为背景的计算题
题型二十三 求最短路径（勾股定理的应用） 题型十 用勾股定理构造图形解决问题
题型二十四 利用勾股定理的逆定理求解 题型十一 勾股定理与无理数
题型二十五 勾股定理逆定理的实际应用 题型十二 求梯子滑落高度（勾股定理的应用）
题型二十六 勾股定理逆定理的拓展问题 题型十三 求旗杆高度（勾股定理的应用）
题型一 用勾股定理解三角形
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=BC=5．建立适当的平
面直角坐标系，把△ABC的各个顶点的坐标写出来，并求出△ABC的面积．【答案】12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平面直角坐标系的建立及三角形面积公式，掌握利用
等腰三角形的对称性建立坐标系，结合勾股定理求高，再用面积公式计算是解题的关键．
先求出OA、OB的长度，再用勾股定理算出OC的高度，从而得到各顶点坐标，最后代入三角形面积公式
计算面积．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
1
则OA=OB= AB=3．
2
在Rt△AOC中，由勾股定理得OC=❑√52−32=4，
∴点A的坐标为(−3,0)，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,4)，
1
S = ×6×4=12．
△ABC 2
2．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾
股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者．
(1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，∠A=∠B=∠CED=90°，请
推导勾股定理．
(2)如图2，在△ABC中，AC=10，BC=17，AB=21，CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．
【答案】(1)见解析；
(2)8
【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理；
（1）用两种方法表示出梯形ABCD的面积，再根据它们相等整理即可证明结论；
（2）设AH=x，分别在Rt△ACH和Rt△BCH中，表示出CH2，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出CH的值.
【详解】（1）解：∵∠A=∠B=∠CED=90°
1 1 1
S = (a+b)(a+b)= a2+ab+ b2
梯形ABCD 2 2 2
1 1 1
S =S +S +S = ab+ ab+ c2 ，
梯形ABCD △ADE △BCE △CDE 2 2 2
1 1 1 1 1
∴ a2+ab+ b2= ab+ ab+ c2
2 2 2 2 2
整理得：a2+b2=c2
（2）解：设AH=x
∵AB=21
∴BH=AB−AH=21−x
∴ΔACH和ΔBCH都是直角三角形
在Rt△ACH中，CH2=AC2−AH2
在Rt△BCH中，CH2=BC2−BH2
∴AC2−AH2=BC2−BH2
∵AC=10，AB=21，
则102−x2=172−(21−x) 2
解得x=6，即AH=6
在Rt△ACH中，由勾股定理，得CH=❑√AC2−AH2=❑√102−62=8.
题型二 勾股树（数）问题
3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作
一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；
如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方
形的面积和是 ．
【答案】2022【分析】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键．
根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正
方形的面积和．
【详解】解：如图，
由题意得：S =1，由勾股定理得：S ＋S =S =1，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的
A B C A
面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成
的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是
2022．
故答案为：2022．
4．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：a,b,c为正整数，若c2=a2+b2，则称c为“完美勾股数”，
a,b为c的“伴侣勾股数”．如132=52+122，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)判断填空：数17__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0．求证：c是“完美勾股数”．
【答案】(1)是
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式．
（1）根据“完美勾股数”的定义判断即可；
（2）根据完全平方公式求出a,b,c的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可．
【详解】（1）解：∵172=289=225+64=152+82，
∴数17是“完美勾股数”
故答案为：是
（2）证明：∵a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0
∴(a2−6a+9)+(b2−8b+16)+(c2−10c+25)=0
∴(a−3) 2+(b−4) 2+(c−5) 2=0∵(a−3) 2≥0, (b−4) 2≥0, (c−5) 2≥0
∴(a−3) 2=0, (b−4) 2=0, (c−5) 2=0
∴a=3, b=4, c=5
∴a2+b2=32+42=25，c2=25
∴c2=a2+b2
∴c是“完美勾股数”
题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积
5．如图Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底
月牙”：当AC=3，BC=4时，则阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查勾股定理，求不规则图形的面积，根据勾股定理求出AB的长，根据阴影部分的面积等
于两个小半圆的面积加上直角三角形的面积，再减去大半圆的面积，进行求解即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=❑√AC2+BC2=5，
1 (3) 2 1 (4) 2 1 1 (5) 2
∴阴影部分的面积= π× + π× + ×3×4− π× =6；
2 2 2 2 2 2 2
故答案为：6．
6．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分
别为S ，S ，S ；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S ，S ，S ．其中
1 2 3 4 5 6
S −S =−2，S +S =56，则S +S =（ ）
6 1 2 5 3 4A．86 B．64 C．54 D．48
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三
角形面积计算的性质，从而完成求解．
❑√3 1 ❑√3 ❑√3
先算出TB=❑√AB2−AT2= AC，再结合面积公式得S = ×AC×TB= AC2 ，即S = AE2 ，
2 2 2 4 1 4
❑√3
S = CE2 ，再根据勾股定理得AC2=AE2+CE2，故S =S −S ，同理得NW2=N M2+W M2，
3 4 3 2 1
S =S +S ，再把S −S =−2，S +S =56分别代入S +S =S +S +S −S 进行计算，即可作答．
4 5 6 6 1 2 5 3 4 2 5 6 1
【详解】解：如图1所示：过点B作BT⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，BT⊥AC，
1 1
∴AT= AC= AB
2 2
❑√3
则TB=❑√AB2−AT2= AC，
2
1 1 ❑√3 ❑√3
∴S = ×AC×TB= AC× AC= AC2
2 2 2 2 4
❑√3 ❑√3
同理得S = AE2 ，S = CE2
1 4 3 4依题意，得∠AEC=90°，
∴AC2=AE2+CE2
❑√3 ❑√3 ❑√3
即
AC2= AE2+ CE2
4 4 4
即S =S +S
2 1 3
∴S =S −S ；
3 2 1
如图2：
1 (MN) 2 πM N2
S = ×π× =
5 2 2 8
，
1 (WN) 2 πW N2
S = ×π× = ，
4 2 2 8
1 (MW ) 2 πMW2
S = ×π× = ，
6 2 2 8
∵∠NMW=90°，
∴NW2=N M2+W M2，
π π π
则 NW2= N M2+ W M2 ，
8 8 8
即S =S +S ，
4 5 6
∵S =S −S ，
3 2 1
上两式子相加，得S +S =S −S +S +S =S +S +S −S =56+(−2)=54，
3 4 2 1 5 6 2 5 6 1
故选：C．
题型四 勾股定理与网格问题
7.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，请
仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按
步骤完成下列问题：(1)如图1，作△ABC的高线CD；
AD
(2)直接写出 的值___________；
BD
(3)如图2，在（1）的条件下，在AC边上取一点P，使BP+DP的值最小．
【答案】(1)见解析
7
(2)
6
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形的高的定义即可作△ABC的高线CD；
AD
（2）根据等面积法求出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长，即可得 的值；
BD
（3）根据两点之间线段最短，使DP和BP能在一条直线上，作AC的垂线BG ，再作AC的平行线JK，
交BG于点H，使得AC垂直平分BH ，连接DH交AC于点P，即可使BP+DP的值最小．
【详解】（1）解:如图1，高线CD即为所求；
1 1
（2）∵S = BC·BF= FC·BD，
△BCF 2 2
∴3×2=❑√13BD，
6
∴BD= ，
❑√13
∵AB=CF=❑√22+32=❑√13，
6 7
∴AD=AB−BD=❑√13− = ，
❑√13 ❑√137
AD ❑√13 7
∴ = = ．
BD 6 6
❑√13
AD 7
∴ 的值为 ；
BD 6
（3）如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，轴对称最短路线问题，勾股定理等相关知识等，解决本题的关
键是根据题意准确画图．
8．如图，在4×5的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
(1)在图1中画一条线段AB，使AB=❑√17，线段AB的端点在格点上；
(2)在图2中画一个斜边长为❑√34的等腰直角三角形DCE，其中∠DCE=90°，三角形的顶点在格点上，
并求△DCE的面积．
【答案】(1)图见解析
17
(2)图见解析；S =
△DCE 2
【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，等腰三角形的判定．
（1）结合勾股定理作图即可；
（2）根据❑√(❑√17) 2+(❑√17) 2=❑√34，结合勾股定理作图即可；根据等腰直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）如图1所示，线段AB即为所求．AB=❑√12+42=❑√17
（2）∵斜边长为❑√34的等腰直角三角形DCE，
又❑√32+52=❑√34
∴如图2所示，斜边长DE=❑√34，
又∵❑√(❑√17) 2+(❑√17) 2=❑√34，
∴DC=CE=❑√17，
∴如图2中，等腰直角三角形DCE即为所求．
1 17
S = ×❑√17×❑√17=
△DCE 2 2
题型五 勾股定理与折叠问题
9．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P为BC上一个动点，连接
AP，将△ACP沿AP折叠得到△ADP，点C的对应点为D，连接BD，若AC=5，BC=12，当△PBD为
直角三角形时，线段CP的长为 ．
10
【答案】5或
3
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，分当∠DPB=90°时，当
∠PDB=90°时两种情况画出对应的图形，讨论求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：①如图，当∠DPB=90°时，则∠DPC=90°，
1
由折益的性质可得∠APC=∠DPA= ∠DPC=45°，
2
∵∠ACB=90°，
∴∠APC=∠CAP=45°，
∴CP=AC=5；
②如图，当∠PDB=90°时，
由折叠的性质可得CP=DP，AD=AC=5,∠ADP=∠C=90°，
∴∠ADP+∠BDP=180°，
∴A、D、B三点共线，
由勾股定理得：AB=❑√AC2+BC2=❑√52+122=13，
∴BD=AB−AD=13−5=8，
设CP=x，则BP=12−x，
由勾股定理得PD2+BD2=BP2，
10
∴x2+82=(12−x) 2，解得：x= ，
3
10
∴CP= ，
3
10
综上可得：当△PBD为直角三角形时，线段CP的长为5或 ，
3
10
故答案为：5或 ．
3
10．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折
叠时，定点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．(1)求BF的长；
(2)求EC的长.
【答案】(1)6cm
(2)3cm
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和长方形的性质，根据勾股
定理得出方程是解题关键．
（1）先根据矩形的性质得到AD=BC=10，DC=AB=8，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质
得AF=AD=10，DE=EF，则可利用勾股定理计算出BF；
（2）计算出CF的长，设EC=x，则DE=EF=8−x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到关于x的方程，
解方程求出x即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是长方形
∴AD=BC=10，
∵折叠
∴AF=AD=10
由勾股定理，得：BF= ❑√AF2−AB2 = ❑√102−82 =6 (cm)
（2）∵BF=6，BC=10，
∴FC=BC−BF=10−6=4，
设EC=x cm,则EF=(8−x)cm
由勾股定理，得：(8−x) 2=x2+42
解得：x=3
所以，EC的长为3cm
题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
11．（24-25九年级下·北京·开学考试）某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
(1)如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD=CD，则有∠B=∠C；证明：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC（依据： ① ）
∴∠B=∠C（依据： ② ）
(2)某同学顺势提出一个问题：既然AB=AC，即知AB+BD=AC+CD．若把（1）中的条件BD=CD替
换为AB+BD=AC+CD，还能推出∠B=∠C吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B=∠C，并分别提供了不同的证明方
法．
小军 小民
证明：∵AD⊥BC，
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使 ∴△ADB与△ADC均为直角三角
得…… 形
根据勾股定理，得……
请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整．
【答案】(1)①垂直平分线的性质；②等边对等角
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理．
（1）根据AD⊥BC，可以得到∠ADB=∠ADC=90°，然后根据SAS可以证明△ADB≌△ADC，从而
可以得到结论成立；
（2）根据小军的证明过程可知：分别延长DB,DC至E,F两点，使得BE=BA,CF=CA，然后作出辅助
线，再根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可以证明结论成立；
根据小民的证明方法，根据勾股定理得出AB2−BD2=AD2,AC2−CD2=AD2，根据平方差公式结合
已知，即可到结论成立．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC（依据：垂直平分线的性质）
∴∠B=∠C（依据：等边对等角）
（2）解：小军的证明过程：
分别延长DB,DC至E,F两点，使得BE=BA,CF=CA，如图所示，∵AB+BD=AC+CD
，
∴BE+BD=CF+CD，
∴DE=DF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=∠ADF=90°，
∴ AE=AF
∴∠E=∠F，
∵BE=BA,CF=CA，
∴∠E=∠BAE,∠F=∠CAF，
∵∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF，
∴∠ABC=∠ACB．
小民的证明方法
证明：∵AD⊥BC，
∴△ADB与△ADC均为直角三角形
根据勾股定理，得AB2−BD2=AD2,AC2−CD2=AD2
∴AB2−BD2=AC2−CD2
∴(AB+BD)(AB−BD)=(AC+CD)(AC−CD)
∵AB+BD=AC+CD①
∴AB−BD=AC−CD②
①+②得，2AB=2AC，即AB=AC
∴∠B=∠C．
12．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示
的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD=3，BC=8，则AB2+CD2= ．
【答案】73【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得
BO2+CO2+OD2+OA2=64+9=73，再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，然后根据等量
代换即可解答．
【详解】解：∵BD⊥AC，
∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，
∴CB2+AD2=BO2+CO2+OD2+OA2=64+9=73，
∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，
∴AB2+CD2=BO2+AO2+OC2+OD2=(BO2+OD2)+(AO2+OC2)=CB2+AD2=73.
故答案为：73．
题型七 利用勾股定理证明线段平方关系
13．在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如图1，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三
角形时，小明猜想：a2+b2>c2，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC
中，AD2=b2−x2，在Rt△ADB中，AD2=c2−(a−x) 2,∴a2+b2=c2+2ax．
∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2>c2,∴当△ABC为锐角三角形时a2+b2>c2．所以小明的猜想是正确的．
(1)请你猜想，如图3，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．
(2)证明你猜想的结论是否正确．
【答案】(1)a2+b20,x>0，
∴2ax>0，
∴a2+b2=c2−2ax0），AB=DE=a，AC=AE=b，BC=AD=c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC的面积，（提示：S =S +S ）梯形AEDC，
四边形ABDC △ABC △BCD
△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)如图3，网格中小正方形边长为1，
①点P为已给网格中格点上的点，求BP的最大值为______．
②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高的长度为
______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，求AD的长．
【答案】(1)证明见解析
6❑√5
(2)① ❑√34；②
5
5❑√7
(3)
4
【分析】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据勾股定理列方程求解是
解本题的关键．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论；
（2）①利用勾股定理求解即可；②根据三角形的面积的两种算法列等式即可求出答案；（3）分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出AD2，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，设DE与BC交于点G，
∵BC⊥AD ∠BAC=∠DEA=90° AB=DE=a AC=AE=b
， ， ， ，
BC=AD=c，
1 1 1 1 1
∴S = AD⋅BF+ AD⋅CF= AD⋅(BF+CF)= AD⋅BC= c2 ，
四边形ABDC 2 2 2 2 2
1 1
S = AE⋅(AC+ED)= b(b+a)，
梯形AEDC 2 2
1 1
S = ED⋅BE= a(a−b)，
△EBD 2 2
∵S =S +S ，
四边形ABDC 梯形AEDC △EBD
1 1 1
∴ c2= b(b+a)+ a(a−b)，
2 2 2
化简，得a2+b2=c2；
（2）解：①点P与格点图左上角或左下角的点的距离最大，PB的最大值❑√32+52=❑√34．
故答案为：❑√34．
②设AB边上的高为h，
∵AB=❑√22+42=2❑√5，
1 1 1 1
∴ ×2❑√5×h=4×4− ×2×4− ×2×2− ×2×4，
2 2 2 2
6❑√5
∴h= ，
5
6❑√5
∴AB边上的高为 ．
5
6❑√5
故答案为： ．
5
（3）解：设BD=x，
∵BC=6，∴CD=6−x，
在Rt△ABD中，
∵AB=4，∵AB=4，AD是BC边上的高，
∴AD2=AB2−BD2=42−x2，
在Rt△ACD中，
∵AC=5，∵AC=5，
∴AD2=AC2−CD2=52−(6−x) 2，
∴42−x2=52−(6−x) 2，
9
解得x= ，
4
∴AD=❑
√
42−
(9) 2
=
5❑√7
．
4 4
题型九 以弦图为背景的计算题
17．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的
“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角
边长分别为m、n(m>n)．若小正方形面积为3，且满足(m+n) 2=15则大正方形面积为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的证明，由题意可知，中间小正方形的边长为m−n，根据勾股定理以及题目
给出的已知数据即可求出大正方形的面积为m2+n2．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m−n，
∴(m−n) 2=3，即m2+n2−2mn=3①，
∵(m+n) 2=15，∴m2+n2+2mn=15②，
①+②得2(m2+n2)=18，
∴大正方形的面积为：m2+n2=9，
故选：B．
18．（24-25九年级下·四川泸州·月考）如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系
证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等.朱入与朱出的三角
形全等，朱方与青方是两个正方形.探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边
长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b−a=2，a2+b2=28，则图2中的阴影部分面积为（
）
A．20 B．22 C．23 D．24
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
根据题意所求阴影部分面积为S −S ，再根据所给条件求面积即可．
正方形MFGC △CDG
【详解】解：如图2，
∵△EFG≌△CDG，△EFK≌△GHI，
∴阴影部分面积=S −S ，
正方形MFGC △CDG
∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，
∴GD=GH=a，AB=CD=BC=b，
∵青出与青入的三角形全等，
∴△IJC≌△KAM，
∴JC=AM=b−a，
∴BM=a，
∴CM=CG=❑√a2+b2，
∵b−a=2，a2+b2=28，(a2+b2)−(b−a) 2 28−22
∴ab= = =12，
2 2
∴阴影部分面积=S −S
正方形MFGC △CDG
1
=a2+b2− ab
2
=28−6
=22，
故选：B．
题型十 用勾股定理构造图形解决问题
19．看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图，
∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速向
点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度
与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
【答案】机器人行走的路程BC是25cm．
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，
得到BC=AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．由题意
可知，若设BC=xcm，则AC=xcm， OC=OA−AC=(45−x)cm，这样在Rt△BOC中，利用勾股定
理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．
【详解】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC=CA，
设BC=xcm，则AC=xcm， OC=OA−AC=(45−x)cm，
∵∠AOB=90°，
∴由勾股定理可知OB2+OC2=BC2，
又∵OC=(45−x)cm， OB=15cm，
∴152+(45−x) 2=x2，
解方程得出x=25(cm)．
答：机器人行走的路程BC是25cm．
20．一辆装满货物的卡车，高2.6m，宽1.6m，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞（如图所示）．已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长为2.3m．
(1)这辆卡车能否安全通过桥洞？请说明理由．
(2)为了适应车流量的增加，要将桥洞改为双行道．如果要使宽为1.2m、高为2.8m的卡车能安全通过，那
么此桥洞的宽至少应增加到多少米？
【答案】(1)能安全通过，理由见解析
(2)2.6m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题目做出辅助线，利用勾股定理进行求解.
（1）通过计算卡车在桥洞中间位置时顶部到桥洞顶部半圆的垂直距离，与卡车高度比较来判断能否通过.
（2）根据给定卡车的尺寸，利用勾股定理求出桥洞半圆部分所需的半径，进而得到桥洞的宽度.
【详解】（1）解：这辆卡车能安全通过桥洞．理由如下：
如图①，MN为卡车的宽度．
过点M,N分别作AB的垂线交半圆于C,D两点，
连接CD,OC,OD，过点O作OE⊥CD于点E，
则CD=MN=1.6m,OC=OD，
所以CE=DE=0.8m．
因为OC=OA=1m，
所以在Rt△OCE中，由勾股定理，得OE2=OC2−CE2=12−0.82=0.36=0.62，所以OE=0.6m，
所以CM=2.3+0.6=2.9(m)．
因为2.9>2.6，所以这辆卡车能安全通过桥洞．
（2）解：如图②，CE为卡车的宽度，C为道路的中点．
过点E作EB⊥AO于点F，交半圆于点B，连接CO,BO，过点B作BG⊥CO，交CO的延长线于点G．
根据题意可知，CG=BE=2.8m,BG=OF=1.2m,EF=AD=2.3m，所以BF=0.5m．
在Rt△OBF中，根据勾股定理，得OB2=BF2+OF2=0.52+1.22=1.32，
所以OA=OB=1.3m,1.3×2=2.6(m)．
故此桥洞的宽至少应增加到2.6m．
题型十一 勾股定理与无理数
21．（24-25八年级下·云南红河·期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题
的重要工具，也是数形结合的纽带．
(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，
OB为半径作弧，则点C表示的数为_______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，BE=1m，将它往前推至点C处时，水平距离CD=4m,CF=3m，它的绳索始终拉
直，求绳索AC的长．
【答案】(1)❑√13
(2)5m
【分析】本题考查了勾股定理的应用（包括在数轴上表示无理数、解决实际几何问题），解题关键是利用
勾股定理建立直角三角形的边长关系．
（1）在Rt△OAB中，用勾股定理算OB长，即为OC长，得点C表示的数．
（2）设绳索长为x，用矩形性质得AD,CD长度，在Rt△ACD中用勾股定理列方程求解．
【详解】（1）在Rt△OAB中，OA=3,AB=2，
由勾股定理得 OB=❑√OA2+AB2=❑√32+22=❑√13
∴OC=❑√13
∴点C表示的数是❑√13．
故答案为❑√13．
（2）设绳索AC的长为xm，由题意得 AC=AB=xm，
∵四边形DCFE为矩形，BE=1m,CD=4m,CF=3m,DE=CF=3m，
∴DB=DE−BE=2m,AD=AB−BD=(x−2)m
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2，
即(x−2) 2+42=x2，
解得x=5，
∴绳索AC的长为5m．
22．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图，数轴上点A、B表示的数分别是−2和1，BC⊥AB，垂
足为B，BC=2，以点A为圆心，AC长为半径在右边作弧，交数轴于点D．
甲说：点D表示的数为❑√13；
乙说：点D表示的数在1和2之间．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．先根据已知条
件和勾股定理求出AC，从而求出AD，再设点D表示的数为x，再根据两点间的距离公式列出关于x的方程，
解方程求出x，再估算x的值，从而进行判断即可．
【详解】解：由题意可知：AB=|−2−1|=3，BC=2，AD=AC，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90∘，
由勾股定理得：AD=AC=❑√AB2+BC2=❑√32+22=❑√13，
设点D表示的数为x，
∴|x−(−2))=❑√13，
|x+2|=❑√13，
x+2=±❑√13，
x=❑√13−2或−❑√13−2，∴甲的说法错误，
∵3<❑√13<4，
∴3−2<❑√13−2<4−2，
1<❑√13−2<2，
∴乙的说法正确，
故选：D ．
题型十二 求梯子滑落高度（勾股定理的应用）
23．（25-26八年级下·全国·期末）一架方梯AC长25m，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点C离墙7m．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点A'，A A'=4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面24m
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8m
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理列式运算即可；
（2）求出A′B的长，再利用勾股定理运算求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，∠ABC=90°，AC=25，BC=7，
在Rt△ABC中，AB=❑√AC2−BC2=❑√252−72=24，
∴这个梯子的顶端距地面24m；
（2）根据题意，得AC=A'C'=25，A A'＝4，
∴A'B=AB−A A'=24−4=20，
在Rt△A′BC′中，C′B=❑√A′C′2−A′B2=❑√252−202=15，
所以CC'=C'B−BC=15−7=8，
即梯子的底端在水平方向滑动了8m．
24．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，
将本校的办学理念做成宣传牌(AB)，放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一
架梯子（AE=2.5米）靠在宣传牌(AB)A处，底端落在地板E处，然后移动梯子使顶端落在宣传牌(AB)的B处，而底端E向外移到了0.5米到C处（CE=0.5米）．测量得BM=2米．求宣传牌(AB)的高度（结果
用根号表示）．
(❑√21 )
【答案】 −2 米
2
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求出MC、
AM的长，即可解决问题．
【详解】解：由题意可得：AE=BC=2.5米，BM=2米，EC=0.5米，
在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC=❑√2.52−22=1.5（米），
∴EM=MC−EC=1.5−0.5=1（米），
❑√21
在Rt△AEM中，由勾股定理得：AM=❑√2.52−12=
，
2
(❑√21 )
∴AB=AM−BM= −2 米，
2
(❑√21 )
答：宣传牌（AB）的高度为 −2 米．
2
题型十三 求旗杆高度（勾股定理的应用）
25．（25-26七年级上·山东淄博·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探
究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题．
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD
模型抽象①测得水平距离ED的长为15米
测绘数据
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6米
说明 点A，B，E，D在同一平面内
(1)求线段AD的长；
(2)若想要风筝沿DA方向再上升12米，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
【答案】(1)9.6m
(2)小明同学应该再放出8米线
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）过点B作BC⊥AD于点C，利用勾股定理可求出AC的长，进而求出AD的长即可得到答案；
（2）设风筝沿DA方向再上升12米后到达点F处，连接BF，利用勾股定理求出BF的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，过点B作BC⊥AD于点C，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=17m，BC=ED=15m，
由勾股定理，得AC2=AB2−BC=172−152=64，
∴AC=8m或AC=−8m（舍去），
∵CD=BE=1.6m，
∴AD=AC+CD=8+1.6=9.6m．
（2）解：如图，设风筝沿DA方向再上升12米后到达点F处，连接BF，
则CF=8+12=20m，
在Rt△BCF中，∠BCF=90°，CF=20m，BC=15m，
由勾股定理，得BF2=CF2+BC2=202+152=625，∴BF=25m或BF=−25m（舍去），
25−17=8m．
答：小明同学应该再放出8米线．
26．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代
北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂
直高度DE=0.5m，将它往前推送1.8m（水平距离BC=1.8m）时，秋千的踏板离地的垂直高度
BF=CE=1.1m，秋千的绳索始终拉得很直，
(1)求绳索AD的长度．
(2)如图3，秋千荡到∠CAB=30°时踏板离地面的高度．
【答案】(1)3m
7−3❑√3
(2) m
2
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，熟知勾股定理是解题的关
键．
（1）设绳索AD的长度为xm，则AC=(x−0.6)m，AB=AD=xm，由勾股定理得(x−0.6) 2+1.82=x2，
解方程即可得到答案；
1
（2）由含30度角的直角三角形的性质得到BC= AB=1.5m，则由勾股定理可得
2
3❑√3
AC=❑√AB2−BC2= m，再由线段的和差关系求出CE的长即可得到答案．
2
【详解】（1）解：设绳索AD的长度为xm，则AC=AD−CD=AD−(CE−DE)=(x−0.6)m，
AB=AD=xm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，
∴(x−0.6) 2+1.82=x2，解得x=3，
答：绳索AD的长度为3m；
（2）解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，AB=3m，
1
∴BC= AB=1.5m，
2
3❑√3
∴AC=❑√AB2−BC2= m，
2
3❑√3 7−3❑√3
∴CE=AD+DE−AC=3+0.5− = m，
2 2
7−3❑√3
答：秋千荡到∠CAB=30°时踏板离地面的高度为 m．
2
题型十四 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）
27．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，有两棵树，一棵高18米（AB=18米），另一棵高2米
（CD=2米），两树相距12米（BD=12米）．
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2，台风过后，高18米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树AB折断处M距离地面
多少米？
【答案】(1)20米
(2)5米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用
勾股定理可将两点之间的距离求出；
（2）由勾股定理求出BM的长，即可求解．【详解】（1）解：两棵树的高度差为18−2=16（米），两树相距12米（BD=12米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=❑√162+122=20（米），
答：至少飞了20米；
（2）解：由勾股定理得：BM2+AB2=AM2，
∴BM2+122=(18−BM) 2，
解得：BM=5，
答：树AB折断处M距离地面5米．
28．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=8米，
A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC=10米．
(1)求出BC的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小
鸟下降的距离．
【答案】(1)6米
25
(2)小鸟下降的距离为 米
4
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）由题意知∠B=90°，
∵AB=8米，AC=10米．
在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2
∴ BC=❑√102−82=6米，
（2）设AD=x，
∵到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，AB=8
∴则CD=AD=x，BD=8−x，在Rt△BDC中，DC2=BD2+BC2，
∴x2=(8−x) 2+62，
25
解得x= ，
4
25
∴小鸟下降的距离为 米．
4
题型十五 求大树折断前的高度（勾股定理的应用）
29．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根木杆在离地面3m的B处折断，木杆顶端C落在离木
杆底端4m处，
(1)如图1，求木杆折断之前的高度；
(2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端3m处，求AD的长．
【答案】(1)木杆折断之前的高度是8m
55
(2)AD的长是 m
16
【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出BC的长；
（2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
根据勾股定理：BC=❑√AB2+AC2=❑√32+42=5，3+5=8，
答：木杆折断之前的高度是8m．
（2）解：设AD的长为xm，则CD=(8−x)m，
在Rt△ADC中，根据勾股定理：
55
x2+32=(8−x) 2，解得：x= ．
16
55
∴AD的长是 m．
16
30．如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点P处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点
P处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？
【答案】(1)旗杆距地面3m处折断
(2)在距离旗杆底部5m米处有被砸伤的风险
【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键．
（1）设AC长为xm，则BC长(8−x)m，再利用勾股定理建立方程即可；
（2）先画出图形，再求解AP，B'P，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：由题意，知AC+BC=8m．
因为∠A=90°，
设AC长为xm，则BC长(8−x)m，
则42+x2=(8−x) 2，
解得x=3．
故旗杆距地面3m处折断；
（2）解：如图：
因为点P距地面AP=3−1.25=1.75(m)，
所以B'P=8−1.75=6.25(m)，
所以AB'=❑√B'P2−AP2=❑√6.252−1.752=6(m)，
则距离旗杆底部周围6m的范围内有被砸伤的风险，
所以在距离旗杆底部5m处有被砸伤的风险．
题型十六 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）31．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为4cm，宽为3cm，高为
12cm，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为3cm，则此
吸管的总长度为 cm．
【答案】16
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），连接BC，不妨
设CD>BD，利用勾股定理可得BC=5cm，AC=13cm，由此即可得．
【详解】解：如图，连接BC，不妨设CD>BD，
由题意得：CD=4cm，BD=3cm，AB=12cm，CD⊥BD，AB⊥BC，
∴在Rt△BCD中，BC=❑√BD2+CD2=5cm，
∴在Rt△ABC中，AC=❑√AB2+BC2=13cm，
∵将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为3cm，
∴此吸管的总长度为13+3=16(cm)，
故答案为：16．
32．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其
中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈，
芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水
面平齐，即OC=OE， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度OD；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用
现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a， 芦苇高出水面的部分CD=n(n25，
∴轮船继续向正东方向航行是安全的．
34．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时拉
紧的绳子BC的长为13m，此人把绳子收紧4m后船移动到点 D 的位置(即绳子CD的长为9米)，问船向岸
边移动了多少米?(结果保留根号)
【答案】(12−2❑√14)m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．在Rt△ABC中，利用勾股定理计算
出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB−AD可得BD长．
【详解】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13m，AC=5m，
∴AB=❑√BC2−AC2=❑√132−52=12m，
∵CD=9m，
∴AD=❑√CD2−AC2=❑√92−52=2❑√14m，
∴BD=AB−AD=(12−2❑√14)m，
答：船向岸边移动了(12−2❑√14)米．
题型十八 求河宽（勾股定理的应用）
35．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2=c2．
(1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的
直角三角形的三边关系进行解答；
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB=AC，由于某种
原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直
线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=6千米，HB=4千米，求新路CH比原路CA少多少
千米？
(3)在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC=8，BC=10，AB=12，设AH=x，求x的值．
【答案】(1)见解析
(2)新路CH比原路CA少0.5千米
9
(3)x=
2
【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用；
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等
列出关系式，化简即可得证；
（2）设CA=x千米，则AH=(x−4)千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果；
（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2=C A2−AH2=CB2−BH2，列出方程求解
即可得到结果．
【详解】（1）解：∵AB⊥AD,BC⊥AB,DE⊥CE，
1 1
∴梯形ABCD的面积为 (a+b)(a+b)或 e2+ab，
2 2
1 1
∴ (a+b)(a+b)= c2+ab，
2 2
1 1 1
∴ab+ c2= a2+ab+ b2 ，
2 2 2
即a2+b2=c2，
（2）解：设CA=x千米，则AH=(x−4)千米，在Rt△ACH中，C A2=CH2+AH2，
即x2=62+(x−4) 2，解得：x=6.5，即CA=6.5，
CA−CH=6.5−6=0.5（千米），
答：新路CH比原路CA少0.5千米，
（3）解：由题得，BH=12−x，
在Rt△ACH中，CH2=C A2−AH2，
在Rt△BCH中，CH2=CB2−BH2，
∴C A2−AH2=CB2−BH2，
9
即82−x2=102−(12−x) 2，解得：x= ．
2
36．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流
的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB
多2米，则河的宽度AB是（ ）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出
直角边AB的长度．
【详解】解：根据题意可知BC=10米，
设AB=x，则AC=x+2，
Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2，
即(x+2) 2=102+x2，
解得x=24．
∴该河的宽度AB为24米．
故选：D．
题型十九 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）
37．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的
楼道铺上地毯，已知地毯每平方米10元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱．【答案】340
【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求
得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积.
【详解】解：由题意得：
由勾股定理可得：AC=❑√AB2−BC2=❑√132−52=12(m)，
则地毯总长为12+5=17(m)，
则地毯的总面积为17×2=34(m2)，
所以铺完这个楼道至少需要34×10=340（元）；
故答案为：340
38．如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块 ，已知木块的
较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是
米．
【答案】❑√533
【分析】解答此题要将木块表面展开，再构建直角三角形，然后根据两点之间线段最短，再利用勾股定理
进行解答．
【详解】解：如图，由题意可知，将木块展开， 展开图的长相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为18+2×2=22米；宽为7米．
于是最短路径为：❑√222+72=❑√533（米）．
故答案为：❑√533．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短的性质，勾股定理的应用，有一定的难
度，要注意培养空间想象能力．
题型二十 判断汽车是否超速（勾股定理的应用）
39．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图所示，A点装有一车速检测仪，它到公路边的距离AN=90
米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达N点时开始计时，离开M点时停止计时，已知AM=150米．
(1)若一辆汽车以108km/h的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？
(2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由．
【答案】(1)共用时4秒
(2)该车超速，理由见详解
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
（1）勾股定理求出MN的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可；
（2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可
【详解】（1）解：依题意可得，AN⊥MN，
∴∠ANM=90°，△AMN为直角三角形
∵AM=150米，AN=90米，
∴MN=❑√AM2−AN2=❑√1502−902=120米，
108km/h=30m/s，∴t=120÷30=4s
答∶共用时4秒；
（2）解：超速，理由如下∶
120:3=40m/s=144km/h，
∵144km/h>120km/h，
∴该车超速．
40．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行
驶到路对面车速检测仪A处的正前方120米的C处，过了8秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检
测仪间的距离为200米．
(1)求BC的长；
(2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆
小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：1m/s=3.6km/h）
【答案】(1)160米
(2)超速了，理由见解析
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出BC的长即可；
（2）求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，AC=120,AB=200，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√2002−1202=160，
答：BC的长为160米；
160
（2）解：小汽车的速度为：v= =20m/s=20×3.6km/h=72km/h，
8
∵72>70，
故小汽车超速了．
题型二十一 判断是否受台风影响（沟股定理的应用）
41．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．
如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)海港C受台风影响吗?为什么?
(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长?
【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析
(2)台风影响该海港持续的时间为7h
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，此时线段CD为点C到线段AB的距离，通过三角形面积相等可
求出线段CD的长，若CD≤250km，则海港C受台风影响，若CD>250km，则海港C不受台风影响；
（2）通过勾股定理可求出线段EC、FC的长，从而求出线段EF的长，利用路程除以速度即可求出时间；
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，过点C作CD⊥AB于点D构建直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC=300km,BC=400km,AB=500km，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
1 1
∴ AC⋅BC= AB⋅CD，
2 2
即300×400=500CD，
解得CD=240km．
∵240km<250km，
∴海港C受台风影响．
（2）设台风到达点E时开始影响该海港，到达点F时解除影响该海港，∴EC=FC=250km．
∵CD⊥AB于点D，
∴ED=❑√EC2−CD2=❑√2502−2402=70(km)，
FD=❑√FC2−CD2=❑√2502−2402=70(km)，
∴EF=ED+FD=70+70=140(km)．
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7(h)．
∴台风影响该海港持续的时间为7h．
42．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°．
点A处有一栋居民楼，AP=160m． 假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100m以内（包括
100m）会受到噪声的影响．
(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由．
(2)若受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，则居民楼受到影响的时间有多长？
【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析
(2)24s
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30度角的直角三角
形的性质，是解题的关键：
（1）作AB⊥PN，根据含30度角的直角三角形的性质，求出AB的长，进行判断即可；
（2）以A为圆心，100m为半径画弧，交PN于点C,D，三线合一结合勾股定理求出CD的长，再除以速
度，求出时间即可．
【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下：
作AB⊥PN，则：∠ABP=90°，
∵∠QPN=30°，AP=160m，
1
∴AB= AP=80m，
2∵80<100，
∴该居民楼会受到噪声的影响；
（2）以A为圆心，100m为半径画弧，交PN于点C,D，则：AC=AD=100m，
∵AB⊥PN，
∴CD=2BC，BC=❑√AC2−AB2=60m，
∴CD=120m，
∵18km/h=5m/s，
∴120÷5=24s；
答：居民楼受到影响的时间有24s．
题型二十一 选址使到两地距离相等（沟股定理的应用）
43．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，铁路上A，B两点相距17km，C，D两点为两
村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=12km，CB=5km，现在要在铁路AB上建一个土特
产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，
(1)E站应建在距A点多少千米处？
(2)求CD两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）．
【答案】(1)E站应建在距A点5千米处
(2)13❑√2km
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，全等三角形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）设AE=xkm，则BE=(17−x)km，根据勾股定理和DE=CE可得方程122+x2=52+(17−x) 2，解方
程即可得到答案；
（2）根据（1）可得AE=BC，AD=BE，证明△ADE≌△BEC(SAS)，得到∠AED=∠BCE，则可证明∠CED=90°，由勾股定理得CE=DE=13km，则由勾股定理得CD=❑√DE2+CE2=13❑√2km．
【详解】（1）解：设AE=xkm，则BE=(17−x)km，
在Rt△ADE中，由勾股定理得DE2=AD2+AE2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得CE2=BC2+BE2，
∵C，D两村到E站的距离相等，
∴DE=CE，即DE2=CE2，
∴AD2+AE2=BC2+BE2，
∴122+x2=52+(17−x) 2，
解得x=5，
∴AE=5km，
答：E站应建在距A点5千米处；
（2）解：由（1）可得AE=5km，BE=17−5=12km，
∴AE=BC，AD=BE，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
∴△ADE≌△BEC(SAS)，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠CED=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得DE=❑√AE2+AD2=❑√52+122=13km，
∴CE=DE=13km，
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD=❑√DE2+CE2=❑√132+132=13❑√2km，
答：CD两个村庄之间的直线距离为13❑√2km．
44．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）综合与实践（1）如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为
___________千米（直接填空）；
（2）在（1）的条件下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC=PD，求AP的距离；
（3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81（00且m>n，c=2m2+2mn+2n2，a=m2+4mn+n2，b=❑√3(m+n)，c为“完美勾股数”，
a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式x3−3x2+p有一个因式x−m+n，求该多项式的另一个因式．【答案】(1)是
(2)见解析
(3)x2−2x−2
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入x−m+n，根据多项式x3−3x2+p有一个因
式x−m+n，求解即可．
【详解】（1）解：∵102=62+82，
∴数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：(a2−6a+9)+(b2−8a+16)+(c2−10c+25)=0
∴(a−3) 2+(b−4) 2+(c−5) 2=0
∵(a−3) 2≥0;(b−4) 2≥0;(c−5) 2≥0.
∴a=3,b=4,c=5，
∴c2=a2+b2，
∴c是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：c2=a2+b2，
∴(2m2+2mn+2n2) 2 =(m2+4mn+n2) 2 +3(m+n) 2，
∴(2m2+2mn+2n2) 2 −(m2+4mn+n2) 2 =3(m+n) 2，
∴(3m2+6mn+3n2)(m2−2mn+n2)=3(m+n) 2，
∴(m+n) 2 (m−n) 2=(m+n) 2，
∴(m+n) 2[(m−n) 2−1)=0，
又∵m,n>0;m>n，
∴(m−n) 2−1=0，即m−n=1，∴m=n+1，
∴x3−3x2+p有一个因式为x−m+n=x−1，
∴x3−3x2+P=(x−1)(x2−2x−2)，
∴另一个因式为x2−2x−2．
52．先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：1，❑√3，2； 第二组：❑√2，2，❑√6；
第三组：❑√3，❑√5，❑√8； 第四组：2，❑√6，❑√10；
……
（1）根据各组数反映的规律，用含n的代数式表示第n组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，CB=3，AB=m，AC=n，若3，m，n为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且
∠DAB=90°，AD=AC，求BD的长．
【答案】（1）❑√n，❑√n+2，❑√2n+2；（2）直角三角形，见解析；（3）BD=❑√31
【分析】（1）根据已知数据即可得到结果；
（2）根据勾股定理判断即可；
（3）根据题意可得出❑√9，❑√11，❑√20，在根据勾股定理计算即可；
【详解】（1）∵第一组：1，❑√3，2；
第二组：❑√2，2，❑√6；
第三组：❑√3，❑√5，❑√8；
第四组：2，❑√6，❑√10；
……，
∴第n组：❑√n，❑√n+2，❑√2n+2．
（2）直角三角形；
证明：∵n为正整数，
∴(❑√n) 2+(❑√n+2) 2=2n+2=(❑√2n+2) 2 ．
∴以❑√n，❑√n+2，❑√2n+2为三边的三角形是直角三角形．（3）∵3，m，n为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
∴这组数为第九列：❑√9，❑√11，❑√20，
即BC=3，AB=❑√11，AC=❑√20．
∵AD=AC，
∴AD=AC=❑√20．
∵∠DAB=90°，AB=❑√11，
∴BD=❑√AD2+AB2=❑√31．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键．
