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专题20.5 易错题题型训练
（第二十章 勾股定理）
【人教版八下 新教材】
●
易错题型一 勾股树（数）问题
1．（23-24八年级下·全国·期末）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，
观察下列表格：
3，4，5 32+42=52
5，12，13 52+122=132
7，24，25 72+242=252
9，40，41 92+402=412
… …
a，b，c a2+b2=c2
(1)试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论．
(2)写出当a=17时，b，c的值．2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列勾股数：
①3，4，5，且32=4+5；
②5，12，13，且52=12+13；
③7，24，25，且72=24+25；
④9，b，c，且92=b+c；
…
(1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：b=______，c=______；
(2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确．
3．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章
1 1
算术》，其勾股数组公式为：a= (m2−n2),b=mn,c= (m2+n2)，其中m,n(m>n)是互质的奇数，则
2 2
a,b,c为勾股数．我们令n=1，得到下列顺序排列的等式：
①32+42=52，
②52+122=132，
③72+242=252，
④92+402=412，
…
根据规律写出第⑩个等式为 ．
易错题型二 勾股定理与折叠问题
4．（21-22八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，
BC′交AD于点E．若AB=4，AD=8，则线段BE= ．
5．（25-26八年级下·全国·周测）如图所示的是一张直角三角形纸片，∠ACB=90°，AC=8cm，
BC=6cm．将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为cm．
6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=18，点D，E分别在边AB，AC上，将∠A沿
DE折叠，使点A与点B重合．EC=5，求BC的长；
【深入探究】
（2）如图2．将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E．若AB=4，
BC=8，求AE的长．
易错题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
7．数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围；
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将
△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边
关系可得2EF；
②若∠A=90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
8．（24-25九年级下·北京·开学考试）某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
(1)如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD=CD，则有∠B=∠C；证明：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AB=AC（依据： ① ）
∴∠B=∠C（依据： ② ）
(2)某同学顺势提出一个问题：既然AB=AC，即知AB+BD=AC+CD．若把（1）中的条件BD=CD替
换为AB+BD=AC+CD，还能推出∠B=∠C吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B=∠C，并分别提供了不同的证明方
法．
小军 小民
证明：∵AD⊥BC，
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使 ∴△ADB与△ADC均为直角三角
得…… 形
根据勾股定理，得……
请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整．
9．（23-24八年级下·山东淄博·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，
乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜
向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所
列方程正确的是（ ）
A．(
3×
x) 2
+102=(x−10) 2
B．(
3×
x) 2
+(x−10) 2=102
7 7
C．(
7×
x) 2
+102=(x−10) 2
D．(
7×
x) 2
+(x−10) 2=102
3 3
易错题型四 利用勾股定理证明线段平方关系
10．（25-26八年级下·全国·周测）已知△ABC如图所示．
(1)若AB=8，AC=5，BC边上的高AD=4，求边BC的长．
(2)若AB=AC，P为BC上的任意一点，求证：AB2−AP2=PB⋅PC．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠CBE=45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
(1)如图1，若AB=13，BC=10，求AF的长度；
(2)如图2，若AF=BC，求证：BF2+EF2=AE2．12．在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如图1，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三
角形时，小明猜想：a2+b2>c2，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC
中， ，在 中， ．
AD2=b2−x2 Rt△ADB AD2=c2−(a−x) 2,∴a2+b2=c2+2ax
∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2>c2,∴当△ABC为锐角三角形时a2+b2>c2．所以小明的猜想是正确的．
(1)请你猜想，如图3，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．
(2)证明你猜想的结论是否正确．
易错题型五 勾股定理的证明方法
13．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对
勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者．
(1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，∠A=∠B=∠CED=90°，请
推导勾股定理．
(2)如图2，在△ABC中，AC=10，BC=17，AB=21，CH⊥AB，垂足为H，求CH的长．14．（24-25八年级下·江西南昌·月考）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长
都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为
1
4× ab+(a−b) 2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，
2
则a2+b2=c2．
(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB=AC，由于某种原
因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一
条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH=0.8千米，HB=0.4千米，求新路CH比原路
CA短多少千米？
15．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解
形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小
组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．
【初步探究】
（1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（bn) (m+n) 2=15A．8 B．9 C．10 D．11
17．（24-25九年级下·四川泸州·月考）如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系
证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等.朱入与朱出的三角
形全等，朱方与青方是两个正方形.探究学习中，标上字母绘成图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的边
长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b−a=2，a2+b2=28，则图2中的阴影部分面积为（
）
A．20 B．22 C．23 D．24
18．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的
方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．
而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．
（1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分
也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，
写出这个等式__________．
【类比探究】
（2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽
弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大
正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面
积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________．【迁移应用】
（3）在Rt△ABC中，a、b为直角边，c为斜边，已知c=10，a+b=14，求△ABC的面积；
（4）如图4，四边形ABCD中，线段AC⊥BD，AC=BD=3，在Rt△BOC中，OB=x，OC= y，其周
长为n，当n为何值时， △AOD的面积为定值，并说明理由．
易错题型七 用勾股定理构造图形解决问题
19．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形ABCD的 AD边上一点， 求证：
OA2+OC2=OB2+OD2．
分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行
求证．
证明：过O 点作 OE垂直BC，垂足为E，
设OA=BE=x，OE= y，OD=EC=z，
在直角三角形BEO中，OB2=BE2+OE2=x2+ y2
在直角三角形OCD中，OC2=CD2+OD2= y2+z2
所以OA2+OC2=x2+ y2+z2
OB2+OD2=x2+ y2+z2
即OA2+OC2=OB2+OD2得证
请您模仿以上方法完成以下问题；
(1)如图2，已知点O 是矩形ABCD内任意一点，求证：OA2+OC2=OB2+OD2；
(2)如图3，已知点O在矩形ABCD的外部，结论OA2+OC2=OB2+OD2还能成立吗？请给予证明．20．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解
【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式a2+b2=c2（其中a，b为直角三
角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式 进行了“联合”探究．
(a+b) 2=a2+2ab+b2
【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上
两个公式可以得出另外的等式： ，在这个等式里，可以将 ， ， 分别看成三个量，
(a+b) 2=c2+2ab a+b c ab
由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量．
【解决问题】
(1)在一直角三角形中：
①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长；
②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长；
(2)如图，在四边形ACBD中，已知∠C=∠D=90°，AC+BC=3，AD2+BD2=5，求Rt△ABC的面
积．21．（24-25八年级下·福建莆田·期末）在△ABC中，BC=a, AC=b, AB=c．若∠C=90°，如图
1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．
(1)若△ABC是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．
(2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请
说明理由．
易错题型八 勾股定理与无理数
22．（22-23八年级下·云南德宏·期末）如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，
使AB=3．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间23．（24-25八年级下·云南红河·期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题
的重要工具，也是数形结合的纽带．
(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，
OB为半径作弧，则点C表示的数为_______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，BE=1m，将它往前推至点C处时，水平距离CD=4m,CF=3m，它的绳索始终拉
直，求绳索AC的长．
24．（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图，数轴上点A、B表示的数分别是−2和1，BC⊥AB，垂
足为B，BC=2，以点A为圆心，AC长为半径在右边作弧，交数轴于点D．
甲说：点D表示的数为❑√13；
乙说：点D表示的数在1和2之间．
则下列判断正确的是（ ）
A．甲乙均对 B．甲乙均错 C．甲对乙错 D．甲错乙对
易错题型九 利用勾股定理求旗杆高度
25．（25-26七年级上·山东淄博·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探
究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题．
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD模型抽象
①测得水平距离ED的长为15米
测绘数据
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.6米
说明 点A，B，E，D在同一平面内
(1)求线段AD的长；
(2)若想要风筝沿DA方向再上升12米，则在ED长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
26．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶
端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的
距离为9米．
(1)求旗杆AB的高度；
(2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落
在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？（❑√5≈2.24，结果保留1位小数）27．（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究
八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计
了如下方案：
课题：测量风筝的高度CE．
工具：皮尺，计算器等．
测量示意图：如图1．
说明：如图1，AE表示地面水平线，AB表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且AB垂直于
地面于点A，线段BC表示风筝牵引线（近似为线段），CE表示风筝到地面的垂直高度，CE⊥AE于点
E，BD⊥CE于点D．
测量数值：点B到CE的距离BD=9米；风筝牵引线BC的长度：BC=15米；AB的长度：AB=1.6米；
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如图2，如果风筝沿DC方向上升28米至点F（CF=28）， 求风筝牵引线BF的长．
易错题型十 利用勾股定理解决水杯中筷子问题
28．（24-25八年级下·广东潮州·月考）如图，一株水草AB立于湖水中，此时测得BC=2尺，随后将水
草拉至与水面齐平时，测得B′C=6尺．试求湖水AC有多深?29．（24-25八年级下·福建福州·期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”如图，平静的
水面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面2cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花
偏离原位置8cm，则水的深度BC为（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
30．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方
一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一
个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇
拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求
的水深为（ ）
A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
易错题型十一 利用勾股定理解决航海问题
31．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼
群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（❑√3取1.7）
32．（24-25八年级下·山东德州·月考）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直
公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为900米，C处与B村的距
离为1200米，且AC⊥BC．
(1)求A，B两村之间的距离．
(2)求点C到直线l的距离．
(3)为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需
要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．易错题型十二 利用勾股定理求台阶上地毯长度
33．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上
地毯，若地毯每平方米30元，则铺完这个楼道至少需要 元．
34．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为2m，楼梯坡面的长度为4m，要在楼梯的表
面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到0.1m）
35．（21-22八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于
7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短
路线有多长？
易错题型十三 利用勾股定理判断汽车是否超速
36．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速40km/h，小明尝
试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点P到该路段l的距离（OP的
长）为40米，测得一辆汽车从A处匀速行驶到B处用时3秒，∠APO=60°,∠BPO=45°．试通过计算判
断此车是否超速？（❑√3≈1.7,❑√2≈1.4）37．（24-25八年级下·湖北随州·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某周末，张三同学在青
年路尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一辆车由
西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°．
(1)求AP的长；
(2)试判断该车是否超过了70km/h的限制速度．（参考数据：❑√3≈1.732）
38．为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路MN
的一侧有一报亭A，报亭A到公路MN的距离AB为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，
宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶．
(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？易错题型十四 利用勾股定理判断是否受台风影响
39．（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，
第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离
A市52km的B处（即AB=52km），正以8km/h的速度沿BC直线方向移动．
(1)已知A市到BC的距离AD=20km，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
(2)如果在距台风中心25km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？
40．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知A，C两岛的距
离为30❑√2km，A，B两岛的距离为70km，B，C两岛的距离为50km．2024年9月，超强台风“摩羯”
登陆岛屿B，台风中心由B向A移动，风力影响半径为34km．
(1)请判断岛屿C是否会受到台风的影响？并说明理由．
(2)若台风影响岛屿C的时长是1.6小时，求台风中心的移动速度．41．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车
在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路AB上，沿东西方向由A向B行驶．小丽的家在
公路的一侧点C处，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300m，BC=400m，又
AB=500m，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．
(1)求∠ACB的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路AB上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点E时，小丽在家刚好
听到广播，当移动广播车行驶到点F时，小网在家刚好不再听到广播，即CE=CF=250米，问小丽在家听
到广播宣传的时长是多长？
易错题型十五 利用勾股定理求最短路径
42．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B
到MN的距离BD=5，已知CD=4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，|PA−PB)的
最大值为b，则a2−b2的值为（ ）A．160 B．150 C．140 D．130
43．（2026八年级下·全国·专题练习）葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕
着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？
阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）：
(1)如图，若树底面的周长为3dm，从点A绕1圈到点B，葛藤升高4dm，则它绕树盘旋的最短路程是多少
分米？
(2)若树底面的周长为8dm，葛藤绕树1圈的路程是10dm，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树
顶，则树干的高为多少分米？
44．（25-26八年级上·全国·期中）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱的高为
8cm，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底
面的点B在点A的正下方．(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母）
(2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度．
(3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为5dm，4dm，3dm（即AB=5dm，BC=4dm，
AE=3dm）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设
计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．(木板的厚度忽略不计)
易错题型十六 利用勾股定理的逆定理求解
45．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，且△ABC周长为36cm．
点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
如果P，Q两点同时出发，那么经过3s，△BPQ的面积为（ ）
A．12cm2 B．18cm2 C．24cm2 D．36cm2
46．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图是由边长为1的小正方形构成的7×7网格，每个小正方形
的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．（不写作法，保留痕
迹）(1)图1中，在BC上画一点D，使∠BAD=45°；
(2)图2中，点P、M为格点，在AC上画一点E，使得PE+ME最小，并直接写出PE+ME最短距离
________．
47．（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，老师为了激发同学们的数学思维，让同学们模拟把一
块三角形蛋糕均分成小三角形蛋糕，分发给若干名小朋友．
(1)【初步感知】
小红得到的题目如下：把如图①的等腰三角形蛋糕均分成两块小三角形蛋糕，分发给两名小朋友．于是他
沿着底边上的中线切成了两块小三角形蛋糕．他用的数学原理是________；
（A）三角形的稳定性 （B）等腰三角形是轴对称图形 （C）三角形内角和等于180°
(2)【思考操作】
小星得到的题目如下：把如图②的三角形蛋糕均分成四块小三角形蛋糕，分发给四名小朋友．请你用两种
不同方法，在图中作出尺规作图条件下能够完成的“切痕”（直接画出“切痕”，写出切割依据即可）；
(3)【拓展延伸】
小梅得到的题目如下：如图③，在△ABC中，BC、AC、AB边上的中线AD、BE、CF相交于点G．
①求证BG=2EG；
②若AD=9，BE=12，CF=15，求△ABC的面积．
请你给小梅写出解答过程．易错题型十七 勾股定理逆定理的实际应用
48．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．下图是该校开垦
的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地ABCD．经测量AB=AD=13m，BC=8m，CD=6m，且
BD=10m．
(1)试说明：∠BCD=90°．
(2)求阴影部分的面积．
49．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践
问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集
设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．
欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m，在CD上选取两
点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．
强强设计的铺设管道方案如下：
方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；
方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．
社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点
之间的距离，就确定了∠ABC=90°．
(1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．
(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．
(3)若∠EGF=90°，EF=10m,EG=8m，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方
案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．
易错题型十八 勾股定理逆定理的拓展问题
50．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学
习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板ABC和直
角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．
∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a，AC=DF=b(a>b)，AB=DE=c．请你回答以下问题：
（1）AB与DE的位置关系为______．
（2）填空：S =______（用含c的代数式表示）．
四边形ADBE
（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．【问题再探】平移直角三角板DEF，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三
角形ABE是一个等腰直角三角形．
请你利用以上信息解决以下问题：
已知直线a∥b及点P，作等腰直角△PAB，使得点A、B分别在直线a、b上且∠APB=90°．（尺规作图，
保留作图痕迹）
【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：
已知△ABC中，∠A=45°，∠B=22.5°，BC=6，则△ABC的面积=______．51．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若c2=a2+b2，则称c为“完美勾股
数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如132=52+122，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾
股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2−6a−8b−10c+50=0． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，n>0且m>n，c=2m2+2mn+2n2，a=m2+4mn+n2，b=❑√3(m+n)，c为“完美勾股数”，
a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式x3−3x2+p有一个因式x−m+n，求该多项式的另一个因式．
52．（1）如图1，О是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3,OB=4,OC=5,
△BAO≅△BCD，连接OD．
①∠OBD= __度；（答案直接填写在横线上）
②OD=_ __﹔（答案直接填写在横线上）
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，О是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)内一点，连接OA、OB、OC，
△BAO≅△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90∘．请给出证明．
