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考点巩固卷 06 利用导数研究函数的单调性、极值
和最值（八大考点）
考点01：利用导数求函数的单调区间
求已知函数（不含参）的单调区间
①求 的定义域
②求
③令 ，解不等式，求单调增区间
④令 ，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令 （或 ）不跟等号.
1．已知函数 ，则 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导后，由 可求出其递减区间.
【详解】 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 ，
故选：A.
2．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出导函数 ，令 ，即可得解.
【详解】由函数 ，可得 ，
令 ，可得 ，所以函数 的单调递减区间是 .
故选：C.
3．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导并令导函数大于零，解不等式可得其单调递增区间.
【详解】易知函数 的定义域为 ，可得 ，
令 ，解得 .
试卷第2页， 共3页所以函数 的单调递增区间是 .
故选：D
4．函数 单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求导后，令 ，解出即可.
【详解】 ,
令 ，解得 ，
所以单调递减区间为 .
故选：A.
5．已知函数 ，其导函数为 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为 ，单调递减区间为
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；
（2）利用导数与函数单调性的关系即可得解.
【详解】（1）因为 的导数为 ，所以 在 处的切线斜率为 ，而
故所求的切线方程为 ，即 ．
（2）因为 ，定义域为
所以
解 得 ，解 得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
6．已知函数 (其中 为常数)．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)求函数 在 上的最小值．
【答案】(1)单调递增区间为 ；单调递减区间为
(2)答案见解析
【分析】（1）根据 的正负确定 单调区间；
（2）分类讨论 ，根据 单调的单调性确定 的最小值.
【详解】（1）
令 解得 ，所以 的单调递增区间为
令 解得 ，所以 的单调递减区间为
（2）
①当 时， 在 上单调递增， ；
②当 时， 在 上单调递增， ；
试卷第4页， 共3页③当 时，令 和 分别解得 和 ，
则 在 上单调递减， 单调递增，所以 ；
④当 时， 在 上单调递减.
综上所述：当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
7．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明： ；
(3)若 既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间是 ，函数 的单调递减区间是 ， ．
(2)证明见解析(3)
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数后由导数的正负可求出函数单调区间；
（2）不等式转化为 ，构造函数 ，利用导数求出其单
调区间，利用其单调性可证得结论；
（3）设 ，令 ，则转化为 既有极大值又有极小值，则
，令 ，然后对函数求导后，分 ， ，
， 四种情况讨论即可得答案.【详解】（1）当 时， ，函数 的定义域为 ，
，
令 ，解得 ；令 ，解得 或 ，
故函数 的单调递增区间是 ，函数 的单调递减区间是 ， ．
（2）当 时， ，函数 的定义域为 ，
不等式 就是不等式 （*），
当 时，（*）式等价于 ；
当 时，（*）式等价于 ．
设 ， ，
故 在 上单调递增，
故当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ．
所以原式成立．
（3）设 ，令 ，
既有极大值又有极小值等价于 既有极大值又有极小值．
，记 ．
试卷第6页， 共3页，
①当 时，有 ，则 在 上单调递增，
故函数 在 上至多有1个零点，不合题意；
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
故 在 上没有零点，不合题意；
③当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，故函数 在 上没有零点，不合题意；
④当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
且有 ， ， ，
（这里用不等式：当 时， ）
．
下面证明当 时， ，令 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以当 时， ，
所以 ， ，又因为函数 的图象分别在区间 ， 上连续，
所以函数 在 ， 内各有1个零点，分别记为 和 ，
故 、 分别为函数 的极大值点、极小值点．即 既有极大值又有极小值．
综上，当 时， 既有极大值又有极小值．
8．设函数 .
(1)若 是 的极值点，求a的值，并求 的单调区间；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)6，单调递增区间 ，单调递减区间
(2)答案见解析(3)
【分析】（1）先求导，令 ，检验即得解；代入 ，分别令 ，
得到单增区间和单减区间；
（2）根据二次函数及二次不等式的性质，结合函数定义域，分类讨论即可求解；
（3）转化 为 ，分 ， 两种情况讨论即可.
【详解】（1） ，
，解得 ，
此时 ，
令 ，有 或 ，令 ，有 ，
试卷第8页， 共3页所以 是 的极值点， 满足题意，
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）由（1）知 ，
当 即 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增；
当 即 时，由 得 或 ，
由 得 ，
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 即 时，由 得 或 ，
由 得 ，
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 即 时，由 得 ， 得 ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
综上， 时， 在 上单调递增，无递减区间，
时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）由题意当 时，令 ，有 ，令 ，有 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以
，即
当 时， 不成立.
综上， .
9．已知函数
(1)求函数 的单调区间；
(2)函数 有唯一零点 ，函数 在 上的零点为 ．证明： ．
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单
调区间；
（2）法一：由已知导数与单调性关系及函数零点存在定理可知，
，构造函数 ，结合导数及函数性质可得
的范围，再令 ，结合导数分析 的单调性，利用不等式放缩即可
求解.法二： ，设新函数 ，利用零点存在性定理
得 ，再证明 单调性即可.
试卷第10页， 共3页【详解】（1）函数 的定义域为 ，
且 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）法一：由（1）可知若函数 有唯一零点 ，则 ，即
，
令 ，则 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
因为 ， ，
所以 ，
，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上存在唯一零点，所以 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
故 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，
所以 .
法二：因为 ，由（1）可知若函数 有唯一零点 ，则 ，
即 ，
设 ，而 在 上单调递增，
所以 ， ，所以 在 上单调递增，
又 ，
令 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，而 ，
.
10．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处切线的斜率；
试卷第12页， 共3页(2)当 时，讨论 的单调性．
【答案】(1)
(2)在 上单调递增，在 上单调递减.
【分析】（1）求导并将 代入，即可求出曲线 在点 处切线的斜率；
（2）求导并将 带入，利用导数即可得出单调性.
【详解】（1）由题意，
在 中， ，
中，
当 时，
， ，
中， ，
∴曲线 在点 处切线的斜率为
（2）由题意及（1）得，
在 中， ，
当 时，
，
∴ 即 ，此时 ，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，
∴函数在 上单调递增，在 上单调递减.考点02：求已知函数的极值与最值
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而
且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做
函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而
且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做
函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小
值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
11．函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 在区间 上不单调 B． 有两个极值点
C． 有两个零点 D． 在 上有最大值
【答案】C
【分析】对 求导，讨论单调性，得出极值和最值，画出草图即可．
【详解】定义域为 ，求导即 ，
令 ，解得 ．
试卷第14页， 共3页显然在 和 上 ，故 在 和 上单调递增；
在 上 ，故 在 上单调递减．
所以 为 的极大值点， 为 的极小值点，且 ，
，草图如下.
所以ABD正确，C错误．
故选：C．
12．函数 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值.
【详解】函数 的定义域为 ，
又 ，
令 ，则 或 ，所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ．
故选：D．13．函数 的极大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
【答案】D
【分析】求导，令 ， ，可求得极大值.
【详解】因为 ，令 ，得 时；令 ，得 ，
所以当 时，函数 取得极大值 ．
故选：D.
14．若函数 在 上存在最小值，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数判断函数 的单调性，得到函数的极大极小值，结合函数的简图，由
题意即可判断参数的范围.
【详解】由题意， ，
由 可得 或 ，由 可得 ，
从而 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
故 有极大值 ，极小值 ，如图所示，
注意到 ，由图可知，要使函数 在 上存在最小值，应有
试卷第16页， 共3页.
故答案为： .
15．已知函数 ，若方程 有2个不同的实根，则实数 的取值范
围是 .
【答案】 或
【分析】根据给定条件，求出函数 的导数，利用导数探讨函数的性质，再数形结合求
出 的范围.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 或 时， ，当 或 时， ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得极大值 ，当 时， 取得极小值 ，
函数 在 上恒有 ，而 ，
当 时， ，而函数 在 上递减，值域为 ，
因此函数 在 上无最大值，当 时， ，显然 在 上无最大
值，
函数 的大致图象如图，观察图象知，当 或 时，直线 与函数 的图象有两个公共点，
因此方程 有两个不同的实数解时， 或 ，
所以实数 的取值范围是 或
故答案为： 或
16．已知函数 的图象在点 处的切线过点 ．
(1)求实数 的值；
(2)求 的单调区间和极值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点 代入求解 ；
（2）利用导数研究函数单调性和极值.
【详解】（1）由已知得 ，
则 ，又 ，
所以 图象在点 处的切线方程为 ，
将点 代入得 ，解得 .
（2）所以 ，定义域为 ,
所以 ，
令 ，则 ，
易得 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
试卷第18页， 共3页又 ，所以当 时， ，即 ， 在 上单调递减，
当 时， ，即 ， 在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，极小值为 .
17．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程
(2)当 时，求函数 的极值
(3)若 在 上是单调增函数，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2)极小值为 ，无极大值(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义函数 的图象在点 处的切线的斜率为
，又 ，由直线的点斜式可得切线方程；
（2）利用 的正负讨论 的单调性，即可求得函数 的极值；
（3）由 在 上是单调增函数，所以 在 上恒成立，则 在
上恒成立，又 在 上为单调递减函数，所以 ，可得 .
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
，所以函数 的图象在点 处的切线的斜率为
，又 ，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ，即 .
（2） ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 在 处取得极小值 ，无极大值.
（3）因为 在 上是单调增函数，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为 在 上为单调递减函数，
所以当 时， 取得最大值，即 ，
所以 .
18．已知函数 （ ）.
(1)求函数 的极值；
(2)若集合 有且只有一个元素，求 的值.
【答案】(1)极大值是 ，无极小值；
(2) .
【分析】（1）利用求导，通过参数 ，可分析出 为正负的区间，从而可以判断
试卷第20页， 共3页的极值；
（2）利用不等式有唯一解，则正好是最大值取到等号，再去分析取等号的含参方程有解的
条件，所以重新构造新的函数，通过求导来研究函数的零点和方程的解.
【详解】（1）由 ，
因为 ，所以 的定义域为 ，则 ，
因为 时， ； 时， .
所以 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 ，
所以 是 的极大值点， 的极大值是 ，无极小值.
（2）由（1）可得 ，
要使得集合 有且只有一个元素，则只需要
设 ，则 ，
因为 时， ； 时， ，
所以 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 .
所以 ，所以关于 的方程 有解时，
只能是 ，
所以集合 有且只有一个元素时 .
19．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间和极值;(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)增区间为 和 ，减区间为 ，极大值为-1，极小值为
(2) .
【分析】（1）利用导数分析函数 的单调性，可求得函数的增区间、减区间以及极大
值、极小值；
（2）结合参变量分离法可得 ，令 ，利用导数求出函数 的最大
值，即可得出实数 的取值范围.
【详解】（1） ，
该函数的定义域为 ，
则 ，列表如下：
1 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的增区间为 和 ，减区间为 ，
函数 的极大值为 ，极小值为 .
（2）当 时，由 可得 ，
令 ，其中 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
试卷第22页， 共3页所以，函数 的增区间为 ，减区间为 ，
所以， ，
所以， ，故实数 的取值范围是 .
20．已知 .
(1)求 的单调区间，并求其极值；
(2)画出函数 的大致图象；
(3)讨论函数 的零点的个数.
【答案】(1)单调递增区间为 ,单调递减区间为 ， ；极小值为 ，
无极大值
(2)作图见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）求出 ，由 的正负判断出 的单调性可得极值；
（2）根据 的单调性极值可得答案；
（3）转化为函数 的零点的个数即为函数 的图象与直线 的交点个数，结
合图象可得答案.
【详解】（1）定义域为 ， ，
令 得， ，
列表如下；0
↘ ↘ ↗
由上表知， 单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ， ；
当 时， 取极小值为 ，无极大值；
（2）令 得， ；令 得， ，
当 时， ， ，故 ；
当 时， ， ，故 ；
据此信息及（1）可得 的图象，如图所示；
（3）令 得 ，
则函数 的零点的个数即为函数 的图象与直线 的交点个数，
结合图象及（2）可知，当 或 ，即 或 时，
函数 有1个零点；
当 ，即 时，函数 有2个零点
当 ，即 时，函数 有0个零点.
试卷第24页， 共3页考点03：已知函数在区间上递增（递减）求参数
已知函数 在区间 上单调
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.
②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：1.在区间内 是函数 在此区间上为增（减）函数的充分不必要
条件；
2.可导函数 在区间 是增（减）函数的充要条件是： 都有
，且 在 的任意一个子区间内都不恒为 ；
3.由函数在区间 是增（减）函数，求参数范围问题，可转化为
恒成立问题求解.
21．若函数 的单调递增区间是 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】求导可得 ，由 ，可得 ，可求 .
【详解】 ，
若 ，则可得 在 上单调递减，
若 ，令 ，可得 ，所以 在 上单调递增，
又因为 的单调递增区间是 ，所以 .
故选：D.
22．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 在 上单调递增，化为 对任意 成立，再转化为
对任意 成立，求解即可.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以 对任意 成立，
即 对任意 成立，
令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
令 ，即 ，解得 或
因为 ，所以 ，
试卷第26页， 共3页所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 时取得最大值为 ，
所以 .
故选： .
23．已知函数 在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】将函数求导，从而将函数单调性问题转化为导数不等式在给定区间上的恒成立问
题，继而通过参变分离法求出函数的最值,即可得到参数的范围.
【详解】由函数 在区间 上单调递增,可得 在[1，2]上恒成立，
即 ，
设 ，则 ， ， ，
故当 时，即 时， ，
故得 ，即a的最大值为 .
故选：B.
24．已知函数 在 上单调递增，则 的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得 恒成立，进而可得出答案.
【详解】 ，因为函数 在 上单调递增，
所以 恒成立，
则 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
故选：C.
25．已知函数 为定义域上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，将问题转化为 在 恒成立，然后利用导数求得函
数最值，即可得到结果.
【详解】 ，
由函数 为定义域上的减函数，
可得 在 恒成立，
即 在 恒成立，
即 在 恒成立，
令 ，即 ，
则 ，令 可得 ，
当 时， ，则函数 单调递增，
试卷第28页， 共3页当 时， ，则函数 单调递减，
所以 时， 有极大值，即最大值为 ，
所以 ，即 ，所以 的取值范围是 .
故选：A
26．若对任意的 ，且 ， ，则 的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】由题意可得 ，令 ，则 ，则可得
在 上递增，然后利用导数求出 的递增区间，从而可求出 的最大值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为对任意的 ，且 ，
所以 在 上递增，
由 ，得 ，
由 ，得 ，得 ，解得 ，所以 的递增区间为 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：
27．已知函数 在区间 上不单调，则m的取值范围
是 .
【答案】
【分析】根据题意可知 在区间 有变号零点，结合变号零点与给定区
间的关系求解即可.
【详解】由题意知 ，
因为 在区间 上不单调，即 在区间 有变号零点，
又 ，所以 ， ， ，
所以 在区间 内，
所以 ，解得 ，即m的取值范围是 .
故答案为： .
28．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【分析】求出函数的导数，结合已知可得 ，再由函数不等式恒成立问题求
试卷第30页， 共3页函数最值即可得结论.
【详解】函数 ，求导得 ，
由函数 在 上单调递增，得 ， ，
而函数 在 上的最小值为 ，因此 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
29．已知函数 ．
(1)若 在定义域内是单调函数，求a的取值范围；
(2)若 有两个极值点 ， ，求证： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）分 在定义域内是单调递增函数和单调递减函数求解；
（2）由 有两个极值点 ， ，得到 ，且 ， 是
的两个根，由（1）知 在 上单调递增，在
上单调递减，不妨设 ，将证 ，转化为证 即可．
【详解】（1）解：函数 的定义域是 ， ．
①若 在定义域内是单调递增函数，
则 在 上恒成立．
注意到 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，若 ，即当 时，取 ，则 ；
若 ，即当 时，取 ，则 ，
所以 在 上不可能恒成立，舍去．
②若 在定义域内是单调递减函数，则 在
上恒成立．
令 ，
则 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，所以由 恒成立，得 ，
即当 在 上单调递减的， 的取值范围是 ．
综上，当 在定义域内是单调函数时， 的取值范围是 ．
（2）由（1）知 在定义域内是单调函数时，必有 ，
所以 有两个极值点 ， ，必须 ，
， 是 的两个根，
所以 ， ．
由（1）知 在 上单调递增，在 上单调递减．
不妨设 ．
试卷第32页， 共3页要证 ，即证 ．
因为 ， ，所以亦即证 ，所以要证 ．
注意到 ，
，
，
令 ， ，则 ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ．
30．已知函数
(1)写出函数的定义域，求当 时 的单调区间；
(2)若 ， 在区间 上为减函数，求a的取值范围.
【答案】(1) ， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)
【分析】（1）由函数解析式求出定义域，求出函数导数，建立不等式求解，即得函数单调
区间；
（2）由 在区间 上为减函数等价于 在区间 上恒成立，由二次函数
得到关于参数 的不等式组，解之即得.【详解】（1）因为 ，
所以函数定义域为 ，
当 时， ，
因 ，由 可得 ，则 的单调增区间为 ，
由 ，解得 ，所以 的单调减区间为 ，
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）由函数 ，可得 ，
在区间 上为减函数等价于 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立.
不妨设 且 ，结合二次函数的图象与性质，
需使 ，解得 或 （舍去）.
即 的取值范围是 .
考点04：已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数
已知函数 在区间 上不单调 ，使得 （且 是变号零点）
31．函数 在 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
试卷第34页， 共3页【分析】由“函数 在 上不单调”可等价转化为 在
上必有变号零点,通过参变分离法，即可求得 ，依题，只需判断选项是否为
得真子集即可.
【详解】依题意， ，因 在 上不单调，
故导函数 在 上必有变号零点.
令 ，得 ，再令 ，则 ，
由 ，得 即 在 上单调递增，所以 ，
故只需 ，即 ，
对于A， 是 的真子集,故 A选项是一个充分不必要条件，
而其他选项中， 的范围都不是 的真子集，故都不正确.
故选:A．
32．已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出导函数 ，利用导数讨论 的单调性，结合题意可得 运算
求解即可.
【详解】由 ，函数定义域为 ，
当 时，函数 单调递增，不合题意；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，若函数 在区间 不单调，则 ，解得 ；
综上所述：实数 的取值范围是 .
故选：B.
33．已知函数 在区间 上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由于函数 在区间 上不单调，等价于函数 在区间 上存在极值点，
对函数 求导，对 分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间 内，可得关于 的
不等式，即可求出结果．
【详解】由 .
①当 时，函数 单调递增，不合题意；
②当 时，函数 的极值点为 ，
若函数 在区间 不单调，必有 ，解得 ；
综上所述：实数a的取值范围为 .
故选：B.
34．已知函数在 上不单调， 则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
试卷第36页， 共3页【分析】利用求导数的方法，含参讨论函数的单调性，即可求出实数a的取值范围.
【详解】 ，
当 时， 在区间 上单调递减，不符合题意.
当 ， 时， ，
在区间 上单调递减，不符合题意.
当 时，令 ，解得 ，
要使 在区间 上不单调，则 ，
即 ，解得 ，
此时 在区间 上 递减；
在区间 上 递增.
故选：B
35．已知函数 在 上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先利用导数求函数在区间 上单调时的 的取值范围，再根据补集思想求不
单调时的 的取值范围.【详解】由题意可知， ，
若函数 在 上单调，则 或 ，
当 时， 恒成立，
当 ，转化为 ，或 ，
设 ，则 或 恒成立，
即 或 ，
，
所以 ，
所以函数 在 上不单调，则 .
故选：B
36．已知 在 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对 求导，得到 ，从而得到函数
的单调性，又因为 在 上不单调，从而得到关于 的不等
式.
【详解】由于 ，可得 ，
可得函数 的极值点为： ， ，
试卷第38页， 共3页由 在 上不单调，
可得 或 ，
解得 ．
故选：D．
37．已知函数 在 上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得 ，根据 在区间 上不单调列不等式，由此求得 的取值范
围.
【详解】 ，
当 时， 在区间 上单调递减，不符合题意.
当 ， 时， ，
在区间 上单调递减，不符合题意.
当 时，令 ，解得 ，
要使 在区间 上不单调，则 ，
即 ，解得 ,
此时 在区间 上 递减；
在区间 上 递增.故选：B
38．已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的极小值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 ，令 ，且 在 上不单调，求实数 的取值范围．
【答案】(1) (2)答案见解析(3)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及极值计算即可；
（2）先求导函数，含参讨论导函数的正负情况计算即可；
（3）先根据 确定 解析式，再根据 在 上不单调得出其导函数有变
号零点，构造函数 ，判定其在 的单调性与极值、最值计算即可.
【详解】（1）当 时， ，
令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， .
∴ 在 单调递增，在 单调递减，
∴极小值点为1，极小值为 ；
（2）由题意得 ，
①当 时， 在R单调递减；
②当 时， ，则 在R单调递减；
试卷第40页， 共3页③当 时，令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
故 在 递增，在 递减，在 递增；
综上：当 时， 在R单调递减；
当 时， 在 ， 上递增，在 上递减；
（3）由 ，则 ，
∴ ，
则 ，
∵ 在 上不单调，令 ，
则 在 上有变号零点，
令 ，则 ，
∴ 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
∴ ， ， ，
∴ ， 在 上有两个变号零点，
即 在 上有两个极值点，∴ ， 在 上不单调．
39．已知函数 ， ，若 在 上不单调，求a的取值范围.
【答案】
【分析】求出函数 的导数 ，利用函数 在 上存在变号零点求解即得.
【详解】函数 ，求导得 ，
由 在 上不单调，得函数 在 上存在变号零点 ，
而函数 在 上单调递增， ， ，
因此 ，又 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ．
40．已知函数 在 处取得极大值，且极大值为3.
(1)求 的值：
(2)求 在区间 上不单调，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）求得 ，根据题意，得出不等式组 ，即可求解；
（2）由 ，求得函数 的单调区间，结合 在区间 上不
单调，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：因为 ，可得 ，
试卷第42页， 共3页因为函数 在 处取得极大值，且极大值为 ，
所以 ，解得 .
（2）解：由题意，函数 在区间 上不单调，可得 ，解得 ，
又由 ，
当 时， ；当 时， ； 时， ，
所以函数 在 单调递增，在 上单调递减，
因为 在区间 上不单调，则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
考点05：利用函数的单调性比较大小
核心思想一：由 引出的大小比较问题
如图所示：
① 在 在 ，在 时，取得最大值且为
②极大值左偏，且
③若 ，则若 ，则
口诀：大指小底永为大（大小指 ）
核心思想二：对数等比定理
41．若函数 对任意的 都有 成立，则 与 的大小
关系为（ ）
A． B．
C． D．无法比较大小
【答案】A
【分析】令 ，由 结合题设，可知 在 上单调递减，即
，即可确定 与 的大小关系.
【详解】令 ，则 ，
∵对任意的 都有 成立，
∴ ，即 在 上单调递减，又 ，
∴ ，即 ，可得 .
故选：A.
42．已知 ，则下列有关 的大小关系比较正确的是
试卷第44页， 共3页（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由 时， ，即可判断 ，且 ，
然后构造函数 ，即可判断 ，即可得到结果.
【详解】因为 ， 时， ，
当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
则当 时，函数 有极小值，即最小值为 ，
所以 时， ，即 ，
，
则 ，而 ，所以 ，
又 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，所以当 时， 有极小值，即最小值为 ，
所以 ，即 ，则 ，所以 .
故选：C
43．比较 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，其中 ， ，其中 ，
，其中 ，利用导数分析各函数的单调性，由 的单调性可得出 、
的大小关系，由 的单调性可得出 、 的大小关系，由 的单调性可得出 、
的大小关系，综合可得出 、 、 的大小关系.
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，
所以， ，
所以， ，
令 ，其中 ，
则 对任意的 恒成立，
试卷第46页， 共3页所以，函数 在 上为增函数，
所以， ，即 ，
令 ，其中 ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上为增函数，则 ，则 ，
所以， ，
综上所述， .
故选：D.
44．若函数 对任意的 都有 恒成立，则 与 的大小关系
正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较大小
【答案】C
【分析】
构造函数 ，利用导数可得 在 上单调递减，从而得到 ，进
而得解.
【详解】令 ，则 ，
因为对任意的 都有 成立，
所以 ，即 在 上单调递减，又 ，
故 ，即 ，可得 .
故选：C.
45．对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知
， ， ，要比较 ， ， 的大小，我们就可通过构造函数来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 讨论单调性，可得 ，即
，化简即可得答案．
【详解】令 ，
则 ，
当 ，即 ， ， ，
所以 ， 在 上单调递增，
因为 ,
所以有 ，
即 ，
所以有 ，
即 ，
所以有 ．
故选：A．
46．已知 ， ， ，试比较 ， ， 的大小（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 以及 ，利用函数的单调性即可求解.
试卷第48页， 共3页【详解】设
则当 时 单调递减，
故
故 进而 ，
设
由于函数 和 均为定义域内的单调递增函数，
所以 为 上的单调递增函数，
因此 ，
故 ，
故 ，
因此 ，
故选：B
47．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程
的实数根x叫做函数 的“躺平点”．若函数 ， ，
的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据“躺平点”新定义，可解得 , ，利用零点存在定理可得 ,即可
得出结论.
【详解】根据“躺平点”定义可得 ，又 ；
所以 ，解得 ；同理 ，即 ；
令 ，则 ，即 为 上的单调递增函数，
又 ，所以 在 有唯一零点，即 ；
易知 ，即 ，解得 ；
因此可得 .
故选：B
48．设 ，比较 的大小关系（ ）
A． B． b
C． D．
【答案】C
【分析】由 ，构造 、 且 ，
利用导数研究单调性比较大小关系.
【详解】由 ，
令 且 ，则 ，
所以 递减，则 ，故 ，则 ，
令 且 ，则 ，
所以 递减，则 ，故 ，则 ，
综上， .
故选：C
49．已知 ，试比较 的大小关系（ ）
试卷第50页， 共3页A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三个指数的底数的形式，通过构造新函数，利用导数的性质判断其大小，再
根据三个数的形式构造新函数，通过取对数法，结合导数的性质判断其单调性，最后利用
单调性判断即可.
【详解】设 ，
当 时， ， 单调递减，
所以有 ，
因为 ，
所以 ，
设 ，
设 ，
当 时， ，函数 单调递减，
因为 ，
所以 ，
因为函数 是正实数集上的增函数，
故 ，
即 ，所以 ，
故选：C50．已知 ，试比较 大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别构造函数 和 ，利用导数判断
函数的单调性，根据单调性比较大小.
【详解】令
则 ，令 ，则 恒成立，即 在 上单调递增，
∵
即
令 ，则
令 得 ，即 在 上单调递减，
因为 ，所以 即 即 ，
即 ，所以 ．
故选：C
考点06：利用函数单调性处理抽象不等式
单调性定义的等价形式
f (x) [a,b]
（1）函数 在区间 上是增函数:
x ,x ∈[a,b] x 0
x ,x ∈[a,b] x ≠x x −x
⇔任取 1 2 ，且 1 2， 1 2 ；
试卷第52页， 共3页x ,x ∈[a,b] x ≠x (x −x )[f (x )−f (x )]>0
⇔任取 1 2 ，且 1 2， 1 2 1 2 ；
x −x
1 2 >0
x ,x ∈[a,b] x ≠x f (x )−f (x )
⇔任取 1 2 ，且 1 2， 1 2 .
f (x) [a,b]
（2）函数 在区间 上是减函数:
x ,x ∈[a,b] x 0
⇔任取 1 2 ，且 1 2，都有 1 2 ；
f (x )−f (x )
1 2
<0
x ,x ∈[a,b] x ≠x x −x
⇔任取 1 2 ，且 1 2， 1 2 ；
x ,x ∈[a,b] x ≠x (x −x )[f (x )−f (x )]<0
⇔任取 1 2 ，且 1 2， 1 2 1 2 ；
x −x
1 2 <0
x ,x ∈[a,b] x ≠x f (x )−f (x )
⇔任取 1 2 ，且 1 2， 1 2 .
定义法判断函数奇偶性
判断 与 的关系时，也可以使用如下结论：
如果 或 ，则函数 为偶函数；
如果 或 ，则函数 为奇函数．
利用单调性、奇偶性解不等式原理
1、解 型不等式
（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“ ”，将“抽象”的不等式问题转化为“具
体”的不等式问题求解；
（2）若不等式一边没有函数符号“ ”，而是常数（如 ），那么我们应该将常
数转化带有函数符号“ ”的函数值再解。
2、 为奇函数，形如 的不等式的解法
第一步：将 移到不等式的右边，得到 ；
第二步：根据 为奇函数，得到 ；
第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“ ”，列出不等式求解。
51．已知函数 ，关于 的不等式 的解集为 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B【分析】根据函数奇偶性和单调性可得：不等式 等价于 ，分 和
两种情况，结合函数单调性可得 ，进而可得结果.
【详解】因为 ，则 ，可知 的定义域为 ，
且 ，
所以 为偶函数；
当 ，则 ，即 ，
可得 ，可知 在 内单调递增，
又因为 ，结合偶函数性质可知： ，
此时 ，可得 ，
若 ，则 ，即 ，
构建 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，即 符合题意；
若 ，则 ，即 ，
构建 ，
因为 在 内单调递增，则 在 内单调递增，
且 ，
试卷第54页， 共3页可知 在 内存在唯一零点 ，
由 解得 ；
综上所述：不等式 的解集为 ，
此时 ，可得 ，
所以 .
故选：B.
52．若函数 与 的图象有且仅有一个交点，则关于 的不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将条件 与 只有1个交点转换为函数 只有1个零点，参
数分离求出a，再构造函数 ，利用其单调性求解即可.
【详解】函数 与 的图象有且仅有一个交点，
即 只有一个零点，即 只有一个零点.
令 ，则 ， .
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减，并且 .
所以， ， .函数 的大致图象如图
因为 ，所以 .
原不等式 ，即 .
令 ，
显然 时，该函数为增函数，且 ，
所以， 的解集为 .
故选：D.
53．已知函数 ，若不等式 的解集为 ，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用二次函数的知识求当 时 的范围，当 时可得 恒
成立，则 恒在 的上方（或恰相切），求出
恰为函数 在 处的切线的临界时参数 的值，即可得解.
试卷第56页， 共3页【详解】当 时， ，
令 ，得 或 ，因为不等式 的解集为 ，所以 ，解
得 ．
当 时， ，结合不等式 的解集为 ，
得 恒成立，即 恒成立，
则 恒在 的上方（或恰相切），
又 的表示过定点 的直线，点 恰在曲线 上，
所以临界条件为 恰为函数 在 处的切线，
由 可得 ，则 ，所以 ，解得 ．
综上可得实数 的取值范围为 .
故选：A．
54．关于 的不等式 的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】转化原不等式为 ，由此构造函数，对 进行分类讨论，结
合导数，通过研究 时的函数值来确定 的取值范围.【详解】依题意，关于 的不等式 的解集中有且仅有两个大于2的整数，
即 的解集中有且仅有两个大于2的整数，
构造函数 ，
即 的解集中有且仅有两个大于2的整数，
当 时，对于 ， ，
即 的解集中有无数个大于 的整数，不符合题意.
所以 .
.
若 ，即 ，
设 ，
，
设 ，
，
在 上递减，且 ，
所以当 时， ， 递减，
由于 ，
所以当 时， ，
试卷第58页， 共3页所以当 时， 递减，
所以 ，
所以当 时， 恒成立，
即 的解集中有无数个大于 的整数，不符合题意.
所以 ，即 ，
解得 ，所以 的取值范围是 .
故选：D
55．定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，由已知得出 在 上单调递减，结合 进一步计
算得到结果.
【详解】设 ，则 ，因为 ，所以 在
上单调递减.
因为 ，所以 ，所以当 时， ，当 时， ，故
不等式 的解集为 .故选：B.
56．已知定义在 上的奇函数 满足： ，则关于 的不
等式 在 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数 为奇函数，求出 在 上的解析式，从而问题转化为：当
时，解不等式： ，解此不等式要借助导数来解决；当 时，解
不等式： ．分段求解不等式即可得到答案．
【详解】∵ 为定义在 上的奇函数
∴当 时，
不等式 等价于：
当 时，解不等式：
令 ，
∴ ， 在 单调递减
试卷第60页， 共3页∵
∴ 使得
∴ 在 单调递增，在 单调递减
∵
∴当 时, 的解集为 ，即 的解集为 ；
当 时，解不等式：
化简为 ，即 ，解得 ．
综上，不等式 在 的解集为 ．
故选：D．
57．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数可求得 单调性，结合 可得不等式的解集.
【详解】 定义域为 ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；又 ，且 ， 的解集为 .
故选：C
58．已知函数 ，关于x的不等式 的解集中有且只有一个整数，则实
数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】显然 ， ，则将不等式 等价转化为 ，在同一直角
坐标系中作出直线 与函数 的图象，数形结合即可求出 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 不是不等式 的一个解
当 时，
则
不等式 有且只有一个整数解等价于 只有一个整数解
即 的图象在直线 的上方只有一个整数解
令 ，则
试卷第62页， 共3页当 时， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减
作出 的图象，
由图象可知 的取值范围为
即 ，
故选:B.
59．定义在 上的函数 的导函数为 ，且 对任意
恒成立.若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题目中的条件 变形为 ，
进一步转化为 ，构造函数 ，利用导数和函数之间的关
系处理单调性即可求解.【详解】由 ，即 ，
即 ，即 对 恒成立，
令 ，则 在 上单调递增，
∵ ，∴ ，
由 即 ，即 ，
因为 在 上单调递增，∴
故选：B.
60．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时 ，则
不等式 在 上的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先得出 的周期以及对称轴，再证明 在 上恒成立，通过对称
性画出函数 和 在 上的简图，由图象得出解集.
【详解】由题意可得 ， ，即 是周期为
的函数，且图像关于 对称.
令
时， ， 时，
试卷第64页， 共3页函数 在 上单调递增
当 时， ，即
设 ，
即函数 在 上单调递减，则 ，即
故 在 上恒成立
结合对称性可画出函数 和 在 上的简图，如下图所示
由图象可知，不等式 在 上的解集为
故选：A
考点07：根据极值点（最值点）求参数
题型1：已知极值点求参数的值.
1.已知函数 有极值点 ，求参数的值或范围,一般有两种情况：
（1）由 可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由 求出参数的值，
再代回 去研究 的单调性，确认 在 处取得极值即可.
（2）由 不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的
单调性，当 的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数.
当我们知道函数的具体极值点是极大值还是极小值求参数时，也可以利用下面高观点方
法，当然，这个方法仅供有兴趣的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要方便一些.
2.极值第二充分条件：若 ，且 ，则若 ，则
在 处取得极大值；若 ，则 在 处取得极小值.3.极值第二充分条件：
若 在 处具有直到 阶的连续导数，且 ，
但 ，则：当 为偶数时， 为函数 的极值，当 为奇数时，
不是函数 的极值.
题型2：已知极值个数求参数的范围
这类问题的形式就是已知 存在几个极值点，求参数 的取值范围. 这类问题实质是
考察导函数的变号零点个数，注意：是“变号”零点.通常情况下，这类问题可通过求导后
讨论导函数的零点个数来完成，首选分离参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个
新的函数来讨论其零点个数.
61．若函数 在 处取得极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对 求导，得到 ，令 ，得到 或 ，再
根据条件及极值的定义，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，得到 或 ，
又因为函数 在 处取得极值，所以 ，得到 ，
故选：C.
62．已知函数 在 处取得极值 ，则 （ ）
A．4 B．11 C．4或11 D．3或9
【答案】B
试卷第66页， 共3页【分析】由题意可知 ，解方程组得 和 的值，再代入检验是否能使 是
原函数的极值点.
【详解】因为 ，由题有 ，即 ，解得
或 .进行检验.
当 时 ，不合题意，舍掉；
当 时， ，
令 ，得 或 ；令 得 .
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，符合题意，则
.
故选：B.
63．若函数 在 处取得极值，则函数 在区间 上的最小值
为（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】B
【分析】求出函数的导数，根据题意列式求出a的值，结合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由 ，得 ，
由于函数 在 处取得极值，
故 ，则 ，
故 ，则当 或 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 在 处取得极大值，即 适合题意，
由此可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 在区间 上的最小值为 ，
故选：B
64．若函数 有两个极值点 ，且 ，则下列结论中不正确的是
（ ）
A． B．
C． 的范围是 D．
【答案】B
【分析】对于AC，原函数的极值点即为导函数的零点，求导后等价于 与 有两
个交点，结合单调性等函数特征画出图象判断出 ，且 ；对于B，利用
，推导 ，则可得 ；对于D，而 等价于
，构造合适的函数进行分析.
【详解】对于AC， ，有两个极值点 且 ，
试卷第68页， 共3页所以 ， 有两个零点 ，且在 各自两边 异号，
所以 与 有两个交点 ， ，
记 ，则 ，
易知： 时 ， 时 ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 有最大值 ，且 时 ， 时 ，
又当 趋向于正无穷时， 趋向于正无穷的速率远远超过 趋向于正无穷的速率，
所以 趋向于0，且 ，
由上可得 的图象如下，
所以当且仅当 时 与 有两个交点，且 ，故A，C正确；
对于B，又 ，
所以 ，即 ，故B错误.
对于D，令 ，则 ，所以 ，则 ， ，
所以要证 ，只需证 ，只需证 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，即 时 ，不等式 得证，故D正确.
故选：B.
65．若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求导函数，函数有两个极值点，等价于 有两个零点，等价于
函数 与 的图象有两个交点，利用导数求 的单调性和极值，可得实
数 的取值范围．
【详解】函数 定义域为 ， ，
函数 有两个极值点，等价于 有两个变号零点，
等价于函数 与 的图象有两个交点，且交点左右两侧 的值变号，
，
解得 ， 解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
试卷第70页， 共3页时， ； 时， ，
所以 时，函数 与 的图象有两个交点，
即实数 的取值范围为 .
故选：D.
66．若 为函数 的极大值点，则实数 的取值范围为（ ）.
A． B．
C． 或 D．
【答案】C
【分析】先求导函数，再分类讨论 大小根据极值点求参数.
【详解】因为若 为函数 的极大值点,
所以 ,
,
当 , 单调递减， 单调递增,
所以 是 的极大值点符合题意；
当 时，
当 即 , 单调递增, 单调递减，
所以 是 的极大值点符合题意；
当 即 , 单调递增, 单调递
减，所以 是 的极小值点不符合题意；
当 即 , 单调递增,无极值点不符合题意.
故 或 .
故选：C.
67．函数 在区间 上有最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出导数，判断单调性，结合函数图象，求出 的范围即可．
【详解】求导 ，令 ，得 ．
易知函数在 单调递增，在 单调递减，且
， ，由图象知
故选：D.
68．已知函数 ，若 在 处取得极小值，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用求导得到导函数的零点 和 ，就参数 分类讨论，判断函数 的单调
试卷第72页， 共3页性，即可分析判断，确定参数 的范围.
【详解】由题意得，
，
由 可得， 或 ，
① 若 ，即 时， ，显然不合题意；
② 若 ，即 时，当 或 时， ，即 在 和
上单调递增；
当 ， ， 在 上单调递减，
故 在 处取得极小值，符合题意；
③ 若 ，即 时，当 或 时， ，即 在 和
上单调递增；
当 ， ， 在 上单调递减，故 在 处取得极大值，
不符题意.
综上所述，当 时， 在 处取得极小值，故 的取值范围是 .
故选：A.
69．已知函数 在区间 上有定义，且在此区间上有极值点，则实
数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】在 上， 有极值点表示 有零点，由导数可得即可得 ，从而有 ，计算可求得 的范围.
【详解】由题可知 ，
当 时, , 单调递减，
当 时, , 单调递增，
故 只有极小值点2.
若 在区间 上有定义且有极值点，则 ，解得 .
故答案为:
70．已知函数 ，若 是函数 的驻点，则实数
【答案】5
【分析】求出函数 的导数，再利用驻点的意义列式计算即可.
【详解】函数 ，求导得 ，
由 是函数 的驻点，得 ，
所以 .
故答案为：5
考点08：导函数图像与原函数图像的关系
原函数与导函数互相判断应遵循以下步骤：
①若已知导函数判断原函数
第一步：观察导函数 轴的上下 ，上则为递增，下则为递减.
第二步：导函数 轴的值越大，则原函数增的越快（斜率越大）
试卷第74页， 共3页②若已知原函数判断导函数
第一步：观察原函数是上坡路还是下坡路，若为上坡路则导函数 ，若为下坡路
则.
导函数
第二步：原函数斜率越大，则导函数 轴的值越大，原函数斜率越小，则导函数 轴的值
越小.
71．已知函数 的导函数为 ，定义域为 ，且函数 的
图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A． 有极小值 ，极大值
B． 仅有极小值 ，极大值
C． 有极小值 和 ，极大值 和
D． 仅有极小值 ，极大值
【答案】C
【分析】根据函数 的图象，得出导函数 符号的分布情况，再根据极值的定义即
可得解.
【详解】由函数 的图象，
得当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以函数 有极小值 ，极大值 和 .
故选：C.
72．已知函数 ，其导数 的图象如下图所示，则 （ ）
A．在 上为增函数
B．在 处取得极小值
C．在 处取得极大值
D．在 上为增函数
【答案】D
【分析】根据导函数 的图象判断出其符号分布情况，进而可求出函数 的单调区
间及极值点，即可得解.
【详解】由导函数 的图象可知，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 和 处取得极小值，在 处取得极大值，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
试卷第76页， 共3页73．已知定义域为 的函数 的导函数为 ， ，且 的图象如
图所示，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导函数的图象判断函数的单调性，结合 判断即可．
【详解】当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 .
因为 ，
所以 的值域为 .
故选：D.
74．已知函数 的导函数 图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 是极大值点C． 的图象在点 处的切线的斜率等于0
D． 在区间 内一定有2个极值点
【答案】D
【分析】根据函数 的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、
函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由函数 的图象，可得当 时， ，
所以函数 在区间 为单调递增函数，所以 ，所以A错误；
对于B中，由A知，函数 在区间 为单调递增函数，
因为 ，所以 不是函数的极值点，所以B错误；
对于C中，由函数 的图象，可得 ，
所以函数 的图象在点 处的切线的斜率大于 ，所以C不正确；
对于D中，由函数 的图象，当 时， ；当 时，
；当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单递减，在 单调递增，
所以 是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点，所以D正确.
故选：D.
75．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则 的图象可能是（ ）
试卷第78页， 共3页A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导函数的图象求出函数 的单调区间，由此判断即可得解.
【详解】观察导函数 的图象，当 或 时， ，当 时，
，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，ABC错误，D正确.
故选：D
76．函数 的图象如图所示， 为函数 的导函数，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 的图象得到 的单调区间，即得 的取值情况，从而得解.
【详解】由图可得 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
则当 时， ，当 时， ，
由 ，得 或 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A
77．已知函数 的图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合图象判断导函数的正负的变化情况与二次函数 零点的分布情况，
结合韦达定理即可求解
【详解】 ，
由函数 的图象可知，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的图象是开口向上的抛物线，且有两个零点 ， ，
试卷第80页， 共3页所以 ，所以 ，
所以ABC错误，D正确.
故选：D.
78．已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况，即可求得答案.
【详解】由函数 的图象知，当 或 时， ；当 时，
，
不等式 等价于 或 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A
79．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 在 上的图象如图所示，
则（ ）A．1是 的极小值点 B．1是 的极大值点
C． 是 的极小值点 D． 是 的极大值点
【答案】D
【分析】根据导数大于0和小于0 确定 的单调性，结合极值点的定义，即可得到答案.
【详解】由图象可知，定义域 ，当 时， ；当 时，
，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 是 的极大值点，无极
小值点，
故选：D.
80．如果函数 的导函数 的图象如图所示，则以下关于 判断正确
的是（ ）
A．在区间 上是严格减函数 B．在区间 上是严格增函数
C． 是极小值点 D． 是极小值点
【答案】B
试卷第82页， 共3页【分析】根据图象分析 在不同区间上取值的正负，然后判断 相应的单调性，即
可判断每个选项.
【详解】对于A，由图象知 在 上取正值，所以 在 上递增，A错误；
对于B，由图象知 在 上取正值，所以 在 上递增，B正确；
对于C，由图象知 在某个 上取负值，这里 ，所以 在
上递减，从而 不可能是 的极值点，C错误；
对于D，由图象知 在 上取正值，在某个 上取负值，这里 ，所以
在 上递增，在 上递减，从而 是 的极大值点，D错误.
故选：B.
