文档内容
专题 11 勾股定理之风吹荷花模型综合应用（2 大类型）
解题思路
“印度荷花问题”
湖静浪平六月天，荷花半尺出水面;
忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃。
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现;
残花离根二尺遥，试问水深尽若干?
——印度数学家拜斯迦罗（公元 1114—1185 年）
【模型】读诗求解“出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有 6尺，求
水深几何请你算”。
【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深为 4.5 尺.
【解析】设水深AP＝x尺， PB＝PC＝（x＋3）尺，
根据勾股定理得：PA²＋AC²＝PC²，x²＋4²＝（x＋3）².
解得 x=4.5.
答∶水深 4.5 尺.
【典例分析】【典例1】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，
如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长
度是（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【答案】D
【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（ ）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
故选：D．
【变式1-1】（2021秋•青冈县期末）在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半
尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平
方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 尺．
【答案】3.75
【解答】解：若设湖水的深度 x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角
形中，根据勾股定理，
得：（x+0.5）2＝x2+22，
解之得：x＝3.75，
∴湖水的深度为3.75尺．
故答案为：3.75．【变式1-2】如图，在平静的湖面上，有一荷花，高出湖水面 0.1m，一阵风来，
荷花被吹到一边，花朵齐及水面．已知荷花移动的水平距离为 0.3m，则这里
的水深是 m．
【答案】0.4
【解答】解：如图，设这里水深为xm，
在Rt△ABC中，（x+0.1）2＝0.32+x2，
解之得：x＝0.4．
答：这里水深为0.4米．
故答案为：0.4
【典例2】（2019春•南昌期中）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、
乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作
MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面
的垂直距离记作NB．
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角 B处，
若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝ 米．
（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求
乙房间的宽AB；
（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．
①求∠MPN的度数；
②求丙房间的宽AB．【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，
∴PM＝ ＝ ＝2，
∵PB＝PM＝2，
∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米，
故答案为：3.2；
（2）∵∠MPN＝90°，
∴∠APM+∠BPN＝90°，
∵∠APM+∠AMP＝90°，
∴∠AMP＝∠BPN．
在△AMP与△BPN中， ，
∴△AMP≌△BPN，
∴MA＝PB＝2.4，
∵PA＝ ＝0.7，
∴AB＝PA+PB＝0.7+2.4＝3.1；
（3）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°；
②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设AB＝x，且AB＝ND＝x．
∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP 为等腰直角三角形，△PNM 为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝
60°，梯子长度相同），∠MND＝15°．∵∠APM＝75°，
∴∠AMP＝15°．
∴∠DNM＝∠AMP，
∵△PNM为等边三角形，
∴NM＝PM．
∴△AMP≌△DNM（AAS），
∴AM＝DN，
∴AB＝DN＝AM＝2.8米，
即丙房间的宽AB是2.8米．
【变式2-1】（2020春•镇原县期末）如图，梯子 AB靠在墙上，梯子的底端 A
到墙根O的距离为3m，梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到
墙根O的距离等于4m，同时梯子的顶端 B下降至B′，求BB′的长（梯子
AB的长为5m）．
【答案】BB′的长为1m
【解答】解：由题意可得出：AO＝3m，A′O＝4m，AB＝A′B′＝5m，
∴在Rt△AOB中，BO2＝ ＝4（m），
在Rt△A′OB′中，B′O2＝ ＝3（m），
∴BB′的长为：4﹣3＝1（m）．答：BB′的长为1m．
【变式2-2】（2022春•宁乡市期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离
地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的
踏板离地的垂直高度BF＝3m，若秋千的绳索始终拉得很直，求绳索 AD的长
度．
【解答】解：∵CE＝BF＝3m，DE＝1m，
∴CD＝CE﹣DE＝3﹣1＝2（m），
在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，BC＝4m，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣2）m，
故x2＝42+（x﹣2）2，
解得：x＝5，
答：绳索AD的长度是5m．
【夯实基础】
1．（2022春•昭化区期末）如图，将一根长为 16cm的橡皮筋固定在笔直的木
棒上，两端点分别记为A，B，然后将中点C向上竖直拉升6cm至点D处，
则拉伸后橡皮筋的长为（ ）
A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm
【答案】A【解答】解：Rt△ACD中，AC＝ AB＝8cm，CD＝6cm；
根据勾股定理，得：AD＝ ＝10（cm）；
∴AD+BD＝2AD＝20（cm）；
故拉伸后橡皮筋的长为20cm．
故选：A．
2．（2022秋•海淀区校级期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内
部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为 18cm，则这只铅笔在笔
筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【答案】A
【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC＝ ＝ ＝15（cm），
所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
3．有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面
的部分为1尺，如果把该芦苇的顶端沿水池边垂直的方向拉到岸边，发现芦
苇顶端恰与水面齐平，则芦苇的长度是 尺．
【答案】13【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（ ）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）．
故答案为：13．
4．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香”．平静的湖面上，一朵荷花亭
亭玉立，露出水面10cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，
发现荷花偏离原地40cm（如图）．请问荷花入水部分BC长多少厘米？
【解答】解：设荷花入水部分 BC长hcm，则荷花的高（h+10）cm，且水平
距离为40cm，
则（h+10）2＝402+h2，
解得h＝75．
答：荷花入水部分BC长75cm．
5．（2022秋•晋源区校级月考）如图，笔直的公路上A、B两点相距17km，
C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝12km．CB＝
5km，现在要在公路的AB段上建一个公交车站E，使得C，D两村到公交车
站E的距离相等．则公交车站E应建在离A点多远处？【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝xkm，则BE＝AB﹣AE＝（17﹣x）km．
∵DA＝12km．CB＝5km，
∴x2+122＝（17﹣x）2+52，
解得x＝5，
∴AE＝5km，
答：收购站E应建在离A点5km处．
6．（2022秋•蒲江县校级期中）一架梯子 AB长2.5m，如图斜靠在一面墙上，
梯子底端B离墙0.7m．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了0.4m．那么梯子底部在水平方向滑动了0.4m吗？
为什么？
【解答】解：（1）∵AB＝2.5m，BC＝0.7m，
∴AC＝ ＝ ＝2.4（m）．
答：这个梯子的顶端距地面有2.4m；（2）梯子底部在水平方向滑动了0.8m，理由如下：
在Rt△A′CB′中，A′C＝AC﹣0.4＝24﹣0.4＝2（米），A′B′＝2.5米，
∴CB′＝ ＝ ＝1.5（m），
∴BB′＝CB′﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（m）．
答：梯子底部在水平方向滑动了0.8m．
7．（2022春•潼南区期末）如图，一架梯子 AB斜靠在某个过道竖直的左墙上，
顶端在点A处，底端在水平地面的点B处．保持梯子底端B的位置不变，将
梯子斜靠在竖真的右墙上，此时梯子的顶端在点C处．测得顶端A距离地面
的高度AO为2米，OB为1.5米．
（1）求梯子的长；
（2）若顶端C距离地面的高度CD比AO多0.4米，求OD的长．
【解答】解：由题意可得：
（1）在Rt△AOB中，
∵∠AOB＝90°，AO＝2米，OB＝1.5米，BO2+AO2＝AB2，
∴AB2＝22+1.52＝6.25，
∴AB＝±.2.5，
∵AB＞0，
∴AB＝2.5米，
即梯子的长为2.5米；
（2）由题意得CD＝AO+0.4＝2.4米，BC＝AB＝2.5米，
∴BD2＝2.52﹣2.42＝4.9，
∴BD＝0.7米，
∴OD＝OB+BD＝1.5+0.7＝2.2米．
8．（2022春•藁城区校级期中）如图，在笔直的公路 AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处建座桥梁到达C处，已知点C与公路
上的停靠站A的直线距离为3km，与公路上另一停
站B的直线距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）求修建的桥梁CD的长；
（2）桥梁CD建成后，求一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程．
【解答】解：（1）∵AC＝3km，BC＝4km，AC⊥BC，
∴AB＝ ＝ ＝5（km），
∵S ＝ AC•BC＝ AB•CD，
△ABC
∴CD＝ ＝ ＝ （km），
答：修建的桥梁CD的长为 km；
（2）∵CD＝ km，BC＝4km，CD⊥AB，
∴BD＝ ＝ ＝ （km），
∴货车由 C 处途经 D 处到达 B 处的总路程为：CD+BD＝ + ＝
（km），
答：货车由C处途经D处到达B处的总路程为 km．
9．（2022•南京模拟）如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始
时，绳长CB＝25米，CA⊥AB且CA＝15米，拉动绳子将船从点 B沿BA方
向行驶到点D后，绳长 米．
（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；
（2）求船体移动距离BD的长度；
（3）若在BD段拉动船的速度为1米/秒，到达D后增加了人力，拉动船的速度变为2米/秒，求把船从B拉到岸边A点所用时间．
【解答】解：（1）△ACD是等腰直角三角形．理由如下：
由题意可得：CA＝15米，CD＝15 米，∠CAD＝90°，
可得AD＝ ＝15（米），
故△ACD是等腰直角三角形；
（2）∵CA＝15米，CB＝25米，∠CAD＝90°，
∴AB＝ （m），
则BD＝AB﹣AD＝20﹣15＝5（米）．
答：船体移动距离BD的长度为5米；
（3）5÷1+15÷2＝12.5（秒），
答：把船从B拉到岸边A点所用时间为12.5秒．
【能力提升】
10．（2022春•慈溪市期末）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的
增面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．
（1）若AB＝6.5米，BC＝2.5米．
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相
等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根
号）．
（2）若AC＝BC，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？
若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的
距离的大小．【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，AB＝6.5米，BC＝2.5米，
∴AC2＝AB2﹣BC2＝6.52﹣2.52＝36，
∴AC＝6米，
∵AA ＝1米，
1
∴A C＝AC﹣AA ＝5米，
1 1
在Rt△A B C中，A B ＝AB＝6.5米，
1 1 1 1
∴B C2＝A B 2﹣A C2＝6.52﹣52＝ ，
1 1 1 1
∴B C＝ 米，
1
∴B B＝B C﹣BC＝ ﹣2.5＝ 米，
1 1
答：点B将向外移动 米；
②相等．
∵AC＝6米，AA ＝BB ，
1 1
∴A C＝AC﹣AA ＝6﹣AA ＝6﹣BB ，
1 1 1 1
∵B C＝BC+BB ＝2.5+BB ，B C2＝A B 2﹣A C2，
1 1 1 1 1 1 1
∴（2.5+BB ）2＝6.52﹣（6﹣BB ）2，
1 1
解得BB ＝3.5或0（舍去），
1
故竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离会相等，移
动距离为3.5米；
（2）不相等．
当AC＝BC时，AB＝6.5米，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+BC2＝6.52，解得AC＝BC＝ ，
在Rt△A B C中，B C2+A C2＝A B 2，
1 1 1 1 1 1
即（ +BB ）2+（ ﹣AA ）2＝6.52，
1 1
解得 ，
∴AA ＞BB ，
1 1
故顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．
