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考点03等式性质与不等式性质（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）解析版_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习_2025年高考数学一轮复习核心题型讲与练（完结）

2026-03-27 12:47:09 2026-03-27 08:23:20
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考点03等式性质与不等式性质（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）解析版_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习_2025年高考数学一轮复习核心题型讲与练（完结）
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                            考点 03 等式性质与不等式性质（3 种核心题型+基础
保分练+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1. 掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
【知识点】
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么 b ＝ a ；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么 a ＝ c ；
性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔ b < a ；
性质2 传递性：a>b，b>c⇒ a > c ；
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ ac > bc ；a>b，c<0⇒ ac < bc ；
性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒ a ＋ c > b ＋ d ；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ac > bd ；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b⇔<.
2．若a>b>0，m>0⇒<；
若b>a>0，m>0⇒>.
【核心题型】
题型一 数(式)的大小比较
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
【例题1】(1)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
【答案】M>N
【解析】方法一 M－N＝－
＝
＝
＝>0.
∴M>N.
方法二 令f(x)＝
＝＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N.
(2)若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P1时，f′(x)>0 ，所以f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，
因为a>b>1，所以<，
又>0，>0，所以＝<1，所以P1且11，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，
又a＝f(10)，b＝f(8)，∴f(8)0 B．c(b－a)<0
C．cb2ac
【答案】BCD
【解析】因为a，b，c满足c0，b>0，a－c>0，b－a>0，
所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2ac.
（2）（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和余弦函数的性质即可判断AC；举出反例即可判断B；由作差法即
可判断D.
【详解】对于AC，当 时， ，
所以 ，故A正确，C错误；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于D， ，
因为 ，所以 ，故D错误.
故选：A.
【变式1】已知a>b>c>0，下列结论正确的是( )
A．2ab(a－c)
C.> D．(a－c)3>(b－c)3
【答案】D
【解析】∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3b>c>0可知，a－c>b－c>0，
∴<，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确．
【变式2】(多选)若a>0>b>－a，cbc B.＋<0
C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
【答案】BCD
【解析】因为a>0>b，c0，所以adb>－a，所以a>－b>0，因为c－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，所以＝＋<0，故B正确；
因为c－d，因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正确；
因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确．
【变式3】(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的有( )
A．c20
【答案】AD
【解析】因为a>b>0>c>d，
所以a>b>0,0>c>d，
对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2b>0，d，
故－>0，故选项D正确．
题型三 不等式性质的综合应用
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范
围．
【例题3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 ，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ， ，
所以 .
故选：D.
【变式1】已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________．
【答案】－2<<－
【解析】由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c－c，>－2，
－a－c>c，－a>2c，<－，
所以－2<<－.
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）已知正数 满足 ，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】 正数 、 、 满足 ， ，
， 所以
同理：有 得到 ，所以
两式相加：
即
又 ,即
即 ．
故答案为：
【变式3】（2024·浙江·模拟预测）对 定义一种新运算 ，规定： （其中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： ，
已知 ，若关于 的不等式组 恰好有3个整数解，
则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知得出关于 的方程组，求出 ，再代入不等式组求出解集，再根据已
知条件得到取值范围.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
，
因为不等式组恰有3个整数解，
所以 ，
故答案为： .
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用作差法根据不等式性质即可得充分性成立，取特殊值可知必要性不成立，可
得出结论.【详解】若 ，则 ，即充分性成立，
令 ，则 ，即必要性不成立；
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，利用导数判断单调性，可得 ，进而
得 ，再结合对数的性质，利用作差比较法可得 ，从而可得正确答案.
【详解】构造函数 ，
则 ，
所以 在 内单调递增，又 ，
于是 在 内 ，即 恒成立.
由 ，得 ，
所以 ，故 ；
又 ，
易知，函数 在 内单调递增，又 ，所以 ，
于是 ，即 ，故 ．
综上所述， ．故选:D.
3．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若 ， ， ，则a，b，c
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对数函数的性质可得 ，构造函数 ，利用导
数可得 ，则答案可求.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，所以，则
，
，
所以 ，
即 恒为递增函数，
则 ，即 ，所以 ，
综上： ，
故选：A.二、多选题
4．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AC
【分析】对A和C利用不等式性质即可判断，对B和D举反例即可反驳.
【详解】对A，因为 ，则两边同乘 得 ，两边同乘 得 ，
则 ，故A正确；
对B，当 时， ，故B错误；
对C，因为 ，则 ，又因为 ，所以 ，故C正确；
对D，举例 ，则 ，而 ，
此时两者相等，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知实数 满足 ，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由 可得 ，所以 ，
故答案为：
6．（2024·河北邯郸·三模）记 表示x，y，z中最小的数．设 ， ，则的最大值为 ．
【答案】2
【分析】分 是否大于 进行讨论，由此即可简化表达式，若 ，则可以得到
，并且存在 ， ，使得 ，，同理 时，我
们可以证明 ，由此即可得解.
【详解】若 ，则 ，此时 ，
因为 ，所以 和 中至少有一个小于等于2，
所以 ，又当 ， 时， ，
所以 的最大值为2．
若 ，则 ，此时 ，
因为 ，所以 和 中至少有一个小于2，
所以 ．
综上， 的最大值为2．
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：关键是分 是否大于 进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解.
四、解答题7．（2024·四川绵阳·二模）（1）已知a，b，x，y均为正数，求证： 并指
出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论，求函数 的最大值，并指出取最大值时x
的值．
【答案】（1）证明见解析，当 时取等号；（2） 的最大值为 ，此时 .
【分析】（1）采用作差法进行证明，再根据最后化简的式子分析取等条件；
（2）将 变形为 ，然后根据（1）的结论求解出最大值并确定此
时 的值.
【详解】（1）因为
又 均为正数，所以 ，
所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号；
（2）因为 ，
由（1）可知 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最大值为 ，此时 .
【综合提升练】
一、单选题
1．（2023·广东·二模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项.
【详解】因为 ，所以 .
，
因为 ，
且 ，所以 ，所以 ，所以 .故 .
故选： A
2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，故A，C，D错误.
故选：B.
3．（2024·陕西西安·一模）已知 ，则下列选项中是“ ”的充分不必要条件
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式性质及指数函数的单调性，结合充分条件，必要条件的定义逐项判断
即可.
【详解】对于A，当 ，满足 ，但 不成立，
当 时，满足 ，但 不成立，故A错误；
对于B，当 时， ，但 ，故B正确；
对于C， 时， ，但 不成立，
时， ，但 不成立，故C错误；
对于D，因为指数函数 在 上单调递增，故 ，故D错误.
故选：B
4．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用作差法比较大小以及函数的导数与单调性及最值的关系比较大小求解.【详解】因为 ，所以 ；
，
设函数 ，
所以 时， ，函数 单调递减，
时， ，函数 单调递增，
所以 ，而 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：D.
5．（2023·全国·模拟预测）设 ， ， ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用导数证明当 时， ，再分别利用作商，作差比较法
可判断 ， ， 大小.
【详解】先来证明当 时， .
令 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，可得 ，即得 ；
令 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，可得 ，即得 ；
所以当 时， .
因为 ，由 ，因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
二、填空题
6．（2024·河南·模拟预测）以 表示数集 中最大的数．设 ，已知
或 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /0.2
【分析】利用换元法可得 ，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.
【详解】令 其中 ，
所以 ，
若 ，则 ，故 ，
令 ，
因此 ,故 ,则 ，
若 ，则 ，即 ，
，
则 ,故 ,则 ，当且仅当 且 时等号成立，
如取 时可满足等号成立，
综上可知 的最小值为 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在 和 前提下进行合理分类讨
论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.
四、解答题
7．（2024·辽宁沈阳·一模）已知等比数列 的各项均为正数，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等比数列基本量计算；
（2）根据对数运算求得 ，由 得证.
【详解】（1）设 的公比为 ，由 知 ，
，
由 得 ，
.
（2）证明：由题知 ，
所以 ，.
8．（2023·河北·模拟预测）已知 ， .
(1)证明： ；
(2)比较 与 的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过构造函数 ，利用导数与函数的单调性间的关系，求出
的最小值，从而得出 ，即可证明结果；
（2）通过构造函数 ，利用导数与函数的单调性间的关系，求出
在区间 上的最大值，从而得出 ，即可得
出结果；
【详解】（1）要证 ，即证 ，
设 ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 在 处取得最小值，即 ，所以 ，
∵ ，用 代替 ，得 ，
所以 ，结论成立，所以不等式 成立.
（2）因为 ， ，令 ，
所以 ，
易知，当 时， ，所以 在区间 上单调递减，
又因为 ，所以 ，即 ，得到 ，
所以 .
9．（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证： ．
（2）设a，b，c为正实数，求证： ．
【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ．
【分析】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明.
【详解】（1）因为 ，a，b为正实数，
所以 ，所以 ，当且仅当 时，取等号．
（2）由（1），得 ．
同理，得 ，
所以
，
当且仅当 时，取等号．
【拓展冲刺练】
一、单选题1．（2024·云南大理·模拟预测）若 为函数 （其中 ）的极小
值点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】 时 为单调函数，无极值点不符合题意；令 有两根为 或
，分 、 讨论，根据 为极小值点需满足的条件，结合不等式性质可得
答案.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
由于 ，且 ，故 有两根为 或
①当 时，若 为极小值点，则需满足： ，故有 ，
可得 ；
②当 时，若 为极小值点，则需满足： ，故有： ，
可得 .
故A，B选项错误，综合①②有： .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据 为极小值点得到 的关系再结合不等式的
性质解题.
2．（2023·贵州贵阳·三模）已知正实数 分别满足 ， ， ，其中
是自然常数，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】利用作商法可比较出 大小关系；可构造函数 ，将 和 大小关
系的比较转化为 和 大小的比较，利用导数可求得 单调性，从
而比较出大小关系.
【详解】由 得： ， ，
， ， ，又 ， ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
，即 ， ，即 ；
且 ，即 ， ，即 ；
综上所述： .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用函数单调性比较大小的问题；解题关键是
能够根据所给数字的特征，将问题转化为 的不同函数值的比较问题，从而利用
导数求得函数单调性，根据单调性得到大小关系.
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 为实数，则下列命题成立的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【分析】根据不等式性质对选项逐一判断即可得出结论.
【详解】对于A，若 ，当 时，不满足 ，即A错误；
对于B，若 ，则 ，所以B错误；
对于C，若 ，可知 ，不等式两边同时除以 ，即 ，可得 ，即C
正确；
对于D，若 ，不妨取 ，则 ，可得D错误；
故选：C
4．（2023·四川南充·一模）已知： ， ，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ， ，得到 ，再由 ，得到
，然后逐项判断.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
则 ，故A正确；
因为 ，则 ，
所以 ，即 ，故B正确：因为 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以
，故D错误；
故选：D
二、多选题
5．（2023·广东肇庆·二模）已知正数 满足等式 ，则下列不等式中
可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】将已知转化为 ，通过构造函数法，结合导数判断当 时，
，进而构造函数 ，根据单调性即可判断选项CD；同理利
用构造函数和求导即可判断AB.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
构造
，
所以 ，
当 ，即 时，分析 即可，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，
所以 ，
构造 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以由 得 ，
所以 ，
故此时 ， D选项错误；
当 时， ，此时 ，
所以 可能成立，故C选项可能正确，
由 ，即 ，
构造 ，
所以 ，设 ，
当 时， ，所以 在 单调递减，在 上单调递增，
且 ，所以当 时，即 ，
所以 ，
构造 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，故A可能正确，B项错误；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数思想与逻辑推
理能力，属于难题.注意事项：利用构造法，关键在于构造函数 以及
，利用导数以及参数的范围进行判断.
6．（2023·河北·三模）已知 ，则下列不等式成
立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】先利用三角函数线得到 ，进而得到 ，作差法得
到 ，得到 ；再构造函数 ， 与 ， ，证
明出 .
【详解】设 为锐角，作出单位圆，与 轴交于 点，则 ，
过点 作 垂直于 轴，交射线 于点 ，连接 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，
由三角函数定义可知 ， ，设扇形 的面积为 ，则 ，即 ，故
，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，故 ，
综上： ，A正确，B错误；
令 ， ，则 ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 ，故 ，
故 ，C正确，D错误；
故选：AC
【点睛】方法点睛：我们经常使用不等式放缩来比较大小或证明不等式，常用的不等式有， ， ， ， 等.
7．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质，变形求解.
【详解】 ，两式相乘得 ，所以 ，A正确；
由题得 ，又 ，两式相乘得 ，所以 ，B错误；
因为 ，所以两式相乘得 ，C正确；
因为 ，所以两式相乘得 ，D错误．
故选：AC
三、填空题
8．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知 ， ， ，则 的大小关系是
.
【答案】
【分析】构造函数 ，利用函数的单调性比较出 与 的大小，再用作差比较出
与 的大小，即可得出结果.
【详解】根据题意，设 ，则其导数 .
令 ，
故在区间 上， 恒成立，则有 ，即 恒成立
在 上恒成立， 函数 在 上单调递减，则有 ，即
又 ，而 ，
，即
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造适当的函数，利用函数的单调性来比较大小是一种常用的方法.
9．（2023·四川凉山·一模）已知 是曲线 上的点，则 的取
值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知条件做出图形，利用两点斜率公式及不等式的性质即可求解.
【详解】 ，
由题意可知,作出图形，如图所示，
因为 是曲线 上的点，则
表示过点 两点直线的斜率，
显然当 位于 处时， 有最大值 ，显然当 位于 处时， 有最小值 ，
所以
所以
故 的取值范围是
故答案为： .
10．（2023·广东深圳·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，满足：
，且 ， 为方程 的两根，且 .若对于任意
，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】先利用等差数列通项公式求解 ，再利用数列的单调性求解数列
的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可.
【详解】由 可知数列 是等差数列，设其公差为 ，
解方程 得 或 ，又 ，
， ，
.
由 得 ，
，设 ，则 ，
由 对于任意 恒成立，所以只考虑 的符号，
设 ， ，
令 解得 ，即 在 上单调递增，
令 解得 ，即 在 上单调递减，
， ， ，
当 ， ，
当 ， 时， ，即 ， ，
当 ， ，即 ，
即从 ， 开始单调递减，
即 ， ，即 ，
的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题
11．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若对任意 ，都有 ，求实数k的取值范围；(3)当 时，对任意的 ，且 ，试比较 与 的大
小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数几何意义求切线方程；
（2）由已知不等式恒成立且 知 ，进而求得 ，再代入 应用
导数研究 恒成立，根据充要关系确定参数值；
（3）设 ，构造 ，利用导数研究
单调性，进而确定其函数值符号，即可证结论.
【详解】（1）当 时 ， ，所以 ，
，
所以 在点 处的切线方程为 ．
（2）对 都有 且 ，而 ，则 ，
所以 ，此时 ，故 ，则
，
在 上 ，即 单调递增，且 ，
当 时 ， 单调递减，当 时 ， 单调递增，所以 ，满足题意，
综上， ．
（3）不妨设 ，令 ，
所以 ，则 ，
又 ， ， ，且 ，
当 ， ，而 ， ，
所以 ，故 ， 在 上单调递增，
所以 ，所以 单调递增，故 ，
所以 ，即 ．
【点睛】关键点点睛：第二问，根据不等式恒成立及 得 求参数范围，求
证所得参数范围使不等式恒成立，由充要关系确定范围；第三问，构造
研究其函数值符号即可.                        
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