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专题 11 压轴大题精选一（函数类）
1．抛物线C ：y＝x2﹣2ax+a的顶点A在某一条抛物线C 上，将抛物线C 向右平移b（b＞0）个单
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位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线C 上．
2
（1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求a与b的关系式；
（3）抛物线C 的顶点为F，其对称轴与x轴的交点为D，点E是抛物线C 上不同于顶点的任意
2 2
1
一点，直线ED交抛物线C 于另一点M，直线EF交直线l：y= 于点N，求证：直线MN与x轴
2
2
互相垂直．
1 1
2．已知抛物线 y=− x2+mx+m+ 与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与 y轴交于点C
2 2
5
（0，− ），点
2
P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；
1 1
（3）在（2）的条件下，抛物线y=− x2+mx+m+ 在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴
2 2
向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，
求图象M的顶点横坐标n的取值范围．3．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴
交于点C．顶点D不在第二象限，记△ABC的面积为S ，△ACD的面积为S ．
1 2
（1）当S ＝3时，求抛物线对应函数的解析式；
1
（2）判断S 是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
1
S
2
（3）当a取每一个确定的值时，把抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y 的
1
图象．当0≤x≤a+1时，结合图象，求y 的最大值与最小值的平均数（用含a的式子表示）．
1
4．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣x﹣a2﹣a，其中a＞0．
（1）若函数y的图象经过点（1，﹣2），求函数y的解析式；
（2）若抛物线与x轴的两交点坐标为A，B（A点在B点的左侧），与y轴的交点为C，满足OC
＝2OB时，求a的值．
（3）已知点P（x ，m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x 的取值范围．
0 0
5．已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），该抛物线的顶
点为D．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（Ⅱ）①直线CD的解析式为 ；
②过点D作DH⊥x轴于H，在线段DH上有一点P到直线CD的距离等于线段PO的长，求点P
的坐标；
（Ⅲ）设直线CD交x轴于点E．过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴
平移，使平移后的抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长
度？向下最多可平移多少个单位长度？1 5
6．如图，抛物线L：y= x2− x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
2 4
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点
3
D，求PD+ AD的最大值，并求出此时点P的坐标；
5
1 5
（3）如图2，将抛物线L：y= x2− x﹣3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交
2 4
于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式．
7．如图，A，B分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的点，已知点B的坐标是（0，6），∠BAO＝
1
45°．过A，B两点的抛物线y= x2+bx+c与x轴的另一个交点落在线段OA上，该抛物线与直线
2
y＝kx+m（k＞0）在第一象限交于C，D两点，且点C的横坐标为1．
（1）求该抛物线的解析式；
BE 1
（2）若直线CD与线段AB的交点记为E，当 = 时，求点D的坐标；
AE 2
（3）P是x轴上一点，连接PC，PD，当∠CPD＝90°时，若满足条件的点P有两个，且这两点
间的距离为1，求直线CD的解析式．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图的顶点为点D，与y轴交于点C，与x轴
交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求点P的坐标；
（3）如图，若点G（2，m）是该抛物线上一点，E是直线AG下方抛物线上的一动点，点E到
直线AG的距离为d，求d的最大值．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，
0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
PD
（2）连接BC与OP，交于点D，求当 的值最大时点P的坐标；
OD
（3）点F与点C关于抛物线的对称轴成轴对称，当点P的纵坐标为2时，过点P作直线PQ∥x
轴，点M为直线PQ上的一个动点，过点M作MN⊥x轴于点N，在线段ON上任取一点K，当
有且只有一个点K满足∠FKM＝135°时，请直接写出此时线段ON的长．1
10．如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中− ＜a＜0）上，AB∥x轴，
4
∠ABC＝135°，且AB＝4．
（1）当m＝1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）求点C到直线AB的距离（用含a的式子表示）；
（3）若点C到直线AB的距离为1，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．
11．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）交x轴交于A（﹣1，0）和点B（3，0），交y轴于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）如图1，点D是直线BC上一点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E（点E在点D的上
方），再过点E作EF∥x轴，交直线BC于点F．当△DEF的面积取最大值时，求点E的坐标；
（Ⅲ）如图2，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线BC垂直平分
MN时，求出点N的坐标．
12．已知抛物线G：y ＝mx2﹣（3m﹣3）x+2m﹣3，直线h：y ＝mx+3﹣2m，其中m≠0．
1 2
（1）当m＝1时，求抛物线G与直线h交点的坐标；
（2）求证：抛物线G与直线h必有一个交点A在坐标轴上；
（3）在（2）的结论下，解决下列问题：
①无论m怎样变化，求抛物线G一定经过的点坐标；
②将抛物线G关于原点对称得到的图象记为抛物线G'，试结合图象探究：若在抛物线G与直线
h，抛物线G'与直线h均相交，在所有交点的横坐标中，点A横坐标既不是最大值，也不是最小
值，求此时抛物线G的对称轴的取值范围．
1 3
13．如图，抛物线y=− x2+ x+2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
2 2
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；
（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分
别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．
1
14．已知直线y ＝kx+1（k＞0）与抛物线y = x2．
1 2
4
（1）当﹣4≤x≤3时，函数y 与y 的最大值相等，求k的值；
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（2）如图①，直线y ＝kx+1与抛物线y = x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F
1 2
4
关于原点对称，求证：S△ACF ：S△BCF ＝AC：BC；
1
（3）将抛物线y = x2先向上平移1个单位，再沿直线y ＝kx+1的方向移动，使向右平行移动
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4
的距离为t个单位，如图②所示，直线y ＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于
1
M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．
15．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA＝OB，与y
轴交于点C．
（1）求证：b＝0；
（2）若a＝﹣1，点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D，连接BP，过点
A作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．
①求Q，P两点横坐标的差；（用含有c的式子来表示）
OD+OE
②求 的值．
OC
16．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）证明△BCM与△ABC的面积相等；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
