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专题 03 勾股定理的逆定理及其应用
（四大题型）
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】..........................................................................1
【题型2 在网格中判断直角三角形】.................................................................................5
【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】.............................................................................11
【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】.............................................................................17
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】
1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．2，2，2❑√3
C．1，2，❑√2 D．8，15，16
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边
的平方．
【详解】解：A选项：∵62+82=100=102，∴以6、8、10为边长的线段能构成直角三
角形，故A选项符合题意；
B选项：∵22+22=8，(2❑√3) 2=12，8≠12，∴以2、2、2❑√3为边长的线段不能构成直
角三角形，故B选项不符合题意；
C选项：∵12+(❑√2) 2=3，(2) 2=4，3≠4，∴以1、2、❑√2为边长的线段不能构成直角
三角形，故C选项不符合题意；
D选项：∵82+152=289，162=256，289≠256，∴以8、15、16为边长的线段不能
构成直角三角形，故D选项不符合题意；
故选：A．
2．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对的三条边长分别为a、b、c，则下列条件中，不能确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2=b2−c2 B．∠A−∠B=∠C
C．a:b:c=7:24:25 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定
理和三角形内角和定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理可判断A和C，根据三角形
内角和定理可判断B和D．
【详解】解：A、∵a2=b2−c2，
∴a2+c2=b2，
∴能判定△ABC是直角三角形；
B、∵∠A−∠B=∠C，
∴∠B+∠C=∠A
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴能判定△ABC是直角三角形；
C、设a=7k,b=24k,c=25k，
∵a2+b2=49k2+576k2=625k2,c2=625k2，
∴a2+b2=c2，
∴能判定△ABC是直角三角形；
D、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°
5
∴∠C=180°× =75°，
3+4+5
∴不能判定△ABC是直角三角形．
故选：D．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC
为直角三角形的是（ ）
A．∠A−∠C=∠B B．∠A:∠B:∠C=3:4:5
C．b2=a2+c2 D．a:b:c=5:12:13
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的判定方法，涉及三角形内角和定理及勾股定理的逆定
理，直角三角形的判定需满足一个角为90°或三边满足勾股定理，通过三角形内角和定理或勾股定理验证每个选项是否能判定直角三角形．
【详解】解：∵三角形内角和为180°，
A项：由∠A−∠C=∠B，代入∠A+∠B+∠C=180°得
∠A+(∠A−∠C)+∠C=180°，解得∠A=90°，∴△ABC为直角三角形；
B项：设∠A=3k，∠B=4k，∠C=5k，则3k+4k+5k=12k=180°，解得
k=15°，得出∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，无90°角，∴△ABC不是直角三角
形；
C项：b2=a2+c2，符合勾股定理，∴△ABC为直角三角形，∠B=90°；
D项：设a=5k，b=12k，c=13k，则a2+b2=25k2+144k2=169k2，c2=169k2，
∴a2+b2=c2，△ABC为直角三角形，∠C=90°，
综上所述，不能判定的是B，
故选：B．
4．五根小棒，其长度（单位：cm）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三
角形，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握通过验证三角形三边的平方关系判断直角
三角形是解题的关键．
将五根小棒分成两组，分别验证每组三边是否满足较短两边的平方和等于最长边的平方，
以此判断能否构成直角三角形．
【详解】解：A、分组为7、20、24和15、20、25， 72+202=449≠242，不满足勾股
定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意；
B、分组为7、24、25和15、20、24，152+202=625≠242，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意；
C、分组为7、24、25 和15、20、25，72+242=49+576=625=252，满足逆定理，
是直角三角形；152+202=225+400=625=252，满足逆定理，是直角三角形，符合题
意；
D、分组为7、20、25和15、20、24，72+202≠252，152+202≠242，不满足逆定理，
不符合题意．
故选：C．
5．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB=15，BC=25，AC=20
B．∠A:∠B:∠C=3:4:5
C．AB:BC:AC=3:4:5
D．(BC+AC)(BC−AC)=AB2
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算或推导判断三角形
是否为直角三角形．
分别用勾股定理逆定理和三角形内角和定理，对每个选项判断是否为直角三角形．
【详解】解：A、
∵AB=15，AC=20，BC=25，AB2+AC2=152+202=225+400=625，
BC²=25²=625，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
∠A+∠B+∠C=3x+4x+5x=12x=180°，
∴x=15°，∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，无90°角，∴△ABC不是直角三角
形，符合题意；
C、∵AB： =B3C：：4A：C5，设AB=3k，BC=4k，AC=5k，
AB2+BC2=(3k) 2+(4k) 2=9k2+16k2=25k2，AC²=(5k)²=25k²，
∴AB²+BC²=AC²，△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵(BC+AC)(BC−AC)=AB²，即BC²−AC²=AB²，∴BC²=AB²+AC²，
△ABC是直角三角形，不符合题意；
综上， 只有选项B不是直角三角形．故选：B．
【题型2 在网格中判断直角三角形】
6．如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC=
．
【答案】45°
【分析】连接AC，利用勾股定理求出△ABC各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判
断三角形的形状，进而求出∠ABC的度数．
【详解】解：连接AC，如图．
由题意得AC2=12+22=5，BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=AB2，BC=AC．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出
三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数．
7．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC的顶点都在格点上，则
∠B+∠C= ．
【答案】45°
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．延长至点D，连接CD，根据勾股定理逆定理可得△ACD为等腰直角三角形，从而得到∠CAD=45°，即可求解．
【详解】解：如图，延长至点D，连接CD，
∵AD2=CD2=12+32=10,AC2=22+42=20，
∴AD2+CD2=AC2,AD=CD，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠BAC=180°−∠CAD=135°，
∴∠B+∠C=180°−∠BAC=45°
故答案为：45°
8．已知在4×5的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B点均在格点上．以AB为边作
直角三角形ABC（C点在格点上），能作 个．
【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关
键．
分别以Rt△ABC中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即
可．
【详解】解：如下图，
当AB为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：C ，C 两个；
1 2当AB为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：C ，C 两个；
3 4
当AB为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：C ，C ，C 三个．
5 6 7
∴能作7个AB为边的直角三角形ABC．
故答案为：7．
9．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则△ABC是 三角形（填直角、锐
角或钝角）．
【答案】直角
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，利用勾股定理得到
BC2+AC2=AB2，再根据三角形中，若两较小边的平方和等于最大边的平方，那么
这个三角形是直角三角形即可得到答案．
【详解】解：由网格的特点和勾股定理得BC2=12+32=10，AC2=12+32=10，
AB2=22+42=20，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
10．如图是由小正方形组成的3×3网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC和
△BDE的顶点都是格点，则∠BAC+∠BDE的度数为 ．
【答案】45°/45度
【分析】连接AF，BF，先利用SAS证明△DBE≌△AGF，从而可得
∠BDE=∠GAF，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABF是直角三角形，从而可得
∠ABF=90°，再根据AB=BF=❑√5，从而可得∠BAF=∠BFA=45°，最后利用角的和差关系以及等量代换，即可解答．
【详解】解：如图：连接AF，BF，
在△DBE和△AGF中，
{
EB=GF
)
∠DBE=∠AGF ，
DB=AG
∴△DBE≌△AGF(SAS)，
∴∠BDE=∠GAF，
由题意得：AB2=22+12=5，
FB2=22+12=5，
AF2=32+12=10，
∴AB2+FB2=AF2，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠ABF=90°，
∵AB=BF=❑√5，
∴∠BAF=∠BFA=45°，
∴∠BAC+∠GAF=45°，
∴∠BAC+∠BDE=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，根据
题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在
格点上，连接AC,AD．
（1）∠DAC的大小为 ．（2）∠ABC−∠DCE= ．
【答案】 90°/90度 45°/45度
【分析】（1）根据勾股定理可以得到AD、AC、CD的长再根据勾股定理的逆定理
可以判断△DAC的形状，然后即可得到∠DAC的度数；
（2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质，可以得到∠ABC和∠ACE的关系，从
而可以得到∠ABC−∠DCE的值．
【详解】解：（1）根据题意得：
AD=❑√22+12=❑√5,AC=❑√22+12=❑√5,CD=❑√32+12=❑√10，
∴AD2+AC2=CD2，且AD=AC，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=90°；
故答案为：90°
（2）根据题意得：AC=BC=❑√22+12=❑√5，AB∥CE，
∴∠CAB=∠ABC，
∴∠CAB=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACE，
∴∠ABC−∠DCE=∠ACE−∠DCE=∠ACD，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
∴∠ABC−∠DCE=∠ACD=45°．
故答案为：45°
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，
解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，在边长为1的正方形网格中，A,B,C分别在格点（网格线的交点）上，连接
AC，AB，BC．试说明：△ABC是直角三角形．【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是解题的关键；利用勾股
定理分别求出AB2，AC2，BC2，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断．
【详解】解：由勾股定理，得
AB2=32+12=10，AC2=32+12=10，BC2=42+22=20．
因为10+10=20，
所以AB2+AC2=BC2，
所以△ABC是直角三角形．
13．如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D分
别在格点上．
(1)求四边形ABCD的周长及面积；
(2)求∠ABC的度数；
(3)画出点C到线段AD的垂线段CE，并求出垂线段CE的长．
【答案】(1)5+5❑√5,15
(2)∠ABC=90°
(3)图见解析，2❑√5
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识．
（1）根据勾股定理求出各边的长度即可得到周长，根据三角形面积公式即可求出四边
形的面积；（2）根据勾股定理的逆定理即可求出答案；
（3）根据等腰三角形的判定和性质得到CE⊥AD，根据勾股定理即可求出CE的长．
【详解】（1）解：由勾股定理可得，
AB=❑√12+22=❑√5,BC=❑√42+22=2❑√5,CD=❑√42+32=5, AD=❑√42+22=2❑√5，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=5+5❑√5,
1 1
四边形ABCD的面积= ×5×2+ ×5×4=15；
2 2
（2）∵AB=❑√12+22=❑√5,BC=❑√42+22=2❑√5,AC=5，
∴AB2+BC2=(❑√5) 2+(2❑√5) 2=25=AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
（3）如图，CE即为所求，
1
∵CD=AC=5,ED= AD=❑√5，
2
∴CE⊥AD，
∴CE=❑√CD2−DE2=❑√52−(❑√5) 2=2❑√5
【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】
14．若一个三角形的三条边长之比为5:12:13，周长为60cm，则它的面积为（ ）
A．60cm2 B．80cm2 C．100cm2 D．120cm2
【答案】D
【分析】设三边长为5x，12x，13x，根据周长求出x，再验证是否为直角三角形，
最后计算面积．本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的
关键．
【详解】解：∵三边之比为5:12:13，
∴设三边分别为5xcm，12xcm，13xcm．
∵周长为60cm，
∴5x+12x+13x=60，
∴x=2．
∴三边分别为10cm，24cm，26cm．
∵102+242=100+576=676=262，
∴三角形为直角三角形，直角边为10cm和24cm．
1
∴面积为
×10×24=120cm2
．
2
故选：D．
15．如图，在△ABC中，AB=9，AC=13，点D是AB上一点，BD=4，连接CD，若
CD=12，则△BCD的面积为（ ）
A．24 B．30 C．48 D．60
【答案】A
【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定
理判断△ACD是直角三角形是解决问题的关键．
先由勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，再由直角三角形
面积公式代值计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
∵ AB=9 BD=4
， ，
∴AD=AB−BD=9−4=5，在△ACD中，AC=13，CD=12，AD=5，则AC2=132=169，CD2=122=144，
AD2=52=25，
∴AD2+CD2=144+25=169=AC2，
即△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，
则∠BDC=90°，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=4，CD=12，则△BCD的面积为
1 1
BD⋅DC= ×4×12=24，
2 2
故选：A．
16．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB=❑√3，AC=2，BD=4，则BC
为（ ）
2
A．2❑√3 B．❑√7 C．3 D． ❑√7
3
【答案】B
1 1
【分析】根据平行四边形的性质，得OA=OC= AC=1，OB=OD= BD=2，
2 2
根据题意，得OB2=OA2+AB2，得到∠BAO=90°，根据勾股定理，得
BC=❑√AB2+AC2=❑√7，解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握性质和定理
是解题的关键．
【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB=❑√3，AC=2，BD=4，
1 1
∴OA=OC= AC=1，OB=OD= BD=2，
2 2
根据题意，得OB2=OA2+AB2，
∴∠BAO=90°，
根据勾股定理，得BC=❑√AB2+AC2=❑√7．
故选：B．17．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=3，CD=1，AB=BC=❑√5，则四
边形ABCD的面积是（ ）
A．5 B．4 C．❑√10 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握
勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
连接AC，由勾股定理求得AC=❑√10，再由勾股定理逆定理可得
∠ADC=∠ABC=90°，由S =S +S 即可求解．
四边形ABCD △ABC △ADC
【详解】解：连接AC，如图：
∵∠ADC=90°，AD=3，CD=1，
∴AC=❑√AD2+CD2=❑√32+12=❑√10，
又∵AB=BC=❑√5，
∴AC2=BC2+AB2=(❑√5) 2+(❑√5) 2=10，
∴∠ADC=∠ABC=90°，
❑√5×❑√5 3×1
∴S =S +S = + =4，
四边形ABCD △ABC △ADC 2 2
故选：B．
18．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2，BC=1，CD=3，则∠B的度
数为（ ）A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连
接BD，可求∠ABD=45°，BD2=AD2+AB2=8，再由BD2+BC2=CD2，可得
△BCD是直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵∠A=90°，AB=AD=2，
∴∠ABD=45°，BD2=AD2+AB2=8，
∵BC=1，CD=3，
∴BC2=1，CD2=9，
∵8+1=9
∴BD2+BC2=CD2，
∴△BCD是直角三角形，∠DBC=90°，
∴∠ABC=135°．
故选：D．
19．如图，在△ABC中，AB=4，BC=2，BD=1，CD=❑√3，则∠ACB的度数为
．
【答案】90°
【分析】由勾股定理的逆定理得到∠CDB=90°，则△ADC为直角三角形，由勾股定理计算出AC，得出AC2+BC2=AB2，从而得到结论．
【详解】解：∵ BC=2，BD=1，CD=❑√3，
∴BD2+CD2=1+3=4=BC2，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB=90°，
∴∠CDA=90°．
∵AB=4，BD=1，
∴AD=AB−BD=3，
∴AC=❑√AD2+CD2=❑√32+(❑√3) 2=2❑√3，
∴AC2+BC2=12+4=16=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
故答案为：90°．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键．
20．如图，在四边形 ABCD 中，AB=4，BC=5，CD=2❑√2，AD=1，AC⊥AB，则
S = ．
四边形ABCD
【答案】6+❑√2
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法运算，三角形的面积计
算公式的运用，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，然
后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：在△ACB中，AC⊥AB，AB=4，BC=5，
∴AC=❑√BC2−AB2=❑√52−42=3，
在△ACD中，CD=2❑√2，AD=1，
∴AD2+CD2=(2❑√2) 2+12=9=AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，1 1
∴四边形ABCD的面积= AB×AC+ AD×CD
2 2
1 1
= ×4×3+ ×2❑√2×1
2 2
=6+❑√2．
故四边形ABCD的面积为6+❑√2．
故答案为：6+❑√2．
21．如图，在△ABC中，AB=3,AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，则△ACB的面
积是 ．
【答案】6
【分析】如图所示，延长AD至E，使得AD=DE，连接CE，可证
△ABD≌△ECD(SAS)，可得S =S +S =S +S =S ，根据勾
△ACB △ACD △ABD △ACD △CDE △ACE
股定理的逆定理可证△ACE是直角三角形，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，延长AD至E，使得AD=DE，连接CE，
∴AE=2AD=2×2=4，
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD,△ECD中，
∵AD=ED，∠ADB=∠EDC，BD=CD，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴AB=CE=3，
∴S =S +S =S +S =S ，
△ACB △ACD △ABD △ACD △CDE △ACE在△ACE中，AC=5,CE=3,AE=4，
∴CE2+AE2=AC2，即32+42=52，
∴△ACE是直角三角形，
1 1
∴S = CE·AE= ×3×4=6，即△ACB的面积是6
△ACE 2 2
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理
逆定理的运用是解题的关键．
【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】
22．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，∠CBA=90°，
AB=12米，BC=9米，CD=20米，AD=25米．
(1)求A、C之间的距离；
(2)求这块四边形空地的面积．
【答案】(1)15米
(2)种植草皮的面积为96平方米
【分析】本题考查勾股定理实际应用，勾股定理逆定理，三角形面积公式，有理数乘
法等．
（1）根据题意连接AC，继而利用勾股定理列式计算即可得到本题答案；
（2）先利用勾股定理逆定理证明△ADC是直角三角形，继而利用三角形面积公式即
可得到答案．
【详解】（1）解：如图，连接AC，
，
∵∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2=122+92=152，
∴AC=15米；
（2）解：在△ADC中，AD2=252，CD2=202，
∵152+202=252，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ADC是直角三角形，∠ACD=90°，
∴种植草皮的面积为：
1 1 1 1
S =S −S = AC⋅CD− AB⋅BC= ×15×20− ×12×9=96
四边形ABCD △ADC △ABC 2 2 2 2
（平方米），
∴种植草皮的面积为96平方米．
23．如图，劳动课时，小星将△ABC的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路AD隔
开，经测量，AB=15m，AC=13m，AD=12m，CD=5m．
(1)判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
(2)若空地△ABD种植花卉的费用为50元/m2，则需花费多少元？
【答案】(1)AD⊥BC，理由见解析
(2)需花费2700元
【分析】本题考查了勾股定理及其应用，掌握勾股定理及其应用是解本题的关键．
（1）由题意可得AD2+CD2=AC2，即可证得△ADC是直角三角形，进而证得
AD⊥BC；
（2）由勾股定理证得BD=9，再由“种植花卉的费用为50元/m2”即可解出．
【详解】（1）解：AD⊥BC．
理由：在△ADC中，
AC=13m，AD=12m，CD=5m，
∵52+122=132，
即AD2+CD2=AC2，∴△ADC是直角三角形，
∴AD⊥BC．
（2）由（1）得AD⊥BC，
∴△ABD为直角三角形，
∵AB=15m，AD=12m，
∴BD=❑√152−122=9，
1
∴S = ×9×12=54，
△ABD 2
∴54×50=2700（元）
答：需花费2700元．
24．在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，C，其中BA=BC，
由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一
个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路AD，测得AC=3千米，
AD=2.4千米，CD=1.8千米．
(1)问AD是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AB的长．
【答案】(1)AD为从村庄A到河边最近的路，见解析
(2)2.5千米
【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌
握勾股定理及勾股定理的逆定理．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：AD是从村庄A到河边最近的路，理由如下：
∵AC=3千米，AD=2.4千米，CD=1.8千米，
∴AC2=32=9,CD2+AD2=2.42+1.82=9，
∴CD2+AD2=AC2，∴∠ADC=90°，即CD⊥AD，
∴AD为从村庄A到河边最近的路；
（2）解：设BA=x千米，
∵AB=BC，
∴CB=x千米，
∵CD=1.8千米，
∴BD=(x−1.8)千米，
∵CD⊥AD，
∴在Rt△BDA中，AD2+BD2=AB2，
即2.42+(x−1.8) 2=x2，
解得：x=2.5，
∴AB的长为2.5千米．
25．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．图
1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．我校“数启星河”俱乐部的同学们帮
助工作人员进行了测量，得到如下数据：AB=CD=10dm，BC=5dm，AD=15dm，
其中AB与BD之间由一个固定角为90°的零件连接（即∠ABD=90°）．根据安全标
准需满足BC⊥CD，请你通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】符合安全标准，理由见解析
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，根据勾股定理求出BD2，根据
勾股定理逆定理得到BC⊥CD，证明结论．
【详解】解：符合安全标准，
理由：∵在△ABD中，∠ABD=90°,AB=10dm,AD=15dm，
∴BD2=AD2−AB2=152−102=125，
∵在△BCD中，BC2+CD2=52+102=125，∴BC2+CD2=BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，
∴BC⊥CD．
∴该婴儿车符合安全标准
26．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港
口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行
12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道
“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？
【答案】“海天”号沿北偏西40°方向航行
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的实际应用，根据题意可求出PR，PQ的长，
则可证明PR2+PQ2=QR2得到∠RPQ=90°，根据“远航”号的航向得到∠NPQ
的度数，进而求出∠NPR的度数即可得到答案．
【详解】解：由题意得，PR=12×1.5=18海里，PQ=16×1.5=24海里，
∴PR2+PQ2=182+242=900，
∵QR=30海里，
∴QR2=302=900，
∴PR2+PQ2=QR2，
∴∠RPQ=90°，
∵“远航”号沿北偏东50°方向航行，
∴∠NPQ=50°，
∴∠NPR=40°，
∴“海天”号沿北偏西40°方向航行，
答：“海天”号沿北偏西40°方向航行．
27．如图，在笔直的公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处建
一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为9km，与公路上另一
停靠站B的直线距离为12km，公路AB的长度为15km，且CD⊥AB．(1)求证：AC⊥BC；
(2)求修建的桥梁CD的长．
【答案】(1)见解析
36
km
(2)
5
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证；
1 1
（2）根据S = AC⋅BC= AB⋅CD即可求解．
△ABC 2 2
【详解】（1）证明：由题可知AC=9km，BC=12km，AB=15km．
∵92+122=225=152，
即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
1 1
（2）解：∵S = AC⋅BC= AB⋅CD，AC=9km，BC=12km，AB=15km，
△ABC 2 2
AC⋅BC 36
∴CD= = (km)．
AB 5
36
答：修建的桥梁CD的长为 km．
5
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平
方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．
28．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上．(1)直接写出线段AC、CD、AD的长；
(2)求∠ACD的度数；
(3)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)AC=2❑√5，CD=❑√5，AD=5
(2)∠ACD=90°
(3)13
【分析】（1）根据勾股定理可求；
（2）根据勾股定理逆定理可判断；
（3）由S ABCD=S +S 可求．
四边形 ΔABC ΔACD
【详解】（1）解：根据题意，得：
AC==❑√42+22=2❑√5，
CD==❑√22+12=❑√5，
AD=❑√32+42=5．
（2）解：∵AC❑ 2+CD❑ 2=(2❑√5) 2 +(❑√5) 2 =25=5❑ 2=AD❑ 2．
∴∠ACD=90°．
1 1
（3）解：．S ABCD=S +S = ×4×4+ ×❑√5×2❑√5=8+5=13．
四边形 ΔABC ΔACD 2 2
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理与逆定理是解题的
关键．
1．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角
三角形的是 ．
①∠A−∠B=∠C；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；③(b+c)(b−c)=a2；④a=1，
b=❑√2，c=3
【答案】①②③
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在90°角即可判
断①、②、③；根据三角形三边关系即可判断④．
【详解】解：①∠A−∠B=∠C，结合内角和得∠A+∠B+∠C=180°，
由∠A+∠B+∠A−∠B=180°，解得∠A=90°，
∴△ABC为直角三角形；
3
②∠A:∠B:∠C=1:2:3，则最大角∠C= ×180°=90°，
1+2+3
∴△ABC为直角三角形；
③(b+c)(b−c)=a2，展开得b2−c2=a2，即b2=a2+c2，
∴△ABC为直角三角形；
④a=1，b=❑√2，c=3，∵1+❑√2<3，
∴a+b
