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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 24 立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、外接球
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体
的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还
要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起
到至关重要的作用．
二、内切球
球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的
是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到
各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥
的高，用体积法来求球的半径．
【常用结论】
①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造
长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外
接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
D C D C D C D C
1 1 1 1 1 1 1 1
A B A B A B A B
1 1 1 1 1 1 1 1
D C D C D C D C
A B A B A B A B
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 例外型
②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径
等于长方体的体对角线长，即 (长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝
(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．D C
1 1
A B
1 1
C
D
A B
③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面
体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用
算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型
如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O 与△ABC 的外心O 连线的中点，算出小圆O 的
1 1 1 1 2 1
半径AO＝r，OO ＝ ， ．
1 1
A C
1 1
O
2
B
1
h
O
R
h
2
A C
r
O
1
B
④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知
球心O的位置是△CBD的外心O 与△ABD 的外心O 连线的中点，算出小圆O 的半径AO＝r，OO ＝
1 2 2 2 1 1 1
， ．
D
A A 2
O
2
B
h h 2
R O R O
h h
C r 2 D C r 2 D
O O
1 1
B B
⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面
ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD
是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作
该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过
△BCD的外心O 作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外
1
接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O，O 到BD的距离为d，O与O 的距离为m，则解得R．
1 1 1可用秒杀公式：R2＝r2＋r2－(其中r、r 为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)
1 2 1 2
d
A
h－m
A A A R
O C O
O 2
O D
B O C B O 1 C B C R m
O 1 d O 1
r
D D B D
D
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ
⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝(其中h为几何体的高，r
为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)
⑦内切球思路：以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．
方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：V
P－ABC
＝V
O－ABC
＋V
O－PAB
＋V
O－PAC
＋V
O－PBC
⇒V
P－ABC
＝
S ·r＋S ·r＋S ·r＋S ·r＝(S ＋S ＋S ＋S )·r；
△ABC △PAB △PAC △PBC △ABC △PAB △PAC △PBC
第三步：解出r＝＝．
二、题型精讲精练
【典例1】（2023·浙江·高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该
正四面体的棱长是 ．
【答案】
【解析】如图所示：因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为 ，
则正四面体为 ，
设球的半径为R，则 ，
解得 ，
所以 则正方体的棱长为 ，
所以正四面体的棱长为 ，
故答案为：
【典例2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中， ，
， ，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设四面体 的外接球的半径为 ,
则四面体 在一个长宽高为 的长方体中，如图，则 故 ，
故四面体ABCD外接球的体积为 ，
故选：C
【典例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱
的所有顶点都在一个表面积是 的球面上，且 ，则此直三棱柱的表面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，因为 ，所以 .
于是 （ 是 外接圆的半径）， .
又球心到平面 的距离等于侧棱长 的一半，
所以球的半径为 .
所以球的表面积为 ，解得 .
因此 .
于是直三棱柱的表面积是.
故选：D.
【典例4】（2023·安徽宣城·高三统考期末）在三棱锥 中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧
棱PA⊥平面ABC，且 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】根据已知，底面 是边长为3的等边三角形， 平面 ，
可得此三棱锥外接球，即以 为底面以 为高的正三棱柱的外接球．
设正三棱柱的上下底面的中心分别为 ，则外接球的球心 为 的中点，
的外接圆半径为 ， ，
所以球的半径为 ，
所以四面体 外接球的表面积为 ，
故答案为： ．
【典例5】（2023·四川乐山·高三期末）已知正 边长为1，将 绕 旋转至 ，使得平
面 平面 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
【答案】【解析】如图，
取BC中点G，连接AG,DG，则 ， ，
分别取 与 的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体
的球心，
由 ，
所以正方形OEGF的边长为 ，则 ，
所以四面体 的外接球的半径 ，
球O的表面积为 ．
故答案为： ．
【典例6】（2023·山东滨州·高三校考期中）已知正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为6，则
该四棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图， 是正四棱锥 的高，而 ，则 ，，显然正四棱锥 的外接球的球心O在直线 上，
令 ，则 ，
在 中， ，解得 ，
所以该四棱锥的外接球体积为 .
故答案为：
【典例7】（2023·高三课时练习）边长为 的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将棱长为 的正四面体 补成正方体 ，则该正方体的棱长为 ，
，
设正四面体 的内切球半径为 ，正四面体 每个面的面积均为 ，由等体积法可得 ，解得 ，
因此，该正四面体的内切球的体积为 .
故选：D.
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在
同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球
面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且
，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023·全国·统考高考真题）已知点 均在半径为2的球面上， 是边长为3的等边三角形，
平面 ，则 ．【题型训练2-刷模拟】
一、单选题
1．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体 满足 ，
， ，且该四面体 的外接球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中， ， ，则
该直三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·四川眉山·高三校考阶段练习）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个
球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河南郑州·校联考二模）如图，在三棱锥 中， ， ，平
面 平面ABC，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
6．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知 是边长为4的等边三角形，将它沿中线 折起得
四面体 ，使得此时 ，则四面体 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山西吕梁·统考二模）在三棱锥 中，已知 底面 ， ，
，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川成都·校联考二模）在三棱锥 中， ， ， ，平
面 平面 ，若三棱锥 的所有顶点都在球 的表面上，则球 的半径为（ ）
A． B．3 C． D．4
9．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）在三棱锥 中， 是边长为3的等边三角形，侧
棱 平面 ，且 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥 的体积是 ，
底面 是正方形， 是等边三角形，平面 平面 ，则四棱锥 外接球表面积
为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥 的底面 是矩形，高为 ，
， ， ， ，则四棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知在三棱锥 中， ， ，
平面 ，则三棱锥 的外接球表面积的最小值为（ ）A． B． C． D．
13．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球O内接三棱锥 ， 平
面 ， .若 ，球O表面积为 .则三棱锥 体积最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
14．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体ABCD满足 ，
， ，且该四面体ABCD的外接球的球半径为 ，四面体的内切球的球半径为 ，
则 的值是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥 中， ， 平面ABC， ，
，则三棱锥 外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·河南·统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设
它的体积为V，它的内切球的体积为V，则 （ ）
1 2
A． B． C． D．
17．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥 的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2023·全国·高三专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比
为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·湖北·统考二模）已知直三棱柱 存在内切球，若 ，则该三
棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知正三棱锥P—ABC的底面边长为3，高为 ，则三棱锥P—
ABC的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台 的下底面半径是上底面半径的2倍，其内切球的半径为 ，
则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．
23．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知正三棱锥 中， ，其内
切球半径为r，外接球半径为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
24．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形 沿对角线 折起，当四面体
体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
25．（2023·全国·高三专题练习）在矩形 中， ， ， 平面 ， ，四棱
锥 的外接球的表面积为 ．
26．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知正三棱柱 的底面边长为6，三棱柱的高为
，则该三棱柱的外接球的表面积为 .
27．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）正三棱锥 底面边长为 为 的中点，且 ，
则正三棱锥 外接球的体积为 .
28．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABCD中， ， ，AC与BD的交点为G，点M，N分
别在线段AD，CD上，且 ， ，将 沿MN折叠到 ，使 ，则
三棱锥 的外接球的表面积为 ．
29．（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）三棱锥 中， 在底面的射影 为
的内心，若 ， ，则四面体 的外接球表面积为 .
30．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）在 中， ， ，将 绕着边BC逆时针旋转 后得到 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
31．（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）四棱锥 中，底面 为菱形，
底面 ， ，若 ， ，则三棱锥 的外接球表面积为
.
32．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为2的正方形 中， 分别为
线段 ， 的中点，连接 ，将 分别沿 折起，使 三点
重合，得到三棱锥 ，则该三棱锥外接球的表面积为 .
33．（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）已知一个圆台内切球的半径为 ，圆台的表面积为 ，
则这个圆台的体积为 .
34．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥的内切球表面积为
.
35．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的所有棱长都相等，现沿 三条侧棱剪
开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 ，则三棱锥 的内切球的
体积为
36．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形 为平行四边形， ， ，
，现将 沿直线 翻折，得到三棱锥 ，若 ，则三棱锥 的内切
球表面积为 ．37．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为1， ，将 沿AC翻折，当三棱
锥 表面积最大时，其内切球表面积为 .
38．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体
积为 ，则该四棱锥体积的最大值是 ．
