文档内容
专题 03 勾股定理的逆定理及其应用
（四大题型）
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】..........................................................................1
【题型2 在网格中判断直角三角形】.................................................................................2
【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】.............................................................................4
【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】.............................................................................5
【题型1 判断三边能否构成直角三角形】
1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．2，2，2❑√3
C．1，2，❑√2 D．8，15，16
2．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对的三条边长分别为a、b、c，则下列
条件中，不能确定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2=b2−c2 B．∠A−∠B=∠C
C．a:b:c=7:24:25 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC
为直角三角形的是（ ）
A．∠A−∠C=∠B B．∠A:∠B:∠C=3:4:5
C．b2=a2+c2 D．a:b:c=5:12:13
4．五根小棒，其长度（单位：cm）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三
角形，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．5．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB=15，BC=25，AC=20
B．∠A:∠B:∠C=3:4:5
C．AB:BC:AC=3:4:5
D．
(BC+AC)(BC−AC)=AB2
【题型2 在网格中判断直角三角形】
6．如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC=
．
7．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC的顶点都在格点上，则
∠B+∠C= ．
8．已知在4×5的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B点均在格点上．以AB为边作
直角三角形ABC（C点在格点上），能作 个．
9．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则△ABC是 三角形（填直角、锐
角或钝角）．10．如图是由小正方形组成的3×3网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC和
△BDE的顶点都是格点，则∠BAC+∠BDE的度数为 ．
11．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在
格点上，连接AC,AD．
（1）∠DAC的大小为 ．
（2）∠ABC−∠DCE= ．
12．如图，在边长为1的正方形网格中，A,B,C分别在格点（网格线的交点）上，连接
AC，AB，BC．试说明：△ABC是直角三角形．
13．如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C、D分别在格点上．
(1)求四边形ABCD的周长及面积；
(2)求∠ABC的度数；
(3)画出点C到线段AD的垂线段CE，并求出垂线段CE的长．
【题型3 利用勾股定理的逆定理求解】
14．若一个三角形的三条边长之比为5:12:13，周长为60cm，则它的面积为（ ）
A．60cm2 B．80cm2 C．100cm2 D．120cm2
15．如图，在△ABC中，AB=9，AC=13，点D是AB上一点，BD=4，连接CD，若
CD=12，则△BCD的面积为（ ）
A．24 B．30 C．48 D．60
16．如图， ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB=❑√3，AC=2，BD=4，则BC
为（ ）
2
A．2❑√3 B．❑√7 C．3 D． ❑√7
317．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=3，CD=1，AB=BC=❑√5，则四
边形ABCD的面积是（ ）
A．5 B．4 C．❑√10 D．8
18．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2，BC=1，CD=3，则∠B的度
数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
19．如图，在△ABC中，AB=4，BC=2，BD=1，CD=❑√3，则∠ACB的度数为
．
20．如图，在四边形 ABCD 中，AB=4，BC=5，CD=2❑√2，AD=1，AC⊥AB，则
S = ．
四边形ABCD
21．如图，在△ABC中，AB=3,AC=5，AD是边BC上的中线，AD=2，则△ACB的面
积是 ．【题型4 勾股定理逆定理的实际应用】
22．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，∠CBA=90°，
AB=12米，BC=9米，CD=20米，AD=25米．
(1)求A、C之间的距离；
(2)求这块四边形空地的面积．
23．如图，劳动课时，小星将△ABC的空地种上两种不同品种的花卉，中间用小路AD隔
开，经测量，AB=15m，AC=13m，AD=12m，CD=5m．
(1)判断AD与BC的位置关系，并说明理由；
(2)若空地△ABD种植花卉的费用为50元/m2，则需花费多少元？
24．在一条东西走向的河流一侧有一村庄A，河边原有两个取水点B，C，其中BA=BC，
由于某种原因，由A到B的路现在已经不通，A村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（B、C、D在一条直线上），并新修一条路AD，测得AC=3千米，
AD=2.4千米，CD=1.8千米．
(1)问AD是否为从村庄A到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AB的长．
25．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．图
1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．我校“数启星河”俱乐部的同学们帮
助工作人员进行了测量，得到如下数据：AB=CD=10dm，BC=5dm，AD=15dm，
其中AB与BD之间由一个固定角为90°的零件连接（即∠ABD=90°）．根据安全标
准需满足BC⊥CD，请你通过计算说明该车是否符合安全标准．
26．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港
口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行
12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？
27．如图，在笔直的公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处建
一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为9km，与公路上另一
停靠站B的直线距离为12km，公路AB的长度为15km，且CD⊥AB．
(1)求证：AC⊥BC；
(2)求修建的桥梁CD的长．
28．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上．(1)直接写出线段AC、CD、AD的长；
(2)求∠ACD的度数；
(3)求四边形ABCD的面积．
1．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角
三角形的是 ．
① ；② ；③ ；④ ，
∠A−∠B=∠C ∠A:∠B:∠C=1:2:3 (b+c)(b−c)=a2 a=1
b=❑√2，c=3
2．如图，点A是△BCD内一点，且BA⊥CA，若△ABC是等腰三角形，AB=AC=4，
BD=7，DC=9，则∠DBA的度数为 ．
3．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在
△ABC外作△BQC≌△BPA，则以下结论中正确的有 （填序号）
①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB=150°；④
∠APC=135°
4．如图，△ABC中，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A作AD⊥CE，垂足为
D，若AD=7，AB=20，BC=15，DC=24；记△ADE的面积为S ，△BCE的面积
1
为S ，则S −S 的值为 ．
2 2 15．数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动：
如图，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移变
换，每次均移动BC的长度，得到了△CJE、△EFG和△GHI．若BH=BI，BC=a，
则以BJ、BF、BH为三边构成的新三角形面积16❑√15，则a的值为 ．
