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专题03 半角模型
【模型说明】
应用：①利用旋转构造全等三角形；
②利用翻折构造全等三角形。
【例题精讲】
例1．（三角形中的半角模型）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝
60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN
与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．
例2．（四边形中的半角模型）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中 ， ， ，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学
探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明 ，
再证明 ，可得出结论，他的结论应是______．
实际应用：
如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B
＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直
接到达，经测量得 ，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．
例3．（培优综合）如图1所示，已知点 在 上， 和 都是等腰直角三角形，
点 为 的中点.（1）求证： 为等腰直角三角形；
（2）将 绕点 逆时针旋转 ，如图2所示，（1）中的“ 为等腰直角三角
形”是否仍然成立？请说明理由；
（3）将 绕点 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“ 为等腰直
角三角形”成立吗？请说明理由.
【变式训练1】如图，在 中， ， ，D、E是斜边
上两点，且 ，若 ， ， ，则 与 的面积之和为（ ）
A．36 B．21 C．30 D．22
【变式训练2】如图， 是边长为2的等边三角形， 是顶角为120°的等腰三角形，
以点 为顶点作 ，点 、 分别在 、 上．
（1）如图①，当 时，则 的周长为______；
（2）如图②，求证： ．
【课后作业】
1.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且
∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系
是 ；此时 ；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成
立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量
关系如何？并给出证明．
2．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延
长线上的点，且∠EAF ∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．
3．如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：
AE+CF=EF（不用证明）．
（1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，
F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的
猜想；
（2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证
明．
4．已知：正方形 中， ， 绕点 顺时针旋转，它的两边分别交
（或它们的延长线）于点 ．
当 绕点 旋转到 时（如图1），易证 ．
（1）当 绕点 旋转到 时（如图2），线段 和 之间有怎样的
数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当 绕点 旋转到如图3的位置时，线段 和 之间又有怎样的数量关
系？请直接写出你的猜想．
5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且
.（1）求证： ；
（2）连结AC，若 ，求 的度数.
