17.2.1勾股定理的逆定理和勾股数(精讲)-重要笔记八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)（解析版）_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_旧版-可参考_07专项讲练

17.2.1勾股定理的逆定理和勾股数 勾股定理的逆定理 a，b，c a2 b2 c2 如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否 为直角三角形. 题型1：勾股定理的逆定理 1.下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（ ） A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算分析，从而得到答案． 【解答】解：A、12+12＝（ ）2，能构成直角三角形，故选项错误； B、52+122＝132，能构成直角三角形，故选项错误； C、32+52≠72，不能构成直角三角形，故选项正确； D、62+82＝102，能构成直角三角形，故选项错误． 故选：C 【变式1-1】以a、b、c三边长能构成直角三角形的是（ ） A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝32，b＝42，c＝52 C．a＝ ，b＝ ，c＝ D．a＝5，b＝6，c＝7 【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项逐一代入计算，看是否符合 a2+b2＝c2即 可． 【解答】解：A、∵12+22≠32， ∴不符合a2+b2＝c2． ∴不能构成直角三角形． B、∵a＝32，b＝42，c＝52， ∴a＝9，b＝16．c＝25， ∵92+162≠252，不符合a2+b2＝c2， ∴不能构成直角三角形．C、 + ＝ ，符合a2+b2＝c2， ∴能构成直角三角形． D、52+62≠72，不符合a2+b2＝c2， ∴不能构成直角三角形． 故选：C 【变式1-2】已知a、b、c为△ABC的三边，旦满足（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，则它的 形状为 三角形． 【分析】由已知条件得出a2﹣b2＝0或a2+b2﹣c2＝0，得出△ABC是等腰三角形或直角 三角形． 【解答】解：∵（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0， ∴a2﹣b2＝0，或a2+b2﹣c2＝0， ∴a＝b，或a2+b2＝c2， ∴△ABC是等腰三角形，或△ABC是直角三角形； 故答案为：等腰或直角 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外 一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3． （1）求BC的长； （2）求证：△BCD是直角三角形． 【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长； （2）利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形． 【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13， ∴BC＝ ＝ ＝5； （2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5， ∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2， ∴△BCD是直角三角形 如何判定一个三角形是否是直角三角形 c （1） 首先确定最大边（如 ）. c2 a2 b2 c2 a2 b2 （2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的c2 a2 b2 直角三角形；若 ，则△ABC不是直角三角形. a2 b2 c2 a2 b2 c2 注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三 c 角形，其中 为三角形的最大边. 题型2：判定三边能否构成三角形（具体数值、比值或字母参数） 2.现有四块正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，选取其中三块按如图的方式围成一 个三角形，如果要使这个三角形是直角三角形，那么选取的三块纸片的面积分别是（ ） A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，4，5 D．3，4，5 【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积， 围成的三角形是直角三角形，即可解答本题． 【解答】解：∵四块正方形纸片，面积分别是2，3，4，5， ∴四块正方形纸片的边长分别是 ， ， ， ， 由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积， 当选取的三块纸片的面积分别是2，3，4，2+3≠4，围成的三角形不是直角三角形； 当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2+3＝5，围成的三角形是直角三角形； 当选取的三块纸片的面积分别是2，4，5时，2+4≠5，围成的三角形不是直角三角形； 当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，3+4≠5，围成的三角形不是直角三角形； 故选：B 【变式2-1】如图，已知AD＝6，BD＝8，AC＝26，BC＝24，∠ADB＝90°．问△ABC是直 角三角形吗？并说明理由． 【分析】由勾股定理求出AB，再求出AB2+BC2＝AC2，由勾股定理的逆定理证出△ABC 是直角三角形即可． 【解答】解：△ABC是直角三角形；理由如下： ∵∠ADB＝90°， ∴AB＝ ＝ ＝10， ∵AB2+BC2＝100+576＝676＝262，∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形 【变式2-2】有一块薄铁片ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图所示（单位：cm），如果沿 着对角线AC剪开，那么得到的两块三角形铁皮的形状都是“直角三角形”吗？请说明 理由． 【分析】先在△ABC中，由∠B＝90°，可得△ABC为直角三角形；根据勾股定理得出 AC2＝AB2+BC2＝130000，得出AD2+CD2≠AC2，由勾股定理的逆定理可得△ACD不是 直角三角形． 【解答】解：△ABC是直角三角形，△ADC不是直角三角形．理由如下： 连接AC．如图所示： 在△ABC中，∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形； ∴AC2＝AB2+BC2＝2002+3002＝130000， 又∵AD2+CD2＝10000+90000＝100000≠130000， ∴AD2+CD2≠AC2， ∴△ACD不是直角三角形． 【变式2-3】已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1． （1）求证：△ABC是直角三角形． （2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整 数． 【分析】（1）知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较， 如果相等，则三角形为直角三角形； （2）依据m＞1，a，b，c均为正整数，即可得到直角三角形的边长．【解答】解：（1）∵△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m，c＝m2+1， 而当m＞1时，m2﹣1＜m2+1，2m＜m2+1， ∴（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+1﹣2m2+4m2＝（m2+1）2， 即a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形； （2）当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5； 当m＝3时，直角三角形的边长为8，6，10（答案不唯一） 互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命 题，则另一个叫做它的逆命题. 注意：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命 题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 题型3：互逆命题 3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90° C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即 可． 【解答】解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确； 如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误； 如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2， 设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， 则x+3x+2x＝180°， 解得，x＝30°， 则3x＝90°， 那么△ABC是直角三角形，C正确； 如果a2：b2：c2＝9：16：25， 则如果a2+b2＝c2， 那么△ABC是直角三角形，D正确； 故选：B 【变式3-1】下列命题中，正确的个数是（ ）（1）三边长分别为 、 、 的三角形是直角三角形； （2）三边长分别为15、20、25的三角形是直角三角形； （3）有两条边的长分别为3和4，另一边的长大于5的三角形不是直角三角形； （4）有两条边的长分别为3和4，另一边的长小于5的三角形不是直角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【解答】解：（1）∵（ ）2+（ ）2≠（ ）2，∴三边长分别为 、 、 的三角形不是直角三角形，故原来的说法是错误的； （2）∵152+202＝252，∴三边长分别为15、20、25的三角形是直角三角形，故原来的 说法是正确的； （3）∵32+42＝52，∴有两条边的长分别为3和4，另一边的长大于5的三角形不是直角 三角形，故原来的说法是正确的； （4）∵32+42＝52，∴有两条边的长分别为3和4，另一边的长小于5的三角形不是直角 三角形，故原来的说法是正确的． 故选：C． 【变式3-2】下列命题正确的是（ ） A．若直角三角形有两条边的长分别为3和4，则第三边一定为5，第三边上的高是2.4 B．在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，则AB：AC：BC＝1：2：3 C．三边长为1：1： 的三角形是等腰直角三角形 D．因为（ ）2+（ ）2≠（ ）2，所以 为边的三角形不是直角三 角形 【分析】利用直角三角形的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、若直角三角形有两条边的长分别为3和4，则第三边一定为5或 ， 错误； B、在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，∠C＝30°，则∠C：∠B：∠A＝1：2：3，错 误； C、三边长为1：1： 的三角形是等腰直角三角形，正确； D、因为（ ）2+（ ）2＝（ ）2，所以 为边的三角形是直角三角 形，错误； 故选：C 勾股数 x2  y2  z2 满足不定方程 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯 x、y、z 数），显然，以 为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct 为三角形的三边长，此三角形必 为直角三角形. n2 1，2n，n2 1 n1,n 注意：（1） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长； 2n2 2n,2n1,2n2 2n1 n （2） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长； m2 n2,m2 n2,2mn mn,m、n （3） （ 是自然数）是直角三角形的三条边长； 勾股数的求法： 如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾 股数； 如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数. 题型4：勾股数 4.下列各组数中，为勾股数的是（ ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．5，10，12 【分析】根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 【解答】解：A、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数； B、∵32+42＝52，∴这组数是勾股数； C、∵1.52+22＝2.52，但这三个数不都是整数，∴这组数不是勾股数； D、∵52+102≠122，∴这组数不是勾股数． 故选：B 【变式4-1】若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（ ） A．﹣5 B．5 C．﹣5或﹣ D．5或 【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数求解即可． 【解答】解：∵3、4、a为勾股数， ∴a＝ ＝5， ∴a的相反数为﹣5， 故选：A 【变式4-2】观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， 40 ， 41 ； 并 寻 找 规 律 ， 请 你 写 出 有 以 上 规 律 的 第 ⑤ 组 勾 股 数 ： ，第n组勾股数是 ． 【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答． 【解答】解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1； ②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1； ③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1； ④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；∴第⑤组勾股数为2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61， 第n组勾股数是 2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1． 故答案为：11，60，61；2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1 【变式 4-3】满足 a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．若正整数 a，n满足 a2+n2＝ （n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组 “完美勾股数”，当n＜150时， 共有 组这样的“完美勾股数”． 【分析】由于n＜150，149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9， 25，49，81，121，169，225，289，一共8个，可得共有8组这样的“完美勾股数”． 【解答】解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1， 149+150＝299， 大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一 共8个， ∴共有8组这样的“完美勾股数”． 故答案为：8 题型5：勾股定理逆定理的应用 5如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么 这4个正方形网格中不是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】分别求A、B、C、D选项中各三角形的边长，根据勾股定理的逆定理可以判定 A、B、D中三角形为直角三角形，C为钝角三角形，即可解题． 【解答】解：设网格中每个小正方形的边长是1． 图A中各边长为2、4、2 ，22+42＝（2 ）2，故该三角形为直角三角形； 图B中各边长 、2 、 ，（ ）2+（2 ）2＝（ ）2，故该三角形为直角 三角形； 图C中三角形各边长为 、 、 ，（ ）2+（ ）2＝（ ）2，故该三角 形为钝角三角形； 图D中各边长为 、2 、5，（ ）2+（2 ）2＝52，故该三角形为直角三角形．即A、B、D是直角三角形，C不是直角三角形． 故选：C 【变式5-1】如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两 点为端点的线段中，任意取3条，能够组成 个直角三角形． 【分析】由勾股定理求出线段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方，由勾股定理的逆定 理即可得出结果． 【解答】解：由勾股定理得：AD2＝BD2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5， AB2＝22+42＝20，BC2＝CD2＝25， ∵AD2+BD2＝AB2，AC2+AB2＝BC2， ∴能够组成2个直角三角形． 故答案为：2 【变式5-2】若一个三角形的三边长分别为25cm、15cm、20cm，则这个三角形最长边上的 高为 1 2 cm． 【分析】根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形，然后再利用三角形的面积 公式即可求解． 【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为25cm、15cm、20cm， 又∵152+202＝252， ∴该三角形为直角三角形． ∴这个三角形最长边上的高＝15×20× ×2÷25＝12（cm）． 故答案为：12 【变式5-3】如图，在△ABC中，AB＝10，BD＝8，AD＝6，CD＝2 （1）试说明AD⊥BC； （2）试求点D到直线AC的距离． 【分析】（1）根据已知条件推知AD2+BD2＝AB2，然后利用勾股定理的逆定理推得结 论；（2）在直角△ACD中，利用勾股定理可以求得AC的长度，由三角形的面积公式来求 点D到直线AC的距离． 【解答】解：（1）∵AD2+BD2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC； （2）∵∠ADB＝90°，且点D为BC边上的一点， ∴∠ADC＝90°， ∴由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝4 ， ∴点D到直线AC的距离为6×2 ÷2×2÷4 ＝3 【变式5-4】如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m；求图中 阴影部分的面积． 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角 三角形，再根据S阴影 ＝ AC×BC﹣ AD×CD即可得出结论． 【解答】解：在Rt△ADC中， ∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米， ∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100， ∴AC＝10米（取正值）． 在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676． ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°． ∴S阴影 ＝ AC×BC﹣ AD×CD＝ ×10×24﹣ ×8×6＝96（米2）． 答：图中阴影部分的面积为96米2 【变式5-5】如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点E自A向B 以2cm/s的速度运动，动点F自B向C以4cm/s的速度运动，若E、F同时分别从A、B 出发． （1）试问出发几秒后，△BEF为等边三角形？（2）填空：出发 秒后，△BEF为直角三角形？ 【分析】（1）设时间为x，表示出AE＝2x、BF＝4x、BE＝30﹣2x，根据等边三角形的 判定列出方程，解之可得； （2）分两种情况：①∠BEF＝90°时，即可知∠BFE＝30°，依据BE＝ BF列方程求解 可得；②∠BFE＝90°时，知∠BEF＝30°，依据BF＝ BE列方程求解可得． 【解答】解：（1）出发x秒后，△BEF为等边三角形，则AE＝2x、BF＝4x、BE＝30﹣ 2x， ∵∠B＝60°， ∴当BE＝BF时，△BEF为等边三角形， ∴30﹣2x＝4x， 解得x＝5， 即出发5秒后，△BEF为等边三角形； （2）设经过x秒，△BEF是直角三角形， ①当∠BEF＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BFE＝30°， ∴BE＝ BF，即30﹣2x＝ ×4x， 解得：x＝7.5； ②当∠BFE＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BEF＝30°， ∴BF＝ BE，即4x＝ ×（30﹣2x）， 解得：x＝3， 综上所述，经过3秒或7.5秒，△BEF是直角三角形． 故答案为：3或7.5．