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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图或计算
学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；
2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.
重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.
难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.
自主学习
一、知识回顾
1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上
分别画出表示3,-2.5的点吗？
2.求下列三角形的各边长.
课堂探究
一、要点探究
探究点1：勾股定理与数轴
问题1 .你能在数轴上画出表示 的点吗？ 呢？(提示：可以构造直角三角形作出边
长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)
问题2 长为 的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？
思考 以下是在数轴上表示出 的点的作图过程，请你把它补充完整.
(1)在数轴上找到点A,使OA=______;
(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;
(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴
交
于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角
三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴
存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正
无理数.
类比迁移： 类似地，利用勾股定理可以作出长 为线段,形成
如图所示的数学海螺.
典例精析
例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长.
针对训练
1.如图，点A表示的实数是 （ ）
第1题图 第2题图
2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为
半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）
3.你能在数轴上画出表示√17的点吗？
探究点2：勾股定理与网格综合求线段长
画一画 在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在给定网格中以 A
出发分别画出长度为 的线段 AB．典例精析
例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为 1，写出格点△ABC各顶点的
坐标，并求出此三角形的周长．
方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形
中，利用勾股定理求其长度.
例3 如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字
格中最多可以作出多少条长度为 的线段？
例4 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边
上的高.
:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求
方法总结
高.
针对训练1.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别
为 .
探究点3：勾股定理与图形的计算
典例精析
例5 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，
BC=10cm，求EC的长.
变式题 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD
边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.
方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所
求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角
形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.
例6 如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，
求四边形ABCD的面积．二、课堂小结
在数轴上表示出无理数的点
利用勾股
通常与网格求线段长或面
定理作图 利用勾股定理解决网格中的问题
积结合起来
或计算
利用勾股定理解决折叠问题及其
通常用到方程思想
他图形的计算
当堂检测
1. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB
的长度为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.25
A
B
第1题图 第2题图 第3题图
2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置
找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，
以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ ）
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为
_______.
4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD
的周长为32cm，求△BCD的面积．5. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重
叠部分△AFC的面积.
能力提升
6.问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 ,求这个三角形的面积．小辉同学在
解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格
点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的
高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）求△ABC的面积；
（2）若△ABC三边的长分别为 (a＞0)，请利用图②的正方形网格
（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
图① 图②参考答案
自主学习
一、知识回顾
1. 略
2. 1
课堂探究
一、要点探究
探究点1：勾股定理与数轴
问题1
问题2
思考 3 ⊥ 2 OB
典例精析
例1 解：∵图中的直角三角形的两直角边长为1和2，
∴斜边长为 ，即 －1 到 A 的距离是 ，
∴点 A 所表示的数为 －1 .
针对训练
1. D 2.C3.
探究点2：勾股定理与网格综合求线段长
画一画 见右上图
典例精析
例2 解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).
由勾股定理得
∴△ABC 的周长为
例3 解：如图所示，有 8 条.
例4 解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
针对训练
解：如图所示.
探究点3：勾股定理与图形的计算
典例精析
例5 解：在Rt△ABF 中，由勾股定理得 BF2 = AF2－AB2 = 102－82 = 36，
∴ BF = 6 cm. ∴CF = BC－BF = 4.设EC= x cm，则EF=DE=(8－x) cm，
在Rt△ECF 中，根据勾股定理得 x2 + 42 = (8－x)2，解得 x = 3.
即 EC 的长为 3 cm.
变式题 解：连接 BM，MB′. 设 AM＝x，在Rt△ABM 中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′ 中，MD2＋DB′2=MB′2.
∵ MB＝MB′，∴ AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，即 92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得 x＝2.
即 AM＝2.
例6 解：如图，延长 AD、BC 交于 E．
∵ ∠B = 90°，∠A = 60°，∴ ∠E = 90°－60° = 30°，
在 Rt△ABE 和 Rt△CDE 中，∵ AB = 2，CD = 1，
∴ AE = 2AB = 2×2 = 4，CE = 2CD = 2×1 = 2，
由勾股定理得
当堂检测
1. A 2. B 3.
4. 解：∵ AB = AD = 8 cm，∠A = 60°，∴ △ABD 是等边三角形.
∵ ∠ADC = 150°，∴∠CDB = 150°－60° = 90°.
∴ △BCD 是直角三角形.又∵ 四边形的周长为 32 cm，
∴ CD+BC = 32-AD-AB = 32-8-8 = 16 (cm).
设 CD = x cm，则 BC = (16 - x) cm，由勾股定理得 82 + x2 = (16 - x)2，
解得 x = 6. ∴S = ×6×8 = 24 (cm2).
△BCD
5.解：易证△AFD′≌△CFB，∴ D′F = BF，
设 D′F = x，则 AF = 8 - x，在 Rt△AFD′ 中，(8 - x)2 = x2 + 42，
解得 x = 3.∴ AF = AB - FB = 8 - 3 = 5.
∴ S = AF•BC = 10．
△AFC
6.（1）
（2）解：如图，
∴△ABC 即为所求.
