文档内容
20.1 勾股定理及其应用（第 3 课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课运用勾股定理证明“HL”；通过作直角三角形，画出长度为无理数的线段，并学习在数轴上画
出表示无理数的点的方法。
2. 内容分析
本节课是勾股定理应用的深化，实现了从“实际问题应用”到“数学问题解决”的延伸。一方面，用
勾股定理证明“HL”，完善了直角三角形全等的判定体系，体现了定理的逻辑价值；另一方面，借助勾股
定理构造直角三角形，将无理数转化为可度量的线段，进而在数轴上表示，搭建了“数”与“形”的桥梁，
深化了实数与数轴的对应关系。课程内容聚焦“证明”与“作图”两大核心，既培养推理能力，又发展几
何直观。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：应用勾股定理作出长度为无理数的线段。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理，发展推理能力。
（2）能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，发展几何直观。
（3）体会勾股定理在数学中的地位和作用。
2. 目标解析
（1）学生能准确画出“HL”定理的图形，清晰写出已知、求证，利用勾股定理推导第三组对应边相
等，再结合“SSS”判定完成证明，提升逻辑推理素养。
（2）学生能根据无理数的特点，构造对应的直角三角形，确定直角边长，进而在数轴上通过“作垂
线→取线段→画弧相交”的步骤画出表示该无理数的点，实现从“数”到“形”的转化，发展几何直观。
（3）学生通过勾股定理在“定理证明”和“无理数作图”中的应用，体会其在连接几何判定、数与
形中的核心作用，理解数学知识间的内在联系，形成系统化的知识认知。
三、教学问题诊断分析
可能出现的问题：
（1）证明“HL”时，难以想到用勾股定理推导第三组对应边相等，无法建立勾股定理与全等判定的
关联。
（2）在数轴上画无理数对应的点时，不能准确拆分无理数的被开方数，或构造直角三角形后，作图
步骤混乱。
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学科网（北京）股份有限公司应对策略：
（1）证明“HL”定理前，回顾全等判定的已有知识，引导学生思考“已知斜边和直角边相等，如何
得到第三边相等”，通过追问“直角三角形中三边的关系由什么定理体现”，启发学生联想到勾股定理，
搭建推理桥梁。
（2）作图教学中，先示范√13的作图过程，总结“拆数→作垂线→取线段→画弧相交”的步骤；针对
常见无理数进行专项拆分训练，强化学生对被开方数拆分的敏感度；要求学生规范作图步骤，标注关键数
据，避免操作失误。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点。
四、教学过程设计
（一）复习引入
利用勾股定理解决实际问题：将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、
待求量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般套路。
勾股定理不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以帮助我们解决数学问题。
设计意图：回顾上一节课勾股定理在实际问题中的应用套路，唤醒学生旧知；通过“不仅能解决实际
问题，还能解决数学问题”的过渡，明确本节课的学习方向，激发学生探究勾股定理在数学内部应用的兴
趣，自然引入新课。
（二）合作探究
思考 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形
全等，学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗?
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C′=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C'.
证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，
根据勾股定理，得
BC=√AB2 −AC2，B'C'=√A'B'2 −A'C'2.
又AB=A'B'，AC=A'C',
∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
探究 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上画出表示√13的点吗?
追问1 如果直角边长为1，那么斜边长为多少？
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学科网（北京）股份有限公司追问2 如果直角边长分别为1和2，那么斜边长为多少？
追问3 如果直角边长分别为2和3，那么斜边长为多少？
由勾股定理可知，两条直角边的长分别为2，3的直角三角形，其斜边长为√13.由此，可以依照如下
方法在数轴上画出表示√13的点.
1.在数轴上找出表示3的点A，则OA=3.
2.过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2.
3.以原点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C即为表示√13的点.
类似地，利用勾股定理，可以画出长为√2，√3，√5，…的线段.按照相同的方法，还可以在数轴上画
出表示√1，√2，√3，√4，√5，…的点.
设计意图：通过“HL”定理的证明，让学生体会勾股定理在逻辑推理中的应用，完善全等判定体系，
提升推理能力；无理数作图环节，通过梯度化追问，从简单到复杂引导学生发现“直角三角形斜边长可以
是无理数”的规律，为后续作图铺垫思路，降低难点；完整呈现作图步骤，帮助学生掌握“数→形”转化
的具体方法，发展几何直观。
（三）典例分析
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学科网（北京）股份有限公司例 如图，等边三角形ABC的边长为6.求：
(1)高AD的长； (2)等边三角形ABC的面积.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
1
∴BD= BC=3.
2
由勾股定理得： AD2=AB2−BD2=62−32=27，
∴AD=3√3.
1 1
(2)等边三角形ABC的面积为： BC×AD= ×6×3√3=9√3.
2 2
设计意图：选取等边三角形的高和面积计算作为典例，既巩固了勾股定理的应用，又衔接了等腰三角
形“三线合一”的性质，体现知识的综合性；规范的解题步骤为学生提供了清晰的范例，培养学生严谨的
数学表达习惯。
（四）巩固练习
1．如图，在数轴上点A表示的实数是（ A ）
5
A． √5 B． C． −1+3 √2 D．1+√3
2
2. 在数轴上画出表示√17的点.
点A即为表示√17的点.
3. 如图，AD是△ABC的边BC上的高.分别以线段AB，AC，BD，CD为
边向外作正方形，正方形的面积分别为S，S，S，S.请写出关于S，S，S，
1 2 3 4 1 2 3
S 的等式.
4
解：根据勾股定理，
AD2=S−S，AD2=S−S，
1 3 2 4
∴S−S=S−S.
1 3 2 4
4 / 7
学科网（北京）股份有限公司4．如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长
为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（ B ）
A．14 B．13 C．12 D．11
5．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，
恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC=√5，BC=1，∠AOB=30°，则OA的值为（ A ）
3
A． √3 B． C． √2 D．1
2
设计意图：巩固练习覆盖多种题型，梯度分明：第 1-2 题强化作图技能；第 3-5 题培养学生在复杂
图形中提取直角三角形、应用勾股定理的能力。通过多样化练习，及时反馈学习效果，帮助学生查漏补缺，
同时提升学生的综合解题能力。
（五）归纳总结
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学科网（北京）股份有限公司（六）感受中考
1．（2025年广西）如图，点A,D在BC同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=√2，则AD= √3−1
．
2．（2024年西藏）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交
1
BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点
2
P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF的长为 3√5 ．
3．（2025年四川绵阳）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A(1,0),C(1,2√3)，将
△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（ A ）
A．(−3, √3) B．(− √3,3) C．(− √3,2) D．(−2, √3)
设计意图：引入中考真题，让学生感受勾股定理在中考中的综合应用形式，明确知识的考查方向，既
能检验学生的学习成果，又能提升学生的应考能力和解题信心，激发学习动力。
（七）小结梳理
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学科网（北京）股份有限公司（八）布置作业
1.必做题：习题20.1 第6，11，12题.
2.探究性作业：习题20.1 第14题.
五、教学反思
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