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20.1 勾股定理及其应用
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1. 理解直角三角形的勾股定理，能用勾股定理进行计算、推理、证明.
2. 能用勾股定理解决一些如制图、测绘等简单的实际应用问题；
【题型1】解直角三角形——已知两边求第三边
1.（24-25八年级上·全国·课后作业）根据图片求下列直角三角形相应边的长．
（1） （2） ； ．
【答案】 13 8
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
直接利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：（1）在直角三角形中，由勾股定理得： ，
∴ ．
（2）在直角三角形中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ， ．
2．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）在Rt 中， ， ， ， 分别是 中 ， ，
的对边．
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ， ，求 ；
(3)若 ， ，求 ， ．
【答案】(1) ；
(2) ；(3) ， ．
【分析】本题主要考查了用勾股定理解直角三角形，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方
之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
根据 中， ，可得 即可求出 的值；
根据 中， ，可得 即可求出 的值；
根据 中， ，可得 ，根据 ，设 ， ，从而可得
，解方程求出 的值即可得到 、 的值．
【详解】（1）解：在 中， ，
由勾股定理可得： ，
， ，
，
；
（2）解：在 中， ，
由勾股定理可得： ，
， ，
，
；
（3）解：在 中， ，
由勾股定理可得： ，
设 ， ，
由 ，
可得： ，
，
， ．
3．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）在 中， ， ， ，求 的面积．
【答案】54
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．根据勾股定理求出 的长度，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：在 中， ， ，
根据勾股定理可得：
即
解得
因此
答： 的面积为 ．
4．（24-25八年级下·福建南平·期中）若直角三角形两条边长分别为 和 ，则它第三边长为 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的计算是关键．
根据勾股定理分类讨论计算即可．
【详解】解：当斜边是5，一直角边为4，则第三边长为 ；
当两直角边分别为4，5时，第三边，即斜边长为 ；
故答案为： 或 ．
5.（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，
，求CD、BD的长．
【答案】CD的长为 ，BD的长为
【分析】在Rt△ACD中，利用勾股定理列式求出CD，在Rt△BCD中，利用勾股定理列式计算即可求出
BD．
【详解】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC和△BDC是直角三角形，
在Rt△ACD中， ，
∴ ，
在Rt△BCD中， ，
∴ ，
答：CD的长为 ，BD的长为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形判断出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．
【题型2】勾股树——与勾股定理有关的面积问题
6.（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，
且 三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记相关性质定理是解题的关键．由勾股定理结合正方形
的面积可知， ，再结合 三个正方形的面积分别为7、16、3，即可推出结果．
【详解】解：如图，由勾股定理结合正方形的面积可知， ，
又∵ 三个正方形的面积分别为7、16、3，
∴ ，
故答案为：6．
7.（25-26八年级下·广东·月考）如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中
最大的正方形的边长为 ，则正方形A，B，C，D的面积之和为 .
【答案】49
【分析】根据勾股定理计算即可
【详解】解：最大的正方形的面积为 ，
由勾股定理得，正方形E、F的面积之和为 ，
∴正方形A、B、C、D的面积之和为 ，
故答案为49．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
．
8.（25-26八年级上·河南新乡·月考）如图，分别以 的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史
上被称为“希波克拉底月牙”．当 ， 时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ）A．18 B．20 C．24 D．48
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、三角形和圆的面积公式，根据勾股定理求得 的长度，再根据圆的面积
公式分别计算三个半圆的面积，根据三角形的面积公式计算 的面积，再利用割补法即可求出“希
波克拉底月牙”的面积．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
以 为直径的半圆面积为 ；
以 为直径的半圆面积为 ；
以 为直径的半圆面积为 ；
的面积为 ，
∴“希波克拉底月牙”的面积是 ．
故选：C．
9．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形
分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为 ， ，则 的值为 ．【答案】25
【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意设直角三角形较长的直角边
长为 ，较短的直角边长为 ，根据勾股定理可得 ，根据图形面积可得 ，即可求
得答案．
【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为 ，较短的直角边长为 ，
∴
故答案为：25．
10.（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在 中， ，以斜边 的长为直径作半圆，
当 ， 时，半圆的面积为 ．（结果保留 ）
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，圆的面积的计算，掌握勾股定理，半圆面积的计算方法是解题的关键．
根据题意，运用勾股定理得到 ，再根据半圆面积的计算即可求解．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∴ ，
∵以斜边 的长为直径作半圆，∴半圆的面积 ，
故答案为： ．
【题型3】勾股定理的应用——作高，构造直角三角形
11.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ，垂足为D， ， ，
，求AC的长.
【答案】10
【分析】由△ABC的面积求出BC，得出CD，由勾股定理求出AC即可．
【详解】解：∵ ,
∴ ,
即 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
.
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由三角形的面积求出BC
是解决问题的关键．
12．（22-23八年级下·四川达州·月考）如图， 是等边三角形， ，求高 的长和 的
面积．【答案】 ， 的面积是
【分析】利用等边三角形三线合一，进行求解即可．
【详解】解：∵ 是等边三角形， 是 的高， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理．熟练掌握等边三角形三线合一，是解题的关键．
13.（25-26八年级下·广东·期中）如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD
的长．
【答案】9
【分析】根据垂直关系在Rt ACD中，利用勾股定理求出CD，已知BC，再根据线段的和差关系可求
BD． △
【详解】∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
在Rt ACD中，CD＝ ＝ ＝5，
△
∵BC＝14，
∴BD＝BC﹣CD＝9．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用．关键是利用垂直的条件构造直角三角形，利用勾股定理求解．14.（22-23九年级上·广东惠州·开学考试）若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 ，且高为 ，
则这个等腰三角形的腰长为 ，面积为 ．
【答案】 /6厘米 / 平方厘米
【分析】根据题意作等腰三角形的高画出△BDC，得到∠B=∠ACB=∠ACD=30°，在Rt△ADC中，利用勾股
定理解得AC的长，再求面积即可．
【详解】如图所示，
由题意得∠DCB=60°，CD⊥BD，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠ACD=30°，
∴ ，
在Rt△ADC中， ,
∴ ,
∴AC=6cm，
即腰长为6cm，
∴ ，
故答案为：6cm， ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意正确作出图形．
15.（23-24八年级下·河南新乡·月考）如图，梯形ABCD中， 垂直 和 ．如果，那么 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．
先用勾股定理求 长度，再求 即可．
【详解】解：
在 中 ，
同理 ，
故答案为： ．
【题型4】勾股定理的应用——与折叠相关的问题
21.（25-26八年级上·贵州·月考）如图，将等腰直角三角形 （ ）沿 折叠，使点 落在
边的中点 处， ，那么线段 的长度为
A．5 B．4
C．4. 25 D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质可求得AE=A E，可设AE=A E=x，则BE=6-x，且AB=3，在Rt△A BE中，利用勾
1 1 1 1
股定理可列方程，则可求得答案．
【详解】解：由折叠的性质可得AE=A E，
1
∵△ABC为等腰直角三角形，BC=6，
∴AB=6，∵A 为BC的中点，
1
∴AB=3，
1
设AE=A E=x，则BE=6-x，
1
在Rt△A BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x= ，
1
故选D．
【点睛】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A E是解题的关键，注意勾股定理的应用．
1
17．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，将长方形纸片 折叠，使边 落在对角线 上，折
痕为 ，且D点落在对角线 处，若 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出 的长，由折叠的性质得到
，根据 列式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ；
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选：A．
18．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，在长方形 中， ， ，将长方形
折叠，使点B与点D重合，折痕为 ，则 ．
【答案】
【分析】该题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，在解决本题的过程中要注意折叠时出现的相等
的线段，把求线段长的问题转化为解方程的问题．
根据已知条件可以知道， ，若设 ，则 ，在 中可以利用勾
股定理，列方程求出 的长．
【详解】解：设 ，则 ，
又 ∵在 中 ，
即 ，
解得 ．
故答案为： ．
19.（25-26八年级下·重庆·期中）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕
为DE，若AB=4，BC=3，则 ADC的周长是
△
【答案】
【分析】首先根据勾股定理设 ，求出AD、CD，再求出AB，相加即可．【详解】解：∵折叠直角三角形 纸片，使两个锐角顶点 、 重合，
∴ ，
设 ，则 ，故 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
则
在 中，
由勾股定理得
∴AC=5
∴ 周长为AD+CD+AB= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键．
20.（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在长方形 中， ，将 沿 翻折，得
到 ，其中， 与 相交于点 ，则 为
【答案】
【分析】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键；由题意易
得 ，然后可得 ，则可设 ，则有 ，进而根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可知： ，
在长方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴在 中，由勾股定理可得： ，
解得： ，
∴ ；
故答案为 ．
【题型5】勾股定理的应用——在数轴上寻找无理数
21.（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，数轴上点 所表示的数为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了实数与数轴之间的对应关系以及勾股定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边的长
是解答本题的关键．根据数轴上点的特点和相关线段的长，结合勾股定理求出斜边长，再求出原点和点A
之间的线段的长，即可知A所表示的数．
【详解】解：∵由图可得，直角三角形的两直角边为1，2，
∴斜边长为 ，
∴原点和点A之间的距离为 ，
∴数轴上点A所表示的数为： ，故答案为： ．
22．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，长方形 的边 长为2， 长为1，点A在数轴上对
应的数是0，以点A为圆心，对角线 长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据勾股定理求出 的长，结合 以及数轴的特点即可求解．
【详解】解：∵长方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
由题意得， ，
∴点E表示的实数是 ．
故选：D．
23．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在数轴上点 所表示的数为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由勾股定
理可得 ，然后根据实数与数轴可进行求解．
【详解】解：如图，由数轴可知： ，
∴ ，
∴a的值为 ；
故答案为： ．
24．（25-26八年级上·山西运城·期中）小丽同学在数轴上按照如图所示的方法画出了 ， ， ，
及点 ，则点 表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理解答即可求解，正确计算是解题的关
键．
【详解】解：如图，
由勾股定理得， ，
∴ ，∴点 表示的数为 ，
故答案为： ．
25．（25-26八年级·全国·课后作业）如图，数轴上点 表示的数为 ．
【答案】 /
【分析】此题考查了勾股定理、实数与数轴的关系等知识，由勾股定理得： ， ，从而有
，则得到数轴上点 表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，
由勾股定理得： ， ，
∴ ，
∴数轴上点 表示的数为 ，
故答案为： ．
【题型6】勾股定理的应用——求坐标轴上的两点距离
26.（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ．(1)在平面直角坐标系中标出点 的位置，并写出点 关于 轴对称点 的坐标______；
(2)连接 和 ，求 的周长．
【答案】(1)图见解析，
(2)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内找对称点、勾股定理求线段长度、三角形周长等知识点，正确
作图是解题的关键．
（1）直接标出点B的位置即可；再根据关于y轴对称点的纵坐标不变，横坐标变为相反数即可确定点C
的坐标；
（2）先画图，再根据勾股定理求得 、 、 ，然后求和即可．
【详解】（1）解：如图：在图中标出 点．
∵点 关于 轴对称点 ，
∴点 的坐标 ．
（2）解：如图：连接 、 和 得出 ，则 ， ， ，
所以 的周长 ．
27．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，已知 ， 两点的坐标分别为 、 ，以点 为圆心，
长为半径画弧，交 轴负半轴于点 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形与坐标，勾股定理，利用点 ， 坐标、求得 的长度，进而求出 的长度即
可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵以点 为圆心， 长为半径画弧交 轴负半轴于点 ，
∴ ，∴ ，
∵点 在 轴的负半轴上，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
28．（25-26八年级上·江西吉安·期中）在平面直角坐标系 中，已知点 ，若点 是 轴正半轴上
的一个动点，当 是等腰三角形时，则点 坐标是 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查等腰三角形的定义和勾股定理的应用．当 为等腰三角形时，需分三种情况讨论：
、 或 ．分别计算每种情况下点 的横坐标 ，并确保 且能构成三角形，即
可．
【详解】解：设点 ，且 ，
∵点 ，点 ，
∴ ， ，
当 时， ，
解得： 或 （舍去，），
此时 ；
当 时： ，
此时 ；
当 时：此时 ，
解得： ，
此时综上，点 坐标为 或 或 ．
故答案为： 或 或
29．（25-26八年级上·四川达州·期中）在平面直角坐标系中， 的位置如图所示，已知点A的坐标是
．
(1)点B的坐标为(______，______)，点C的坐标为(_______，______)；
(2) 的面积是______；
(3)作点C关于y轴的对称点 ，求A， 两点之间的距离．
【答案】(1)3，0， ，5
(2)10
(3)
【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标变化，三角形面积，勾股定理的应用，掌握相关知识是解题
的关键．
（1）根据坐标系写出答案即可；
（2）作长方形 ，利用长方形面积减去周围多余三角形的面积可得 的面积；
（3）根据轴对称的点的坐标变化得到点 的坐标，再根据两点间距离公式求解即可
【详解】（1）解：由坐标系可得，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ．
故答案为：3，0， ，5．
（2）解：如图，作长方形 ，．
故答案为：10．
（3）解：如图，连接 ，
∵点 与点 关于y轴对称，
∴点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ．
30．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为 ，
， ．(1)作出 关于 轴对称的图形 ，并写出顶点 的坐标．
(2)在 轴上找一点 ，使得 最小，并求出该最小值．
【答案】(1)作图见解析，顶点 的坐标为
(2)见解析,
【分析】本题考查了网格作图，轴对称变换，轴对称最短问题，勾股定理，解题的关键是掌握轴对称变换
的性质．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， ，顺次连接即可．
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，点 即为所求，根据勾股定理求得 的长，
即可求解．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，顶点 的坐标为 ．（2）解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，点 即为所求，此时，
最小．
∵ ，
∴
即 最小为 ．
【题型7】勾股定理的应用——求生活场景中的两点距离
31.（25-26八年级上·全国·期中）如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度 ，将它往前推
至C处时（即水平距离 ），踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，则绳索
的长是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条
直角边分别为a、b，斜边为c，那么 ．
设 的长为 ，则 ，故 ．在直角 中利用勾股定理即可求
解．
【详解】解：由题意得 ，
∵
∴ ．
设 的长为 ，
则 ，
∴ ．
在 中，由勾股定理，
得 ，
即 ，
解得： ．
故选：B．
32．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一
只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行 米．【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想
解答．
根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得 的长．
【详解】解：如图所示，
由题意可得， （米）， 米，
，
（米），
即小鸟至少飞行 米，
故答案为： ．
33．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将 米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此
时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）
A． 米 B． 米 C．2米 D． 米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键．
根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度．【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度 ，
故选：D
34．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，
然后他将绳子末端拉到距离旗杆 处，发现此时绳子末端距离地面 ，求旗杆的高度．（滑轮上方的部
分忽略不计）
【答案】旗杆的高度为17米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
如图，过点 作 于点 ，设旗杆 的高度为 ，则 ， ， ．
然后在 中运用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ．
设旗杆 的高度为 ，则 ， ， ．
在 中， ，即 ，解得 ．
答：旗杆的高度为17米．
35．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正
中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是 尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水
池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得 ，整理得 ，即可作答．
【详解】解：设芦苇的长度是 尺，
∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．
∴
整理得 ，
故选：D．
【题型8】勾股定理的证明方法
36.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，以 的斜边 为直角边作等腰直角三角形 ，再作
，交 的延长线于点E．请利用面积相等证明勾股定理．
【答案】证明见详解
【分析】本题考查勾股定理的证明，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理的证明解答即可．
【详解】证明： ，是直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
， ，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
四边形 是梯形，
梯形 中 ， ， ，
，
等腰直角三角形 中， ，
，
， ，
，
，
．
37．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数
学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．(1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别
为 、 ，斜边为 ，请利用这个图形验证勾股定理；
(2)图①赵爽弦图中，若 ， ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图
③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)76
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理
是解题的关键．
（1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面
积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证；
（2）根据外延的4部分全等，且 ，由勾股定理求得 ，再根据风车的外
围周长 ，据此计算即可．
【详解】（1）解：图形的总面积可以表示为 ， ，
∴ ，
即 ．
（2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且 ，
∴ ，∴ ，
∴这个风车的外围周长是 ．
故答案为：76
38．（25-26八年级上·陕西西安·期中）请你根据图形及提示证明勾股定理 图中所有直角三角形都是以c
为斜边，a，b为直角边的全等三角形
(1)毕达哥拉斯的证法 图 ：
补充完整以下证明过程
证明： 正方形①的面积 ______
正方形②的面积 ______．
又 正方形①与正方形②的边长相等，
______ ______．
；
(2)请你写出弦图 图 的另一种证法．
【答案】(1) ， ， ，
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，解决本题的关键是根据题意得到等量关系．
（1）根据题意即可完成填空；
（2）根据题意，由图可知大正方形的面积 个三角形的面积 小正方形的面积，列出等式化简即可得出
勾股定理的表达式．【详解】（1）证明： 正方形 的面积 ，
①
正方形 的面积 ，
②
又 正方形 与正方形 的边长相等，
① ②
，
，
故答案为： ， ， ， ；
（2）解：由图可知大正方形的面积 个三角形的面积 小正方形的面积，
，
即 ．
39．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，
斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形 的面积，可以证明勾
股定理．
(1)写出你的证明过程；
(2)当 ， 时，求空白部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的面积法证明及组合图形的面积拆分计算，解题的关键是将五边形面积拆分
为不同基本图形（正方形、矩形、三角形）的面积和，通过面积相等建立等式推导勾股定理，再利用勾股
定理计算空白部分面积．（1）将五边形 的面积用两种不同的基本图形组合方式表示，建立等式，化简得勾股定理．
（2）空白部分面积为正方形 的面积减去两个直角三角形的面积，结合勾股定理将其转化为
，代入 、 的值计算．
【详解】（1）证明：五边形 的面积拆分为正方形 、三角形 与三角形 的面积和，
即
五边形 的面积也拆分为正方形 、正方形 、三角形 与三角形 的面积和，
即
∵两种方法表示的面积相等，
∴ ，
两边消去 ，得 ，即勾股定理得证．
（2）解：空白部分（正方形 的面积为 ，
由⑴结论 ，代入得空白部分面积为
当 ， 时，原式
答：空白部分的面积为 ．
40．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图， 中， ， ，分别过点B、C作
， ，垂足分别为D、E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，用两种不同方法计算四边形 的面积，并验证勾股定理．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，验证见解析
【分析】本题重点考查全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解
题的关键．
（1）根据垂直的定义可得 ，根据余角的性质可得 ，然后根据AAS证明即可；
（2）方法一：四边形 是梯形，可直接用梯形面积公式计算，方法二： ，
根据面积的两种不同表示方式得出等式，变形后即可验证勾股定理．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
， ，
∴ ．
在 和 中：
∴ ．
（2）方法一：四边形 面积（梯形面积） ．
由 ，得 ， ， ，
故
方法二：
∴ ，
展开得 ，
化简得 ，
∴勾股定理成立．
【题型9】利用勾股定理进行几何证明
41.（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等腰 中， ，点 是 上一点，作等
腰 ，且 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质得出 ， ， ，再证明
，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论．
【详解】（1）证明： 在等腰 中， ，在等腰 中， ，
， ， ，
，
．
．
（2）由（1）知 ，
∵在等腰 中， ，
．
，
．
．
，
．
42．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）【问题提出】
（1）如图1，在 中， 于点 ，若 ， ， ，则 ______．
【问题探究】（2）如图2，在四边形 中，对角线 相交于点 ，且 ，试说明：
．
【问题解决】
【答案】（1） ；（2）见解析
【分析】本题是四边形综合题，考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的
关键．
（1）利用勾股定理求得 的长，再求 即可；
（2）由勾股定理可知， ， ， ， ，进
而可证明结论；
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴在 中， ，在 中， ，
在 中， ，在 中， ，
∴；
43．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知：在 中， ， ．
如图，若点 在线段 上，连接 ，在 的右侧作 ， ．连接 ，先由边角边证明
，从而得到 ， ，∴
，进而得到线段 、 、 之间满足的数量关系是
___________．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
44．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高
的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在 中， ， ， ， ，
， ，试说明： ．
(写出上述说理过程；
【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用．
根据勾股定理得到 ，根据三角形面积公式得到 ，进而代入 计算即可；【详解】解：在 中， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
45．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在 中，E是 中点，D是 上一点，F是
上一点，若 ，且 ，求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确
作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
如图：延长 到G使 ，连接 证 ，推出 ， ，求出
，再根据勾股定理即可证明结论．
【详解】证明：如图：延长 到G使 ，连接 ， ，
∵E是 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
