文档内容
20.1 勾股定理及其应用
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.
2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.
【过程与方法】
1.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验证
的数学发现过程.
2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学
思想、分类讨论思想.
【情感态度与价值观】
通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价
值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激
发学生的民族自豪感和爱国情怀.
二、课型
1 / 16新授课
三、课时
第1课时 共3课时
四、教学重难点
【教学重点】
探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.
【教学难点】
用拼图的方法验证勾股定理.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺、方格纸、三角模型等.
学生：三角尺、铅笔、练习本、方格纸、三角模型.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
引导学生观察勾股定理相关图片，引出本节要学知识
（二）探索新知
1.出示课件4-14，探究勾股定理的认识与证明
如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边
2 / 16为边向外作正方形,所得正方形的面积分别为9，16, 25, 且9+16=25.
从边的角度看，这个直角三角形的三边满足:两条直角边长的平方和
等于斜边长的平方.
教师依次展示下列问题：
看图完成下面的题目：
（1） A中含有____个小方格，即A的面积是______个单位面积．
（2）B的面积是_______个单位面积．
（3）C的面积是________个单位面积．
3 / 16教师找三个学生回答.
学生1答：（1）A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位
面积．
学生2答：(2) B的面积是9个单位面积．
学生3答：(3) C的面积是18个单位面积．
教师问：三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？
学生回答：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系
是: S +S =S .
A B C
教师问：S +S =S 在图2中还成立吗？
A B C
学生讨论后回答：仍然成立.
教师问：你是如何得到结果的呢？
学生答：A的面积是25个单位面积．B的面积是9个单位面积．
C的面积是34个单位面积．
4 / 16教师问：你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流．
学生答：如下图所示：
教师问：至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上
的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即S +S =S .去掉网格
A B C
结论会改变吗？
学生答：不会.
教师问：式子S +S =S 能用直角三角形的三边a、b、c来表示
A B C
吗?
师生一起解答：如图所示：
5 / 16a2 + b2 = c2
教师问：去掉正方形结论会改变吗？
学生答：不会.
教师问：那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是什么呢？
学生答：a2 + b2 = c2
教师讲解：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为
c，那么a2+b2=c2.
6 / 16教师讲解：是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠
实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚.
这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一起来
探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
教师依次展示各种证明方法：
（1）赵爽拼图证明法：
以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正
方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？
试试看.
小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方
形，拼成一个新的正方形.
教师展示剪、拼过程.
7 / 16教师问：如何进行证明呢？
师生共同讨论后解答如下：
证明：∵S ＝c2，S ＝(b-a)2,
大正方形 小正方形
∴S ＝4S ＋S ，
大正方形 三角形 小正方形
1
∴c2=4× ab+（b-a）2=a2+b2
2
8 / 16(2) 毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图
示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
教师问：观看拼图过程演示后，你能证明吗？
师生共同讨论后解答如下：
证明：∵S =(a+b)2=a2+b2+2ab,
大正方形
S =4S +S
大正方形 直角三角形 小正方形
1
=4× ab+c2
2
=c2+2ab，
9 / 16∴a2+b2+2ab=c2+2ab.
∴a2+b2=c2.
（3）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
教师问：你能证明上边的问题吗？
学生讨论后回答：
10 / 161
证明：∵S = （a+b）（a+b）,
梯形
2
1 1 1
S = ab+ ab+ c2,
梯形
2 2 2
∴a2 + b2 = c2.
教师总结归纳;(出示课件15)
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么a2 +
b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
表示为：Rt ABC中，∠C=90°, 则a2 + b2 = c2.
△
教师总结点拨：（出示课件16）
公式变形
11 / 16勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方
和等于斜边的平方.
出示课件17，学生口答，教师订正.
考点1：利用勾股定理求直角三角形的边长
如图，在Rt ABC中，∠C=90°.（出示课件18）
△
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
12 / 16师生共同讨论解答如下：
解：(1)据勾股定理得 ；
c=√a2+b2=√52+52=√50=5√2
(2)据勾股定理得 .
b=√c2−a2=√22−12=√3
出示课件19，学生自主练习后口答，教师订正.
考点2：勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长
在Rt ABC中， ∠C=90°.（出示课件20）
△
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
学生独立思考后，师生共同解答.
解：(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，
解得x=√5，x=−√5（舍去）∴a=√5.
(2)∵∠A=30°，b=15，∴c=2a.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，
解得x=5√3， x=−5√3（舍去）
∴a=5√3，c=10√3.
教师总结点拨：
已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方
13 / 16程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.
出示课件21，学生自主练习后口答，教师订正.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么
样吧。
（三）课堂练习（出示课件22-27）
练习课件第22-27页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件28）
内 容
如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长
勾股定理
为c,那么a2+b2=c2.
1.在直角三角形中
2.看清哪个角是直角
注 意
3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要
分类讨论
（五）课前预习
预习下节课（20.1第2课时）的相关内容.
会用勾股定理解决实际问题.
七、课后作业
1、教材第30-32页习题20.1第1，7，8，13题.
2、培优练习20.1第1题.
14 / 16八、板书设计
勾股定理及其应用
第1课时
1.勾股定理的认识与证明
考点1 考点2
2.例题讲解
九、教学反思
成功之处：本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应
的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老
师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到
的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以
“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升
华”为主线,使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程,努力做到由
传统的数学课堂向实验课堂转变.
不足之处：在教学过程中,高估了学生证明勾股定理的能力,主要
困难在于一些学生不能对图形进行正确的割补.对图形的割补过程没
15 / 16有给学生详细的呈现.
补救措施：适当增加学生拼图的时间,通过实践操作,画图分析,独
立分析证明思路,正确完成证明过程.
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