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20.1 勾股定理及其应用
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1. 理解直角三角形的勾股定理，能用勾股定理进行计算、推理、证明.
2. 能用勾股定理解决一些如制图、测绘等简单的实际问题；
【题型1】解直角三角形——已知两边求第三边
1.（24-25八年级上·全国·课后作业）根据图片求下列直角三角形相应边的长．
（1） （2） ； ．
2．（24-25八年级下·福建南平·期中）若直角三角形两条边长分别为 和 ，则它第三边长为 ．
3. （25-26八年级上·河南平顶山·月考）在Rt 中， ， ， ， 分别是 中 ， ，
的对边．
(1)若 ， ，求 ；
(2)若 ， ，求 ；
(3)若 ， ，求 ， ．
4．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）在 中， ， ， ，求 的面积．
5.（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，
，求CD、BD的长．【题型2】勾股树——与勾股定理有关的面积问题
6.（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，
且 三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为 ．
7.（25-26八年级下·广东·月考）如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中
最大的正方形的边长为 ，则正方形A，B，C，D的面积之和为 .
8.（25-26八年级上·河南新乡·月考）如图，分别以 的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史
上被称为“希波克拉底月牙”．当 ， 时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ）
A．18 B．20 C．24 D．48
9．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形
分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为 ， ，则 的值为 ．10.（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在 中， ，以斜边 的长为直径作半圆，
当 ， 时，半圆的面积为 ．（结果保留 ）
【题型3】勾股定理的应用——作高，构造直角三角形
11.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ，垂足为D， ， ，
，求AC的长.
12．（22-23八年级下·四川达州·月考）如图， 是等边三角形， ，求高 的长和 的
面积．
13.（25-26八年级下·广东·期中）如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14，求BD
的长．14.（22-23九年级上·广东惠州·开学考试）若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 ，且高为 ，
则这个等腰三角形的腰长为 ，面积为 ．
15.（23-24八年级下·河南新乡·月考）如图，梯形ABCD中， 垂直 和 ．如果
，那么 的长为 ．
【题型4】勾股定理的应用——与折叠相关的问题
21.（25-26八年级上·贵州·月考）如图，将等腰直角三角形 （ ）沿 折叠，使点 落在
边的中点 处， ，那么线段 的长度为
A．5 B．4 C．4. 25 D．
17．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图，将长方形纸片 折叠，使边 落在对角线 上，折
痕为 ，且D点落在对角线 处，若 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
18．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，在长方形 中， ， ，将长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为 ，则 ．
19.（25-26八年级下·重庆·期中）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕
为DE，若AB=4，BC=3，则 ADC的周长是
△
20.（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在长方形 中， ，将 沿 翻折，得
到 ，其中， 与 相交于点 ，则 为
【题型5】勾股定理的应用——在数轴上寻找无理数
21.（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，数轴上点 所表示的数为 ．
22．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，长方形 的边 长为2， 长为1，点A在数轴上对
应的数是0，以点A为圆心，对角线 长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（ ）A． B． C． D．
23．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在数轴上点 所表示的数为 ，则 的值为 ．
24．（25-26八年级上·山西运城·期中）小丽同学在数轴上按照如图所示的方法画出了 ， ， ，
及点 ，则点 表示的数为 ．
25．（25-26八年级·全国·课后作业）如图，数轴上点 表示的数为 ．
【题型6】勾股定理的应用——求坐标轴上的两点距离
26.（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ．(1)在平面直角坐标系中标出点 的位置，并写出点 关于 轴对称点 的坐标______；
(2)连接 和 ，求 的周长．
27．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，已知 ， 两点的坐标分别为 、 ，以点 为圆心，
长为半径画弧，交 轴负半轴于点 ，则点 的坐标为 ．
28．（25-26八年级上·江西吉安·期中）在平面直角坐标系 中，已知点 ，若点 是 轴正半轴上
的一个动点，当 是等腰三角形时，则点 坐标是 ．
29．（25-26八年级上·四川达州·期中）在平面直角坐标系中， 的位置如图所示，已知点A的坐标是
．
(1)点B的坐标为(______，______)，点C的坐标为(_______，______)；(2) 的面积是______；
(3)作点C关于y轴的对称点 ，求A， 两点之间的距离．
30．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为 ，
， ．
(1)作出 关于 轴对称的图形 ，并写出顶点 的坐标．
(2)在 轴上找一点 ，使得 最小，并求出该最小值．
【题型7】勾股定理的应用——求生活场景中的两点距离
31.（25-26八年级上·全国·期中）如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度 ，将它往前推
至C处时（即水平距离 ），踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，则绳索
的长是（ ）
A． B． C． D．
32．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行 米．
33．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将 米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此
时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）
A． 米 B． 米 C．2米 D． 米
34．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，
然后他将绳子末端拉到距离旗杆 处，发现此时绳子末端距离地面 ，求旗杆的高度．（滑轮上方的部
分忽略不计）
35．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正
中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，
求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．【题型8】勾股定理的证明方法
36.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，以 的斜边 为直角边作等腰直角三角形 ，再作
，交 的延长线于点E．请利用面积相等证明勾股定理．
37．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数
学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．
(1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别
为 、 ，斜边为 ，请利用这个图形验证勾股定理；
(2)图①赵爽弦图中，若 ， ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图
③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果）
38．（25-26八年级上·陕西西安·期中）请你根据图形及提示证明勾股定理 图中所有直角三角形都是以c
为斜边，a，b为直角边的全等三角形
(1)毕达哥拉斯的证法 图 ：补充完整以下证明过程
证明： 正方形①的面积 ______
正方形②的面积 ______．
又 正方形①与正方形②的边长相等，
______ ______．
；
(2) 请你写出弦图 图 的另一种证法．
39．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，
斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形 的面积，可以证明勾
股定理．
(1)写出你的证明过程；
(2)当 ， 时，求空白部分的面积．
40．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图， 中， ， ，分别过点B、C作
， ，垂足分别为D、E．
(1)求证： ；(2)若 ， ， ，用两种不同方法计算四边形 的面积，并验证勾股定理．
【题型9】利用勾股定理进行几何证明
41.（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在等腰 中， ，点 是 上一点，作等
腰 ，且 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
42．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）【问题提出】
（1）如图1，在 中， 于点 ，若 ， ， ，则 ______．
【问题探究】
（2）如图2，在四边形 中，对角线 相交于点 ，且 ，试说明：
．
【问题解决】
43．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知：在 中， ， ．如图，若点 在线段 上，连接 ，在 的右侧作 ， ．连接 ，先由边角边证明
，从而得到 ， ，∴
，进而得到线段 、 、 之间满足的数量关系是
___________．
44．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高
的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在 中， ， ， ， ，
， ，试说明： ．
45．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在 中，E是 中点，D是 上一点，F是
上一点，若 ，且 ，求证： ．
