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20.1 勾股定理及其应用
知识点一 勾股数问题
1．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列各数组中，是勾股数的是（ ）
A．1，1， B．1， ，2 C．12，13，5 D．4，5，6
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股数，勾股数的定义：如果a，b，c为正整数，且满足 ，那么a、
b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平
方．
【详解】解：A、 是无理数，故1，1， 不是勾股数，该选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司B、 是无理数，故1， ，2不是勾股数，该选项不符合题意；
C、 ，故12，13，5是勾股数，该选项符合题意．
D、 ，故4，5，6不是勾股数，该选项不符合题意．
故选：C．
2．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （ ）
A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D．
【答案】D
【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念．根据勾股数，必须是正整数，且满足两
个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得．
【详解】解：A、 ，是勾股数，此选项不符合题意；
B、 ，是勾股数，此选项不符合题意；
C、 ，是勾股数，此选项符合题意；
D、 不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意．
故选：D．
3．（24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3，
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股数定义，满足 的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断
即可．
【详解】解：A、 ， ，3，5不是勾股数，不符合题意；
B、 ， ，5，6不是勾股数，不符合题意；
C、 ， ，24，25是勾股数，符合题意；
D、 ，3， 不全是正整数， ，3， 不是勾股数，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
4．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）下列四组数：① ， ，1；②5，12，13；③ ， ， ；④
， ， ．其中是勾股数的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】A
【分析】本题考查勾股数，明确勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义：满足 的三个正
整数，称为勾股数，进行判断即可．
【详解】解：① ， 不是整数，故不是勾股数；
②∵ ， ， ，
∴ ，故是勾股数；
③ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故不是勾股数；
④ ， ， 不是整数，故不是勾股数；
其中是勾股数的组为②，只有1组，
故选：A．
知识点二 已知两点坐标求两点距离
1．（24-25八年级下·广东湛江·月考）在平面直角坐标系中，点 到坐标原点O的距离为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，勾股定理，
先确定点到坐标轴的距离，再根据勾股定理直接求出答案.
【详解】解：根据题意，得点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，
∴ .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点 与点 之间的距离是
．
【答案】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中两点的距离，掌握勾股定理是解题的关键．
取点 ，连接 ， ，构造 ，然后根据点的坐标与勾股定理即可求解．
【详解】如图所示，取点 ，连接 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴在 中， ．
故答案是： ．
3．（24-25八年级下·重庆·月考）点 到坐标原点的距离是
【答案】5
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
根据点 的坐标可得点 到坐标轴的距离，构造直角三角形，由勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，作 轴于点 ，连接 ，
∵ ，原点 ，
∴ ， ，
∴点 到坐标原点的距离 ，
故答案为：5．
4．（24-25八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系 中， ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平面直角坐标系两点间的距离，根据平面直角坐标系两点间的距离公式即可求解，掌
握平面直角坐标系两点间的距离公式是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
知识点三 以直角三角形三边为边长的图形面积
1．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中
阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了勾股定理与几何图形的面积，根据勾股定理求出 ，分别求出三个半圆的面积和
的面积，用两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积即可得出答案，正确识图是解题的关
键．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·福建厦门·月考）如图，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜边向
外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，按照此
规律继续下去，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据面积的变化找出变化规律 进行计算即可．
【详解】解：正方形 的边长为2，如图，连接 、 相交于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司是等腰直角三角形，
， ，
，
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的 倍，
正方形 的边长为2，其面积标记为 ，
，
，
，
．
，
；
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为
169时，则A的面积为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】25
【分析】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出 是解决问题的关键．由勾股定理求出 即可求解．
【详解】解：如图所示：
根据题意得： ，
在 中，由勾股定理得：
，
即正方形A的面积为25；
故答案为：25．
4．（24-25八年级下·广东肇庆·月考）如图，在Rt 中， ，分别以 为边在三角
形外部作正方形，若以 和 为边的正方形面积分别为5和3，则以 为边的正方形面积 的值为
．
【答案】8
【分析】由勾股定理求得 的长度，即可求得正方形面积 ．本题考查了与勾股定理相关的图形面积问题，
掌握勾股定理是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意得 ，
∴ ，
故答案为：8．
知识点四 勾股定理与无理数
1．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）如图所示，在数轴上点 所表示的数为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出 ，再根据 即可解答．本题考查了勾股定理，数轴上两点之间的
距离公式，数轴上表示的数，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵ ， ，
设 点表示的数是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ；
2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在数轴上，点 表示的数为 ， 垂直数轴， ，
连接 ，以点 为圆心， 长为半径作弧，交数轴的正半轴于点 ，则点 表示的实数为 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题主要考查了实数，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键．先根据题意确定 ， ，
再根据勾股定理求出 ，即可得答案．
【详解】解：由题意可知 ， ，
根据勾股定理，得 ，
点 在正半轴，且
点 对应的实数为 ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，数轴上点 ，点 分别表示1和3， ，且 ，以
点 为圆心，以 为半径作弧，弧与数轴的交点为 ，则点 表示的数是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．根据已知条件
求出 和 ，再利用勾股定理求出 ，从而求出 ，然后设点 表示的数为 ，根据两点间的距
离公式列出关于 的方程，解方程求出 即可．
【详解】解：由题意可知： ，
，
，
点 ，点 分别表示1和3，
，
由勾股定理得： ，
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学科网（北京）股份有限公司，
设点 表示的数为 ，
，
，
或 （不合题意舍去），
点 表示的数为 ，
故答案为： ．
4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）利用勾股定理可以作出长为无理数的线段，如图，在 中，
， ，点 恰好落在数轴上表示 的点上，以原点 为圆心， 的长为半径画弧交数轴
于点 ，使点 落在点 的左侧，则点 所表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任
意一个点都表示一个实数．
依据勾股定理即可得到 的长，进而得出 的长，即可得到点C所表示的数．
【详解】解：由题意得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 所表示的数是 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
知识点五 用勾股定理解三角形
1．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）在 中， ， ， ，求 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条
直角边分别为a、b，斜边为c，那么 ．根据勾股定理，进行计算即可．
【详解】解：在Rt 中，由勾股定理得，
．
2．（23-24八年级下·湖南益阳·月考）在 中， ．
(1)已知 ， ，求 ；
(2)已知 ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理,二次根式的性质化简；
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理，二次根式的性质化简即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
∴ ；
（2）解：在 中， ， ， ，
∴ ．
3．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，在 中， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ， ，求 和 ；
(2)若 ， ，求 和 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查了利用勾股定理解直角三角形和直角三角形的性质，在直角三角形中两直角边的平
方和等于斜边的平方；直角三角形中， 所对的直角边等于斜边的一半．熟练掌握勾股定理和直角三角
形的性质，运用方程的思想是解题的关键．
（1）由 中， ，可得 ，设 ，则 ，利用勾股定理列方程即可求解；
（2）由 中， ，可得 为等腰直角三角形，可设 ，利用勾股定理列方
程即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ．
∴ ， ．
（2）解：在 中， ， ，
∴ ，
设 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
4．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，已知在 中， 于点 ．
(1)求 的长；
(2)求 的长．
【答案】(1)12
(2)25
【分析】本题主要应用勾股定理来求解直角三角形中的未知边长．
（1）在 中，利用勾股定理即可求解；
（2）在 中，利用勾股定理求出 ，从而可求 ．
【详解】（1）解：在 中， ，
；
（2）解：在 中， ，
．
知识点一 求梯子滑落高度
1．（23-24八年级下·甘肃定西·月考）如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为
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学科网（北京）股份有限公司9米．
(1)这个梯子顶端离地面有几米；
(2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示）
【答案】(1)12米
(2) 米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理求出 即可；
（2）根据勾股定理求出 ，进而求出 即可
【详解】（1）解：根据题意，得 米， 米， ，
∴ ，
答：梯子顶端离地面有12米；
（2）解：根据题意，得 米， 米，
∴ 米，
∴ ，
∴梯子的顶端下滑了 米．
2．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本
校的办学理念做成宣传牌 ，放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯
子（ 米）靠在宣传牌 处，底端落在地板 处，然后移动梯子使顶端落在宣传牌 的
处，而底端 向外移到了0.5米到 处（ 米）．测量得 米．求宣传牌 的高度（结果用
根号表示）．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 米
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求出 、
的长，即可解决问题．
【详解】解：由题意可得： 米， 米， 米，
在 中，由勾股定理得： （米），
∴ （米），
在 中，由勾股定理得： ，
∴ 米，
答：宣传牌（ ）的高度为 米．
3．（24-25八年级下·重庆合川·期末）如图，一架消防梯 的长为25米，斜靠在竖直的墙面 上，消防
梯底端A距墙面 的水平距离为7米．
(1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？
(2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？
【答案】(1) 米
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学科网（北京）股份有限公司(2) 米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）由题意得， 米， 米， ，据此利用勾股定理求出 的长即可得到答案；
（2）由题意得， 米， 米，据此利用勾股定理求出 的长，进而求出
的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得， 米， 米， ，
∴ 米，
答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为 米；
（2）解：由题意得， 米， 米，
∴ 米，
∴ 米，
答：底端A在水平方向滑动了 米．
4．（24-25八年级下·新疆伊犁·期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛
的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 上，这时
为 ，如果梯子的顶端 沿墙下滑 ，那么梯子底端 向外移了多少米？
【答案】0.4米
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出 的长，再根据梯子的长度不变求出 的
长，根据 即可得出结论．
【详解】解 在 中， ，
在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司．
答：梯子底端 向外移了0.4米
知识点二 求旗杆高度
1．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，在电线杆 上的点C处，向地面拉有一条 长的钢缆 ，
地面固定点D到电线杆底部的距离 于B，电线杆上的固定点C到电线杆顶端A的距离为
，求电线杆的高度 ．
【答案】电线杆的高度 为
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．
根据勾股定理求出 ，根据 计算即可．
【详解】解：在 中，由勾股定理得， ，
．
电线杆的高度 为 ．
2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·月考）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，
把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的
距离为9米．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求旗杆的高度 ；
(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好
接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？
【答案】(1)12米
(2)7米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．
（1）设旗杆 的高度为x米，则绳子 的长为 米，根据勾股定理 列方程求解即
可；
（2）先根据勾股定理求出 ，即可得解．
【详解】（1）解：设旗杆 的高度为x米，则绳子 的长为 米，
由题意知： 米， ，
在 中，
，
，
解得： ，
答：旗杆的高度12米；
（2）解：由（1）知， 米，则 米，
米，
米，
答：珍珍应从A处向东走7米．
3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，同学发现有一根系在旗杆顶端
的绳子垂到了地面，并多出 （如图1），将绳子拉紧，使绳子下端点C恰好接触到地面（如图2）．现
测得点C到旗杆 的距离为 ，求旗杆的高度 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】旗轩的高度为
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条
直角边分别为a、b，斜边为c，那么 ．设旗杆 的高度为 ，则 长为 ，根据勾股
定理得出 ，然后解方程即可．
【详解】解：设旗杆 的高度为 ，则 长为 ，
在 中， ， ，
∴ ，
解得 ．
答：旗轩的高度为 ．
4．（24-25八年级下·江西赣州·期末）学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量
旗杆 的高度，通过测量得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离 为1米，到旗杆的距离 为12米（如图2）．
根据以上信息，解答下列问题
(1)设旗杆 米，则 ______米， ______米（用含 的式子表示）
(2)求旗杆 的值．
【答案】(1) ；
(2)17米
【分析】（1）根据题意列式表达即可．
（2）设旗杆的高为x米，则绳子长为 米，利用勾股定理计算即可．
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学科网（北京）股份有限公司本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米
故绳长为 米；
根据题意，得到四边形 是矩形，得到 米，
故 米，
故答案为： ； ．
（2）解：在 中，
即
解得：
答：旗杆 的值为17米．
知识点三 求小鸟飞行距离
1．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为 ， ．其中一棵树 高12米，另
一棵树 高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离．
【答案】小鸟飞行的最短路程为10米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行
直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学
模型，运用数学知识进行求解．
【详解】解：如图，过 点作 于点 ，则四边形 是长方形，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司∵ 米， 米， 米，
∴ 米， 米， 米，
在 中， (米)，
故小鸟飞行的最短路程为10米．
2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图有两棵树，一棵高 ，一棵高 ，两树之间相距 ，一只
小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
【答案】一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线的应用，设树 ，过点C作
于E，由平行线间间距相等得到 ， ，进而求出 ，
则由勾股定理可得 ，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，设树 ，
过点C作 于E，
由题意得， ，
∴ ，
∴ （平行线间间距相等），
同理得 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米．
3．（21-22八年级下·云南保山·阶段练习）如图，有两棵树，大树AC高为10米，小树BD高为5米，两树
相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，求小鸟飞行的最短路程．
【答案】小鸟飞行的最短路程为13米．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用
勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，过B点作 于点E，则四边形EBDC是长方形，连接AB．
∵ 米， 米，
∴ 米， 米， 米，
在 中， (米)，
故小鸟飞行的最短路程为13米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求
解．
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学科网（北京）股份有限公司4．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖 飞向旗杆顶端 ，已知树高 ，旗
杆高 ，树与旗杆之间的水平距离为 ，则无人机飞行的最短距离为多少？
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作 于 ，连接 ，由题意得： ，
， ，求出 ，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角
三角形是解此题的关键．
【详解】解：如图，作 于 ，连接 ，
，
由题意得： ， ， ，
，
．
即：无人机飞行的最短距离为 ．
知识点四 求大树折断前的高度
1．（24-25八年级下·河南开封·期末）一竖直的木杆在离地面 的C处折断，木杆顶端B落在离木杆底端
的A处．求木杆折断之前高度．
【答案】木杆折断之前高度为
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理先求解 ，再进一步求解即可.
【详解】解：由已知得 ， ， ，
，
∴ ，
，
，
即木杆折断之前高度为 .
2．（23-24八年级下·吉林延边·期中）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆 ，被大风从
离地面 的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为 的快车道上？说明理
由．
【答案】会，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用和实数的大小比较，解题的关键是正确求出 的长度．先根据线段
的和差求出 的长度，再由勾股定理求出 的长度，与5进行大小比较即可．
【详解】解：根据题意， m， ，
则 ，
∴ ，
又∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴倒下的电线杆顶部 会落在与它的底部A距离5m的快车道上．
3．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶
部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？
【答案】大树折断前高16米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键．
先利用勾股定理计算出 的长，然后再计算出 即可得到大树折断前的高度．
【详解】解：∵ 米， 米，
根据勾股定理可得 （米），
∴ （米）．
答：大树折断前高16米．
4．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折
断，树尖B恰好碰到地面，经测量 米，求这棵树的高度．（结果保留根号）
【答案】大树的高度为 米
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理可得到 ，再由
即为树高，进而得到答案.
【详解】解：由题可得： ， ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，由勾股定理得： ，
∴ 米.
答：大树的高度为 米.
知识点五 水杯中筷子问题
1．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为 ，杯高
，点 ，点 在内部底面圆上，线段 经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点 处，
并让吸管经过点 （按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出 长的吸管，问至少需要制作
多长的吸管？
【答案】至少需要制作 长的吸管
【分析】此题主要考查的是勾股定理的应用．在吸管(杯内部分)、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，
由勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长．
【详解】解：由题意可知 是直角三角形， ， ，线段 为内部底面圆直径，
内部底面圆半径为 ，
，
在 中，
，
解得： 或 （舍去，不符合题意）
答：至少需要制作 长的吸管．
2．（23-24八年级下·广东汕尾·月考）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇
生长在它的正中央，高出水面部分 的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么
芦苇的顶部B恰好碰到岸边的 ，则这根芦苇 的长是多少尺？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】这根芦苇 的长是17尺．
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
如图所示，设芦苇长 尺，则水深 尺，根据题意得到 尺，根据勾股定理建
立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】解：如图所示，
设芦苇长 尺，则水深 尺，
因为 尺，所以 尺
在 中， ，
解得： ，
∴ 尺．
∴芦苇长17尺．
3．（23-24八年级下·陕西延安·期中）如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为 ，若将长为 的筷子沿
底面放入杯中，茶杯的高度为 ，则筷子露在茶杯口外的部分 的最短长度是多少？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】筷子露在茶杯口外的部分 的最短长度是
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，根据筷子露在杯子口外的最短长度以及筷子
的长度，求出筷子插入茶杯的最大长度，根据勾股定理求出 的长度是解答此题的关键．
【详解】解：由题意，得 ， ， ，
由勾股定理，得 ，
∴ ，
∴筷子露在茶杯口外的部分 的最短长度是 ．
4．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，一根长 的牙刷放置于底面直径是 ，高为 的圆柱
体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为 ，求 的范围．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据当牙刷垂直于底
面放置时， 最大，当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时 最小，即可得出答案．
【详解】解：当牙刷垂直于底面放置时， 最大，此时
当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时 最小，如图，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，根据勾股定理得
的范围是： ．
知识点六 航海问题
1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，海中有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由
西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东 方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东
方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（ 取 ）
【答案】如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，构建直角三角形是解题的
关键．过点A作 ，垂足为D，则 的长是点A到 的最短距离，根据题意可求得
，从而得到 海里，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得到
海里，最后利用勾股定理求得 ，即可判断．
【详解】解：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，
理由如下：过点A作 ，垂足为D，则 的长是点A到 的最短距离，
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学科网（北京）股份有限公司由题意可知 ， ， 海里，
，
，
，
海里，
， ，
海里，
在 中，由勾股定理得
，
渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
2．（24-25八年级下·四川南充·月考）一艘轮船从A港向南偏西 方向航行 到达B岛，再从B岛沿
方向航行 到达C岛，A港到航线 的最短距离是 ．求C岛和A港之间的距离．
【答案】
【分析】根据题意，利用勾股定理求出 的长度，再求出 的长度，再用勾股定理求出 的长度即可．
本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是求出 ， 的长度．
【详解】解：由题意，得： ， ，
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学科网（北京）股份有限公司中， ，
由 ，
∴ ，
中， ，
答：C岛和A港之间的距离 ．
3．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，货轮 在航行过程中，发现灯塔 在它的南偏西 方向，且与
货轮 相距 ．同时，在它的南偏东 方向又发现客轮 ，且与货轮 相距 ，求此时灯塔
与客轮 的距离．（ ：海里）
【答案】此时灯塔 与客轮 的距离为 ．
【分析】本题考查了勾股定理的应用．先求出 ，再由勾股定理即可得出结果．
【详解】解：由题意，得 ．
在 中，
答：此时灯塔 与客轮 的距离为 ．
4．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔
P在北偏东 方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔在北偏东 方向上．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数；
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问轮船继续向正东方向航行是否安全？
【答案】(1)
(2)轮船继续向正东方向航行是安全的
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等角对等边，30度角的性质，勾股定理的应用．
（1）作 于H，可知 ，根据平行线的性质得到 ，
，即可求出 的度数；
（2）根据等角对等边得到 海里，根据30度角的性质结合勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：作 于H，
则 ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵一艘轮船以50海里/小时速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东 方向上，继续航行
1小时到达B处，
∴ 海里，
∵ ，
∴ 海里，
∵ ， ，
∴ 海里，
∴ ，
∴轮船继续向正东方向航行是安全的．
知识点七 求台阶上地毯长度
1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼
梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示， ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的长；
(2)若已知楼梯宽 ，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的
过程中没有损耗）
【答案】(1) 的长为
(2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）由勾股定理列式计算即可；
（2）由长方形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
答： 的长为 ；
（2）解：地毯长为： ，
已知楼梯宽 ，每平方米地毯35元，
∴地毯的面积为 ，
∴需要花费 （元），
答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶．
2．（23-24八年级上·山东枣庄·月考）某会展中心在会展期间准备将高 、长 、宽 的楼道铺上地
毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？
【答案】1020
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即 与 的和，在直角 中，根据勾股定理
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学科网（北京）股份有限公司即可求得 的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【详解】解：由勾股定理得 ，
则地毯总长为 ，
则地毯的总面积为 （平方米），
所以铺完这个楼道至少需要 （元）．
故答案为：1020．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
3．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B
是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点
B的最短路程长是多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关
键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为 ，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到 点最短路程是此长方形的对角线长，
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学科网（北京）股份有限公司由勾股定理得 ，
则蚂蚁沿着台阶面爬到 点最短路程是13．
4．（21-22八年级下·广西百色·期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于
7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最
短路线有多长？
【答案】25cm
【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．
【详解】解：如图，将台阶展开，
由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．
所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，
即AB＝25（cm），
答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm．
【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道
是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键．
知识点八 判断汽车是否超速
1．（24-25八年级下·福建厦门·月考）滨海西大道的限速为 （已知 ）．如图，一辆
小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 的C处（即
），过了 后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离 为 ，问：这辆小汽车超
速了吗？
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学科网（北京）股份有限公司【答案】没有超速，理由见详解
【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
利用勾股定理求出 然后求出速度进行比较即可．
【详解】解：根据题意得，由勾股定理得 ，
∴小车的速度为 ，
∵ ，
∴这辆小汽车没有超速．
2．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速 ，小明尝试用自
己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点 到该路段 的距离（ 的长）为
40米，测得一辆汽车从 处匀速行驶到 处用时3秒， ．试通过计算判断此车是
否超速？（ ）
【答案】未超速，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，
熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
先求出 ， ，则 ，可求出 ，
继而求出 ．可得此车的速度为 ，即可解答．
【详解】解：在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 是等腰直角三角形，
，
在 中， ，
，
，
，
．
此车的速度为 ．
， ，
此车未超速．
3．（24-25八年级下·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区
规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过 ．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电
瓶车刚好行驶到路边测速仪 处的正前方 的 处，过了 后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离
为 ．这辆观光电瓶车超速了吗？
【答案】这辆观光电瓶车超速了
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得 ，进而可得观光电瓶车的速
度为 ，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在 中， ， ，
根据勾股定理得， ，
∴观光电瓶车的速度为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
这辆观光电瓶车超速了．
4．（23-24八年级下·河北廊坊·月考）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段
上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路 旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车
从点A到达点B行驶了5秒，已知 ， 米， 米．
(1)请求出观测点C到公路 的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： ， ）
【答案】(1)观测点C到公路 的距离为 米
(2)此车没有超速，理由见解析
【分析】此题主要考查了 度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解
决问题的关键．
（1）过点C作 于H，先求出 的长，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出 的长，再求出 的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点C作 于H，
在 中，
，
．
米
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学科网（北京）股份有限公司（米）
（米）
即观测点C到公路 的距离为 （米）．
（2）解： 米，
米
米
∴车速为 （米/秒）
千米/小时 米/秒，
∴此车没有超速．
知识点九 判断是否受台风（噪音）影响
1．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，某气象站测得台风中心在 城正西方向 的 处，以每
小时 的速度向北偏东 的 方向移动，距台风中心 的范围是受台风干扰的区域，问 城
是否受到此次台风的干扰？为什么？若要受到台风干扰，求出 城受台风干扰的时间．
【答案】A城会受到此次台风的干扰，干扰的时间为 小时，理由见解析
【分析】本题考查了含 度角的直角三角形以及勾股定理，作 ，则得出 ，根据
，可得出 的长，则 城会受到此次台风的干扰；以 为圆心， 为半径作弧交 于
、 两点，连接 ，在 中有 的长，可得出 ，从而得出 城受台风干扰的时
间，是基础知识要熟练掌握．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：作 于点 ，则 ．
， ，
，
城会受到此次台风的干扰，以 为圆心， 为半径作弧交 于 、 两点，连接 ．
，
，
在 中，有 ，
，
城受台风干扰的时间为： （小时）．
2．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，公路 和公路 在点P处交汇，且 ． 点A处
有一栋居民楼， ． 假设一拖拉机在公路 上沿 方向行驶，周围 以内（包括 ）
会受到噪声的影响．
(1)该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由．
(2)若受影响，已知拖拉机的速度为 ，则居民楼受到影响的时间有多长？
【答案】(1)该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30度角的直角三角
形的性质，是解题的关键：
（1）作 ，根据含30度角的直角三角形的性质，求出 的长，进行判断即可；
（2）以 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，三线合一结合勾股定理求出 的长，再除以速
度，求出时间即可．
【详解】（1）解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下：
作 ，则： ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴该居民楼会受到噪声的影响；
（2）以 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，则： ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
答：居民楼受到影响的时间有 ．
3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公
路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路 上，沿东西方向由 向 行驶．小丽的家在公
路的一侧点 处，且点 与直线 上的两点 的距离分别为 ，又 ，
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学科网（北京）股份有限公司假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．
(1)求 的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路 上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点 时，小丽在家刚好
听到广播，当移动广播车行驶到点 时，小网在家刚好不再听到广播，即 米，问小丽在家
听到广播宣传的时长是多长？
【答案】(1)
(2)小丽在家能听到广播，计算见解析
(3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用；
（1）利用勾股定理的逆定理判断 的形状；
（2）过点 作 ，根据等积法求出 的长，然后和250米作比较解答即可；
（3）作 ，根据勾股定理求出 长，再根据时间 路程 时间解答即可．
【详解】（1）解： ，
又 ，
，
是直角三角形，即 ．
（2）解：过点 作 ，垂足为D，
直角三角形，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
小丽在家能听到广播；
（3）解：依题意， ，
根据勾股定理， ，
移动广播车的速度为10米／秒，
秒
答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒．
4．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某沿海开放城市 接到台风警报，在该市正南方向 的
处有一台风中心，沿 方向以 的速度向 移动，已知城市 到 的距离 ．
(1)台风中心经过多长时间从 点移到 点？
(2)如果在距台风中心 的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在 点休闲的游客在接到台风警
报后的几小时内撤离才可脱离危险？
【答案】(1)
(2)游人在 小时内撤离才可脱离危险
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条
直角边分别为a、b，斜边为c，那么 ．
（1）首先根据勾股定理计算 的长，再根据时间 路程 速度进行计算即可；
（2）根据在 范围内都要受到影响，先求出从点 到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间
路程 速度计算，然后求出时间段即可．
【详解】（1）解： ， ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中，根据勾股定理得：
，
，
则台风中心经过 从 移动到 点；
（2）解：如图，
距台风中心 的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
人们要在台风中心到达 点之前撤离，
，
游人在 内撤离才可脱离危险．
知识点十 以弦图为背景的计算
1．（24-25八年级下·甘肃甘南·期中）如图，用四个全等的直角三角形可以拼成一个大正方形，这个图形
称为弦图．设直角三角形的短直角边为 ，较长直角边为 ，斜边为 ，利用此图形说明： ．
【答案】见详解
【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，先分别表示出大正方形的面积为 ，一个直角三角形的面
积等于 ，小正方形的面积为 ，再根据它们之间的面积关系进行列式化简，即可作答．
【详解】解：依题意，大正方形的边长为
故大正方形的面积为 ，
∵设直角三角形的短直角边为 ，较长直角边为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴一个直角三角形的面积等于 ，
则小正方形的边长为 ，
∴小正方形的面积为 ，
∵大正方形的面积等于小正方形的面积加上 个直角三角形的面积，
即
2．（24-25八年级下·吉林松原·月考）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》
时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定
理．
【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展：
(1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____；
(2)如图②，将长方形 的四边 、 、 、 分别延长至 、 、 、 ，使得
， ，连接 、 、 、 ．
①求证： ；
②若 ， ，则图中阴影部分图形的面积为_____．
【答案】(1)6
(2)①证明见解析；②37
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这
些性质解决问题是解题的关键．
（1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得 ，可求 ，即
可求解；
（2）①由 可证 ，可得 ；
②由面积的和差关系可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，
∴ ，
∴ ，
∴每个朱实的面积 ，
故答案为：6；
（2）①证明：∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②解：∵ ，
∴ ，
∴阴影部分图形的面积 ，
故答案为：37．
3．（24-25八年级下·河南周口·期中）补充填空：完成证明
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学科网（北京）股份有限公司(1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．
把边长为 、 的两个正方形连在一起，其面积是 ．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一
个正方形如图2，把 和 ．分别旋转到 和 得到图3位置，就会形成一个以 为边
长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________．
(2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形 的面积并完成上述推理，请你完成推理过程．
【答案】(1) ，
(2)见详解
【分析】本题考查了旋转性质，勾股定理以及完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解上下文，旋转不会改变面积大小，因此以 为边长的大正方形的面积等于把边长为 、 的两个
正方形连在一起的面积是 ，即可作答．
（2）根据正方形 的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积以及正方形 的
面积等于边长乘边长，列式化简，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，把 和 ．分别旋转到 和 得到图3位置，就会形成一
个以 为边长的大正方形如图4，其面积为 ．
由于它们的面积相等，即 ．
故答案为： ， ；
（2）解：观察图4：正方形 的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积
，
或正方形 的面积等于边长乘边长 ，
即 ．
4．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
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学科网（北京）股份有限公司勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，
大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法．
赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别
表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形 和四边形 是正方形．
达·芬奇用如图2所示的方法证
明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为 ；剪开翻转后的空
白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为 ．
任务：
(1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整．
证明：由图1，知 ，正方形 的边长为 ．
， ， ，
，即 ．
(2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理
是解答本题的关键．
（1）依题分析，直角三角形两个直角边长分别 ， ，正方形 的边长为 ，根据直角三角形和
正方形的面积公式，得到三角形面积为 ，正方形 的面积为 ；
（2）剪开前，直角三角形的两直角边长分别为 ， ，两个正方形边长分别为 ， ；剪开后正方形的边
长为 ，直角三角形的两直角边长分别为 ， ，根据直角三角形和正方形的面积公式，列出剪开前后的面
积公式，两个面积相等，得到验证．
【详解】（1）解：由图知，
直角三角形的两个边长为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司正方形 的边长为 ，
， ，
故答案为 ， ，
（2）根据题意，得 ，
，
，
，即
1．（24-25八年级下·江西上饶·月考）【综合与实践】
【问题情景】
（1）如图1，点 为线段 上一动点．分别过点 ， 作 ，连接 ， ．已知
．设 ，用含 的代数式表示 的长；
【数学思考】
（2）如图.2．在某河道 一侧有 ， 两家工厂，它们到河道的距离 ， 分别是 ． ，两工
厂之间的距离 是 ．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点 ，且使得抽水点 到
两家工厂的距离之和最短．求 的最小值；
【深入探究】
（3）请结合上述思路，求代数式 的最小值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ；（3）15
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，列代数式，勾股定理，能够构造出符合代数式的几何图形是解题
的关键．
（1）根据图1，利用勾股定理即可用含x的代数式表示 的长；
（2）作点 关于河道 的对称点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于
点 ，连接 ，则易得四边形 ，四边形 和四边形 都是长方形，且
， ，可得 的最小值为 的长，再求解即可；
（3）构造类似图1的图形，结合（2）的思路，即可求出答案．
【详解】解：（1） ，
，
，
，
在 中， ，
由勾股定理，得 ，
在 中，
由勾股定理，得
；
（2）如图1，作点 关于河道 的对称点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，过点 作
于点 ，连接 ，则易得四边形 ，四边形 和四边形 都是长方形，且
，
，
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学科网（北京）股份有限公司的最小值为 的长．
，
，
， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
．
在 中，由勾股定理，得 ，
的最小值为 ．
（3）构造图形如图2所示，其中点 为线段 上一点，分别过点 作 ，连接
，
其中
．
连接 ．
，
代数式 的最小值为 的长，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
易知 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
在 中，由勾股定理，得 ，
代数式 的最小值为15．
2．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）我们把一组共用顶点，且顶角相等的两个等腰三角形称为头顶头对
三角．
【探索一】如图1，布丁在作业中遇到这样一道思考题：在四边形 中， ， ，
连接AC、BD，若 ， ，求BD的长．
（1）布丁思考后，如图2，以 为边向外作等腰直角 ，并连接 ，他认为： ．你
同意他的观点吗？请说明理由．
（2）请你帮布丁求出 的长．
【探索二】如图3，在四边形 中， ， ， ， ，
，若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ；[探索二]
【分析】（1）根据 可证明 ；
（2）由全等三角形的性质得出 ，由勾股定理可求出答案；
[探索二]作 ，且使 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，
，求出 ，过点 作 于点 ，则 ，得出 ，
由勾股定理可得出答案．
【详解】解∶探索—（1）同意．
理由∶∵以 为边向外作等腰直角三角形 ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2） ∵ ，
∴ ，
∵以 为边向外作等腰直角三角形 ，
即 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
探索二 作 ，且使 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于点 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定
和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都
为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ），大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为
，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 ，斜边长为 ，则
．
【结论探究】
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
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学科网（北京）股份有限公司【结论应用】
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，由于某种
原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 在同一条
直线上），并新修一条路 ，且 ．测得 千米， 千米，求新路 比原路
少多少千米？
【问题拓展】
（3） 中， ，垂足为 ，请求出 的值．
【答案】（1）见解析；（2） 千米；（3）8
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．
（1）利用梯形 的面积的两种表示方法即可证明；
（2）设 千米，在 中，根据勾股定理 得到 ，解
得 ，即 千米，即可得到答案；
（3）在 中， ，在 中， ，则 ，
则 ，解得： ，利用勾股定理即可得出 ．
【详解】（1）解：梯形 的面积为 ，
也可以表示为 ，
，即 ；
（2）设 千米，
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学科网（北京）股份有限公司千米，
在 中，根据勾股定理得： ，
，
解得 ，即 千米，
(千米)，
答：新路 比原路 少 千米；
（3）解：如图，
设 ，
，
， ， ， ，
根据勾股定理：
在 中， ，
在 中， ，
，
即 ，
解得： ，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司4．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，
和 是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①，若 点处有一只蚂蚁要到 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到 点
的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15
的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】
（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是 ，高是 ，若蚂蚁从点 出发沿着玻
璃杯的侧面到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．
【拓展应用】
（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 ，且与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬
行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
【答案】（1）25；（2） ；（3）
【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想
解决问题．
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；
（3）从玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利
用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意得 ，
故答案为： ；
（2）将圆柱体展开，由题意得
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故答案为： ；
（3）如图，
从玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 交 延长线于点 ，连接 交 于点 ，
， ,
，
，
，
蚂蚁从外壁 处到内壁 处所爬行的最短路程是 ．
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