八上数学第十四章全等三角形测试·提升卷（解析版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2026版

2025-2026 学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章 全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．根据下列条件，能画出唯一 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，三角形三边关系，根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、根据 ，能够画出唯一确定的 ，符合题意； B、 ，不能构成三角形，不符合题意； C、 不能得到唯一三角形，不符合题意； D、 不能得到唯一三角形，不符合题意； 故选A． 2．如图， ，且 ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到 ， ，可知 ，则 ， 根据对顶角相等得到 ，进而得到 ，即可求出 的度数． 【详解】解：∵ ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 故选：C 3．如图，若 ，则下列结论中不成立的是（ ） A． B． C． 平分 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的对应边相等，对应角 相等解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 所以 不是 的平分线； ∵ ， ∴ ， ∴ ． 则A，B，D正确，C不正确． 故选：C．4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃， 那么最省事的办法是带（ ）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角及其夹边，就可以确定一个三角形， 本题考查了全等三角形的判定方法： ， 要求学生要对常用的几种方法熟练掌 握 【详解】解：第③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的； 第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的； 第①块不仅保留了原三角形的两个角还保留了一边，则可根据 来配一块与原来一样的玻璃. 故选A． 5．如图，在 中， ， 的角平分线交 于点 ， 于点 ．若 ， ，则 的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握角平分线上的点到 角的两边的距离相等．由角平分线的性质得 ，证明 得 ，进而可 求出 的周长．【详解】解：∵ 平分 ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的周长为 ， 故选：B． 6．如图，在 的正方形网格中，线段 ， 的端点均在格点上，则 和 的数量关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据 ，可以知道 ，再用邻补角定义求解即可． 【详解】如图 在 和 中 ，∴ ， ∴ ， ∵ ， ∵ ， 故选：A． 7．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意可得点 到 三边的距离相等，设点 到 的距离 为 ，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解： 的角平分线相交于点 ， 点 到 三边的距离相等， 设点 到 的距离为 ， ∵ 故选：D． 8．如图是一个可调节平板支架，其结构示意图如下，已知平板宽度 为 ，支架脚 的长度为 ，当 时，可测得 ，保持此时 的形状不变，当 平分 时，点B 到 的距离是（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求三角形的高，过点B作 于D， 于 E，可证明 得到 ，再由等面积法得到 ，则 ． 【详解】解：如图所示，过点B作 于D， 于E， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点B到 的距离是 ， 故选：D． 9．如图，在 中， ，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线 交边 于点D， 点E在边 上，连接 ，则下列结论错误的是（ ） A．根据尺规作图可用 判定 ，得 B． C． D． 的最小值是 的长 【答案】A 【分析】根据角的平分线的基本作图，圆的性质，垂线段最短，角的平分线性质定理判断解答即可． 本题考查了角的平分线基本作图，三角形全等的判定和性质，圆的性质，垂线段最短，角的平分线性质定 理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A. 根据尺规作图可用 判定 ，得 ， 错误，符合题意； B. ，同圆的半径相等，正确，不符合题意； C. ，根据 得 ，正确，不符合题意； D. 的最小值是 ，根据角的平分线性质定理，得点D到 的距离等于 ， 根据垂线段最短，得 的最小值是 的长，正确，不符合题意； 故选：A． 10．如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点 ， 、 交于点 ．① ；②若 ，则 ；③ ；④ ⑤ ．则上列说法一定正确的是（ ）A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】设 ， ，由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得 ，再由三 角形内角和定理计算即可判断①；证明 ，得出 即可判断②；由 平分 ，但 与 不一定相等即可判断③；在 边上截取 ，连接 ，证明 ， ，即可判断④；作 于 ， 于 ，由④可 得， ， 推出 ，证明 ，得出 ，再由三角形面积公式即可判断⑤，从而得出答案． 【详解】解：①设 ， ， ∵在 中， ， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ，故①正确； ②∵ ， 平分 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故②正确； ③∵ 平分 ，但 与 不一定相等， ∴ 与 不一定相等，故③错误； ④如图，在 边上截取 ，连接 ，， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故④正确； ⑤如图，作 于 ， 于 ， ， 由④可得， ， ， ∴ ，∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，点 是线段 上任一点，已知 ，要使得 ，可以添加的一个条 件是 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定. 由全等三角形的判定方法（ 、 、 、 、 ），添加条件即可． 【详解】解：要使得 ，可以添加的一个条件是 （答案不唯一），理由如下： 在 和 中， ， ∴ （ ）， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ （ ）， 故答案为： （答案不唯一）．12．如图，已知点 在 上，点 在 上， ，且 ，若 ， ，则 ． 【答案】 /20度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据三角形的外 角性质求出 ，根据三角形内角和定理求出 ，再根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵ 是 的外角， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 故答案为： ． 13．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若 ， 米，水平距离 米，则点C与点B的高度差 为 米． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作 于F， 于G，根据 可证 ，根据全等三角形的性质可得 米， 根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差 ． 【详解】解：作 于F， 于G，∵ ， ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ （ ）， ∴ 米， 则 （米）． 故答案为： ． 14．如图，D是 内一点，且 平分 ，连接 ，若 的面积为9，那么 的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积． 延长 交 于点 ，证明 ，得到 ， 和 是等底等高的三角形， 进而得到 ，即可求解． 【详解】解：延长 交 于点 ，平分 ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 和 是等底等高的三角形， ， ， 故答案为： ． 15．如图，点 为 的平分线上的一个定点，且 与 互补．若 在绕点 旋转的过 程中，其两条边分别与 ， 相交于 ， 两点．则以下结论： ① 的值不变； ② ； ③ 的长度不变； ④四边形 的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作 于 ， 于 ，如图所 示，根据题中条件，只要证明 ， ，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判 断即可得到答案． 【详解】解：作 于 ， 于 ，如图所示： ， ， ， ， ， 平分 ， 于 ， 于 ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ， 在 和 中， ， ，， ， ， 为定值，故①正确， ∵ ，设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故②正确； ∵ ， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中， 是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④． 故答案为：①②④． 16．如图，在 中， ，在 中 ．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边 运动，回到点C停止，速度为 ．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开 始沿着边 运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好 和 全等， 设点Q的运动速度为 ，则 的值为 ．【答案】 或 或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点 和点 的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根 据题意画出示意图，对点 和点 的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：假设运动的时间为 ， 当 时，即点 在 上，如图， 若 ， 则 ， ， ； 若 ， 则 ， ， ； 当 时，即点 在 上， 若 ，则 ， ， ； 若 ， 则 ， ， 所以 ， 当 时，即点 在 上， 此时 ， ∴所以不存在 和 全等， 综上所述，点 的运动速度为： 或 或 ， 故答案为： 或 或 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分； 共9小题，共72分） 17．已知 中， 是 的角平分线， 于E．(1)求 的度数； (2)若 ，求 ． 【答案】(1)60度 (2)18 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质的应用； （1）先求解 ，结合角平分线可得 ，再进一步求解即可； （2）过点 作 于点 ．结合 是 的角平分线， ，可得 ，再进一 步求解即可. 【详解】（1）解： ， ∴ ， 是 的角平分线， ， ， ， ； （2）解：如图，过点 作 于点 ． 是 的角平分线， ， ， 又 ，. 18．如图，在 中， 于点D，点E在 边上，连接 交 于点F， ． (1)若 ， ，求 的面积； (2)试判断 与 之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96 (2) ，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性 质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出 ，求出 ，根据三角形面积公式求出结果 即可； （2）根据垂线定义得出 ，根据 ，得出 ，求出 即可得出答案． 【详解】（1）解：： ， ． 又 ， ． 又 ， ． ； （2）解： ． 理由： ， ， ， ， ，． ． ． 19．已知， 于点 ， 于点 ， 交点 ， ， ．求证： (1)点 在 的平分线上； (2) ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）连接 ，证明 ，根据性质可得 ，然后通过角平分线的判定方法即可求 证； （ ）由（ ）可知 ，得 ，又 ，然后通过线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：如图，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，又∵ ， ， ∴点 在 的平分线上； （2）证明：由（ ）可知 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 20．如图，小刚站在河边的点 处，在河对面（小刚的正北方向）的点 处有一电线塔．他想知道电线塔 离他有多远，于是他向正西方向走了 步到达一棵树 处，接着再向前走了 步到达 处．然后他左转 直行，从点 处开始计步，当小刚到电线塔、树与自己现处的位置 在一条直线时，他恰好走了 步， 并且小刚一步大约 米．由此小刚估计出了在点 处时他与电视塔的距离，请问他的做法是否合理？若 合理，请求出在点 处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． (1)判断小刚的做法是否合理．_______（填“合理”或“不合理”） (2)若合理，请求出在点 处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 【答案】(1)合理 (2) 米 【分析】（ ）证明 ，得到 ，即可求解； （ ）求出 ，再根据全等三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：小刚的做法合理，理由如下： 由题意可得 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，∴小刚的做法合理， 故答案为：合理； （2）解：由题意得， 米， ∴ 米， 即点 处时他与电线塔的距离为 米． 21．如图，在 中， ， ， ， .点 从点 出发沿折线 以每秒 1个单位长度的速度向终点 运动；在点 出发的同时，点 从点 出发沿折线 以每秒3个单位长 度的速度向终点 运动.直线 经过点 ，且 、 两点在直线 的上方，分别过 、 两点作 于点 ， 于点 .设点 的运动时间为 秒. (1)用含 的代数式表示 的长； (2)当 、 两点相遇时，求 的值； (3)当 与 全等时，求 的值； (4)当 、 两点的连线将 的周长分成 两部分时，直接写出 的值. 【答案】(1)当点 在 上时， ；当点 在 上时， (2) (3) 或 或 (4) 的值为 或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，全等三角形的判定与性质，正确理解题意，运 用分类讨论思想求解是解题的关键．（1）分两种情况讨论，列代数式即可； （2）相遇时，则走的路程和为 ，据此列方程求解； （3）分三种情况讨论，当点 在 上，点 在 上时，可证明 ，则 时， ；当点 在 上，点 在 上时，当点 ， 重合时， ，则 ；当 点 在 上时，点 到终点与点A重合， ，分别列出关于 的一元一次方程求解； （4）由于当 、 两点的连线将 的周长分成 两部分时，即其中一部分周长是另一部分周长的 或 ，点 运动到点 用时 ，点 运动到点 用时 ，当点 分别在 上时， 则 ，或 ；当点 重合，点 在 上时，则 或 ，再得到关于t的一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，当点 在 上时， ；当点 在 上时， ； （2）解：由题意，得 ， 解得 ． ∴当 ， 两点相遇时， 的值为 ； （3）解：当 点运动到点 时， ；当 点运动到点 时， ． 当点 在 上，点 在 上时，如图： ∵ ， ∴ ． ∵ ， ，∴ ． ∴ ． ∴ ． 当 时， ． ∴ ， 解得 ． 当点 在 上，点 在 上时，当点 ， 重合时， ． ∴ ． 即 ， 解得 ． 当点 在 上时，点 到终点与点A重合， ． ∴ ． 即 ， 解得 ． 综上，当 与 全等时， 的值为 或 或 ； （4）解：∵当 、 两点的连线将 的周长分成 两部分时，∴其中一部分周长是另一部分周长的 或 ， 点 运动到点 用时 ，点 运动到点 用时 ， 当点 分别在 上时，如图： 则 ，或 ∴ ，或 解得： （舍），或 ； 当点 重合，点 在 上时，如图： 则 或 ∴ 或 解得： （舍）或 ， 综上：当 、 两点的连线将 的周长分成 两部分时， 的值为 或 ． 22．已知 中， ，D、A、E三点都在直线l上，且 ，其中 ．(1)模型：当 时，如图1，猜想 、 、 之间的数量关系为________； (2)拓展：当 时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)应用：当 时，如图3，若 ，延长 ，交直线l于点F， ， ， ，求 ． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，不同底等高的两个三角形的面积之比 等于底的比，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得 可得出 ，证 可得 ，可得 ； （2）同（1）证 可得 ，可得出结论； （3）由 ，得到 ，得出 ，由 证 得 ，得出 ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出 即 可得出结果． 【详解】（1）解： 的数量关系为： ，理由如下： ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中，， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故答案为： ； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 设 的底边 上的高为h，则 的底边 上的高为h，∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 23．【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图， 为 的角平分线， ，垂足为点A， ，垂足为点B． 结论： ， ． 常见模型2 条件：如图，在 中， ， 为 的角平分线，过点 ，垂足为点E． 结论： ，且 （当 是等腰直角三角形时，有 ）． 常见模型3 条件：如图， 是 的角平分线， ． 结论： ．根据模型3的条件，请证明上述结论 ． 【模型运用】 如图， ， 分别为 和 的平分线， ，则 ， ， 的数量关系是 ． 【解决问题】 如图， 是一个四边形人工湖， ， 米， 米，甲、乙两人同时从点C出发， 甲沿 方向以2米/秒的速度前进，乙沿 方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F 处，此时测得 ， ，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用： ；解决问题：50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用， 添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作 于 ， 于 ，则 ， ，证明 ，即可得证； 模型运用：在 上截取点 ，使得 ，连接 ，由角平分线的定义可得 ，证明 ，得出 ， ，再证明 ，得出 ，即可 得证； 解决问题：由题意可得 米， 米，延长 至点 ，使得 ，连接 ，证明 ，得出 米， ， ，再证明 ， 即可得解． 【详解】模型证明：证明：如图，作 于 ， 于 ，则 ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 模型运用：如图，在 上截取点 ，使得 ，连接 ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，∵ ， ∴ ； 故答案为： ； 解决问题：由题意可得： 米， 米， 米， 米， ∴ 米， 米， 如图，延长 至点 ，使得 ，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 米， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 米， 即此时甲、乙两人的距离为 米． 故答案为：50． 24．【数学理解】 （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1， 中， ， ， ，P为 上一点，当 ______时， 与 是偏等积三角形； 【数学应用】（2）如图2， 与 是偏等积三角形， ， ，且线段 的长度为正整数，求 的 长度； 【联系拓广】 （3）如图3，四边形 是一片绿色花园， ， ， ． 与 是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）3；（2）3；（3） 与 是偏等积三角形，理由见解析 【分析】（1）连接 ，由 与 在 、 边上的高相等，可知当点P为 中点时， 与 的面积相等，且 与 不全等，即可求解； （2）过C作 交 的延长线于E，根据 与 是偏等积三角形，且 与 在 、 边上的高相等，则有 ，再证明 ，得 ，再根据三 角形的三边关系可知 ，进而可求解； （3）先证明 ，再由 ， ，说明 与 不全等，作 于点 F， 交 的延长线于点G，可证明 得 ，即可证明 与 面积相 等，即可解答． 【详解】解：（1）如图1，连接 ， 与 在 、 边上的高相等， 当 时， 与 的面积相等， ， ， ，与 不全等， 与 是偏等积三角形； 故答案为：3； （2）如图2，过C作 交 的延长线于E， 与 是偏等积三角形，且 与 在 、 边上的高 相等， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， 线段 的长度为正整数， ； （3） 与 是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ，， ， ， ， ， 与 不全等， 作 于点F， 交 的延长线于点G，则 ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 与 面积相等， 与 是偏等积三角形． 【点睛】本题是四边形的综合题，此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、 全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 25．（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2 所示的“一线三等角”型． 已知， ， ，请在图1和图2中选择一个模型证明 ． （2）【内化迁移】 在 中， ， ，点D为射线 上一动点（点D不与点B重合），连接 ，以为直角边，在 的右侧作三角形 ，使 ， ． ①如图3，当点D在线段 上时，过点E作 于F，求 的长度； ②如图4，连接 ，交直线 于点M，点D在运动过程中，若 ，请直接写出 的长． 【答案】（1）见解析；（2）① ；② 或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题 的关键． （1）由 ，得 ，利用 即可证明 ； （2）①证明 ，则 ； ②过点E作 交 的延长线于点F，由①得 ，有 ；由面积关 系得 ，设 ；分两种情况：当点M在线段 上时；当点M在线段 反向延长线 上时；证明 ，则 ，从而利用 建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：选择图1： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ；选择图2：∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ， （2）①∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ； ②过点E作 交 的延长线于点F，如图； 由①得 ， ∴ ； ∴ ， ∴ ， ∴ ； 设 ； 当点M在线段 上时，如图， ∵ ， ∴ ； ∵ ， ， ∴ ， ∴ ；∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， 解得： ， ∴ ； 当点M在线段 反向延长线上时，如图， 同理得： ， ∴ ； ∴ ， ， ； ∵ ， ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 当点D在线段 上的情况不存在．综上， 或18．