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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
1.理解勾股定理与其逆定理的区别和联系.
2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意
识.
重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
难点：割补思想、转化思想和数形结合思想的应用.
知识链接：上节课我们学习了勾股定理的逆定理，回顾一下相关知
识.
创设情境——见配套课件
探究点一：勾股定理的逆定理的实际应用
（教材P36例2）如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远
航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，
“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它
们离开港口1.5h后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果“远
航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出
两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.
解：根据题意，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.
因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°.由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°.因此∠2＝45°，即
“海天”号沿西北方向航行.
归纳总结：解决实际问题的步骤：①构建几何模型（从整体到局
部）；②标注有用信息，明确已知和所求；③应用数学知识求解.
【对应训练】教材P37练习第1题和第2题.
探究点二：勾股定理及其逆定理的综合应用
问题1：勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么？
（1）勾股定理是已知直角三角形.得出三边之间的关系；勾
股定理的逆定理是已知三角形的三边关系，得出直角三角
区别 形.
（2）勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判
定定理.
联系 勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关.
（教材P37例3）如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，
5 13
AD＝ ，DC＝ .如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说
3 3
明理由.
分析：若能求出AC的长，就可以根据勾股定理的逆定理判断△ACD
是不是直角三角形，从而判断AC是否垂直于AD.
解：因为AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16，所以
AC＝4.
(5) 2 169 (13) 2 169
在△ACD中，AC2＋AD2＝42＋ ＝ ，CD2＝ ＝ ，所以
3 9 3 9
AC2＋AD2＝CD2.
因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD.
【对应训练】教材P37练习第3题.1.如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西50°方向，
则点B在点O的（ A ）
A.北偏东40°的方向上
B.北偏东50°的方向上
C.南偏东40°的方向上
D.南偏东50°的方向上
2.一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上
60
的高线长为 .
13
3.如图，学校要在一块四边形空地ABCD上种植草皮，测得∠ABC
＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m.若每平方米草
皮需要200元，则学校需要投入多少钱？
解：如图，连接AC，∵∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，
∴AC＝√AB2＋BC2＝√32＋42＝5（m）.
∵CD＝12m，AD＝13m，∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.
1 1
∴S ＝S ＋S ＝ ×3×4＋ ×5×12＝36（m2），
四边形ABCD △ABC △ACD 2 2
200×36＝7200（元）.∴学校需要投入7200元.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
