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第二十章 勾股定理 知识清单
20.1 勾股定理及其应用
一、基本概念/性质定理
1. 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
￮ 符号语言：若Rt ABC中，∠C=90°，两直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2=c2。
2. 勾股定理的变形：a2=△c2−b2，b2=c2−a2，c=❑√a2+b2（c>0，因边长为正）。
3. 勾股数：能构成直角三角形三边的正整数，如：
￮ 基础勾股数：3、4、5；5、12、13；
￮ 勾股数的倍数（仍为勾股数）：6、8、10（3、4、5的2倍）。
二、解题技巧/二级结论
1. 已知直角三角形两边求第三边：
①先确定已知边是“直角边”还是“斜边”；
②代入勾股定理（或变形公式）计算。
2. 利用勾股数简化计算：遇到3、4、5等常见勾股数，可快速判断边长关系。
三、易错点拨
1. 勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不能直接用；
2. 计算时易混淆“直角边”和“斜边”：若已知斜边和一直角边，可用a2=c2−b2直接求解；
3. 勾股数必须是正整数（如2、3、❑√13不是勾股数）。
四、典型例题
例1：在Rt ABC中，∠C=90°，直角边a=3，b=4，求斜边c的长。
解：由勾股定理，c2=a2+b2=32+42=25，故c=5（边长为正）。
△
例2：在Rt ABC中，∠C=90°，斜边c=10，直角边a=6，求另一直角边b的长。
解：由勾股定理变形，b2=c2−a2=102−62=64，故b=8。
△
例3：判断“5、12、13”是否为勾股数。
解：52+122=25+144=169=132，且均为正整数，因此是勾股数。
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
一、基本概念/性质定理
1. 勾股定理的逆定理：若三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，其中c
是斜边（对应角为直角）。
2. 作用：是判定直角三角形的重要几何方法（从“边长关系”推“形状”）。
二、解题技巧/二级结论
用逆定理判定直角三角形的步骤：
①计算三边的平方值；
②找出其中的最大数，判断“最大数的平方”是否等于“另外两个数的平方和”；
③若相等，则是直角三角形（最大边对直角）；若不相等，则不是。三、易错点拨
1. 逆定理的关键是“最大边的平方”：不能误判为“任意两边平方和等于第三边平方”；
2. 忽略三角形三边关系：先判断“任意两边之和>第三边”（能构成三角形），再用逆定理判定；
3. 混淆勾股定理与逆定理：前者是“已知直角三角形→得边长关系”，后者是“已知边长关系→判定直
角三角形”。
四、典型例题
例1：已知三角形三边长为6、8、10，判断它是否为直角三角形。
解：①计算平方：62=36，82=64，102=100；
②最大数是10，36+64=100=102；
③因此这个三角形是直角三角形，斜边为10。
例2：某工人要制作直角三角架，测得三边为4、5、6，能否构成直角三角架？
解：①计算平方：42=16，52=25，62=36；
②最大数是6，16+25=41≠36；
③因此不能构成直角三角架。
例3：判断边长为5m、12m、13m的三角形支架是否为直角结构。
解：52+122=25+144=169=132，满足逆定理，因此是直角结构。
