文档内容
第 20 章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第 2 课时 勾股定理在实际生活中的应用
【素养目标】
1. 进一步理解和掌握勾股定理。(重点)
2. 能够利用勾股定理解决简单的实际问题。(难点)
3. 通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，体会转化思想、模型思想，
形成应用意识。
【情境导入】
古代笑话一则
有一人拿着一根杆子进屋门，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆
将其折断，才解决了问题。请问同学们，这样是真正解决了问题了吗？如果是
你的话，你要怎么做？
【合作探究】
探究点：勾股定理在实际生活中的应用
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否
从门框内通过？为什么？
问题 观看配套课件上同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹
竿进门之类的问题你有什么启发？
第 1 页横着通过：
竖着通过：
斜着通过：
现在你能回答长方形薄木板能否从门框内通过这个问题吗？
【归纳总结】
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待
定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路。
【练一练】
1.在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在
离地面 6 m 处断裂， 树的顶部落在离树根底部
8
m 处。你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
第 2 页2.如图，学校教学楼前有一块长为 4 m，宽为 3 m 的长方形草坪，有极少数
人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草。
(1) 求这条“径路”的长；
(2) 他们仅仅少走了几步(假设2步为1 m )？
例2 如图，一架长为 2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上， 此时梯子一边的顶端
位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 OB 为
0.7m . 如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8m ，那么梯子顶端也沿墙 AO 下
滑 0.8 m 吗？
【练一练】
3.有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，
它高出水面 1 尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点， 它的顶端恰好到达
池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
第 3 页当堂反馈
1. 一架 5 m长的梯子斜靠在建筑物上，如果梯子的底端离建筑物 3 m远，那
么该梯子可以达到建筑物的高度是( )
A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m
2. 如图，这是可近似看作一个等腰三角形 ABC 的衣架，其中腰长 26 cm, 底
边上的高长 10 cm, 则底边 BC =_______ cm .
第2题图 第3题图
3. 如图，一棵大树高 8m ，一场大风过后，大树在离地面 3 m 处折断倒下，
树的顶端落在地上，则此时树的顶端离树的底部有________ m.
4. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离了欲到
达点 B 240 m. 已知他在水中游了510 m，求该河的宽度(两岸可近似看作平
行).
第 4 页参考答案
探究点：勾股定理在实际生活中的应用
例1 解： 连接 AC ，在Rt ΔABC 中，根据勾股定理，
AC2 = AB2+BC2 = 12+22 = 52 .所以 AC = √5 ≈ 2.24m .
因为 AC 大于木板的宽 2.2 m, 所以木板能从门框内通过。
【练一练】1. 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图。
在Rt ΔABC 中， AC = 6m , BC = 8m , 由勾股定理得
.
AB = √AC2+BC2 = √62+82 = 10( m)
∴ 这棵树在折断之前的高度是 10+6=16 (米).
2.解：(1) 在Rt △ABC 中， 根据勾股定理得
. 这条“径路”的长为 5 米。
AB = √AC2+BC2 = √32+42 = 5( m)
(2) 他们仅仅少走了(3+4−5)×2=4 (步).
例2 解： 当梯子底端设 OB 向外移动 0.8 m 时，设梯子的底端由点 B 移动
到点 D ，顶端由点 A 下滑到点 C . 可以看出， AC = OA−OC .
在 Rt△AOB 中 ， 根 据 勾 股 定 理 得
OA2 = AB2 −OB2 = 2.52 −0.72=5.76,OA = 2.4 .
在 Rt ΔCOD中 ， 根 据 勾 股 定 理 得
OC2 = CD2 −OD2 = 2.52 −(0.7+0.8) 2 = 4,OC = 2 .
所以， AC = OA−OC = 2.4−2 = 0.4 .因此，当梯子底端向外移动0.8m时，
梯子顶端并不是下滑0.8 m，而是下滑0.4 m.
【练一练】3. 解：设水深为 x 尺，则这根芦苇的高为 (x+1) 尺，
根据题意和勾股定理可列方程：x2+52 = (x+1) 2 ，解得 x = 12 .
当堂反馈
1. C. 2. 48 cm . 3. 4 m.
4. 解 ： 根 据 题 意 得 ∠ABC= 90∘， 则
第 5 页,
AB = √AC2 −BC2 = √5102 −2402 = 450( m)
即该河的宽度为 450m .
第 6 页
