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专题 4-3 一次函数（考题猜想，利用一次函数解决方案设计问题）
类型1：合理决策的问题
【例题1】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）某商场购进 、 两种商品共 件进行销售，其中
商品的件数不大于 商品的件数，且不小于 件， 、 两种商品的进价、售价如表：
进价 元 件
售价 元 件
请利用本章所学知识解决下列问题：
(1)设商场购进 商品的件数为 件，购进 、 两种商品全部售出后获得利润为 元，求 和 之间的函
数关系式，并写出 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进 多少件？最大利润是多少？
(3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件 ，就从一件 的利润中拿出 元 捐
给慈善基金，则该商场应购进 件，方可获得最大利润．
【答案】(1)
(2)应购进 商品 ，最大利润为 元
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数
的性质求最值．
（1）根据题意和表格中的数据可以写出 与 之间的函数关系式，然后根据 商品的件数不大于 商品的
件数，且不小于 件，可以求得 的取值范围；（2）由函数关系式和 的取值范围计算最大值即可；
（3）根据题意可以写出最后获得的利润与 之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和 的取值范围，
可以求得最大利润．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
商品的件数不大于 商品的件数，且不小于 件，
，
解得 ，
即 与 之间的函数关系式是 ；
（2） 与 之间的函数关系式是 ；
随 的增大而增大，
当 时，利润最大，最大利润为： ．
（3）设最后获得的利润为 元，
由题意可得： ，
，
，
随 的增大而减小，
，
当 时， 取得最大值，此时 ，
答：该商场应购进 商品 件，方可获得最大利润．
故答案为：
【变式1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出
产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲
5 8
种
乙
9 13
种
(1)若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
(2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销
售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
【答案】(1)甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克
(2)安排购买甲种水果40千克，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利
润为600元．【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数
解析式，利用一次函数的性质求最值．
（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以得到利润与购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设甲种水果购进 千克，则乙种水果购进 千克，
由题意可得： ，
解得 ，
，
答：甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克；
（2）解：设购进甲种水果 千克，则乙种水果购进 千克，获得的利润为 元，
由题意可得： ，
随 的增大而减小，
该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
，
解得 ，
当 时， 取得最大值，此时 ， ，
答：安排购买甲种水果 千克，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时
利润为600元
【变式2】（22-23八年级下·云南楚雄·期末）卷蹄是云南少数民族的传统美食，素以色鲜味美、食法多样、
易于贮存而深受人们的喜爱，其中尤以弥渡县一带所制最为有名，故又称“弥渡卷蹄” 某经销商准备从一
卷蹄加工厂购进甲、乙两种卷蹄进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种卷蹄的出售价格根据购
买量给予优惠，对乙种卷蹄按 元 千克的价格出售，设经销商购进甲种卷蹄 千克，付款 元， 与 之
间的函数关系如图所示．
(1)求 与 之间的函数关系式．
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种卷蹄共 千克，其中甲种卷蹄不少于 千克且不超过 千克，
如何分配甲、乙两种卷蹄的购进量，才能使经销商付款总金额 最少？
【答案】(1)
(2)当购进甲种卷蹄 千克，乙种卷蹄 千克时，才能使经销商付款总金额最少
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，通过函数图象活动所需信息是解题的关键．
（1）由图可分段运用用待定系数法求得函数解析式即可；（2）设购进甲种卷蹄 千克，则购进乙种卷蹄 千克，根据题意分 和 两种情
况解答即可．
【详解】（1）解：当 时，
设 ，将 代入，可得： ，解得
所以当 时， ，
当 时，
设 ，将 ， 代入，得 ，
解得 ，
所以当 时， ，
所以 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：由题意可得： ，
当 时， ．
，
随 的增大而增大，
当 时， 最小，最小值为 ．
当 时， ．
，
随 的增大而减小，
当 时， 最小，最小值为 ．
，
当 时，付款总金额最少，最少金额为 元，
此时购进乙种卷蹄 千克 ．
答：当购进甲种卷蹄 千克，乙种卷蹄 千克时，才能使经销商付款总金额最少
【变式3】（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知购买甲种笔记本 个，乙种笔记本 个，共花费
元．购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费 元．
(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
(2)她决定再次购买两种笔记本共 个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买
时减价 元，乙种笔记本按上一次购买时售价的八折出售，此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不得超过
上一次总费用的 .求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
【答案】(1)购买一个甲种笔记本需要 元，一个乙种笔记本需要 元
(2)至多需要购买 个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为 元【分析】考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出
等量关系式．
（1）设购买一个甲种笔记本需要 元，一个乙种笔记本需要 元，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设需要购买 个甲种笔记本，则购买 个乙种笔记本，根据“购买甲、乙两种笔记本的总费用
不得超过上一次总费用的 ”列出不等式即可求得甲种笔记本最多可购买的本数；设购买两种笔记本总
费用为 元，列出关于 、 的一次函数即可求得总费用的最大值．
【详解】（1）解：设购买一个甲种笔记本需要 元，一个乙种笔记本需要 元，
依题意得： ，
解得： ，
答：购买一个甲种笔记本需要 元，一个乙种笔记本需要 元．
（2）设需要购买 个甲种笔记本，则购买 个乙种笔记本，
依题意得： ，
解得： ，
又 为整数，
的最大值为 ．
设购买两种笔记本总费用为 元，则 ，
，
随 的增大而增大，
当 时， 取得最大值，最大值为 （元）．
答：至多需要购买 个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为 元
类型2：选择方案的问题
【例题2】（22-23八年级下·河南漯河·期末）为响应习近平总书记的号召，鼓励学生多读书，某图书馆针
对学生推出两种新的借阅优惠方案．
甲方案：凭学生证办理借阅卡，充值超过20元时，超过多少送多少；
乙方案：凭学生证办理会员卡，充值每满40元再送20元．
设借阅时间为x天，甲、乙两种方案每本书的借阅租金分别表示 （元）， （元） 关于x的所数
图象如图所示．(1)分别直接写出 与x之间的函数关系式；
(2)请求出图中线段 的长并说明它的实际意义；
(3)八年级小兰准备用40元钱在该图书馆借阅一本书，选择哪种方案办卡更划算？说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) 的实际意义是当借阅50天时，两种方案相差10元；
(3)选择方案乙更划算，理由见解析
【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）分别求出当 时，所对应的函数值，再求差；
（3）先求出当 时的x的值，再比较求解．
【详解】（1）解：设 ，
则： ，
解得： ，
∴ ， ；
（2）解：当 时， （元）， （元），
∴ （元），
∴ 的实际意义是当借阅50天时，两种方案相差10元；
（3）解：选择方案乙更划算；
理由：若选择甲方案时： ，
解得： ，
若选择乙方案时： ，
解得： ，
∵ ，
∴选择方案乙更划算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键
【变式1】（22-23八年级下·云南红河·期末）某水果销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
下图中的射线 分别表示该水果销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资 （单位：元）和
（单位：元）与其当月水果销售量 （单位：千克） 的函数关系．(1)分别求 与 的函数解析式（解析式也称表达式）．
(2)请根据函数图象帮助该公司销售人员小张选择哪个方案每月能得到更高的工资？
【答案】(1) ，
(2)具体见解析
【分析】（1）由待定系数法就可以求出解析式；
（2）利用函数图像求解即可．
【详解】（1）解：（1）设直线 的解析式为 ．
把点 代入 中，得 ，解得 ，
．
设直线 的解析式为 ，
把点 和 分别代 中，得 ，解得 ，
．
（2）根据函数图象可得：①当 时，选择方案二能得到更高的工资；
②当 时，选择方案一或方案二工资相同，没有区别；
③当 时，选择方案一能得到更高的工资．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，设计方案的运用，
解答时认真分析，弄清函数图象的意义是关键
【变式2】（22-23八年级下·四川南充·期末）某电信公司提供了A，B两种通讯方案，其通讯费用y（元）
与通话时间x（分）之间的关系如图所示，观察图象，回答下列问题：(1)某人若按A方案通话时间为100分钟时通讯费用为 元；若通讯费用为70元，则按B方案通话时间为
分钟；
(2)求B方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式；
(3)当B方案的通讯费用为50元，通话时间为170分钟时，若此时与A方案的通讯费用相比差10元，直接
写出两种方案通话时间相差多少分钟．
【答案】(1)30，250
(2)
(3)当B方案的通讯费用为50元，通话时间为170分钟时，若两种方案的通讯费用相差10元，通话时间相
差25分钟
【分析】本题考查了一次函数的应用:
（1）观察函数图象，A方案通话时间在120分钟内通讯费用都为30元，B方案通话时间为250分钟对应的
费用为70元；
（2）分类讨论：当 时，易得 元；当 时，利用待定系数法求B方案的通讯费用y
（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式为 ，综上所述，得到 ；
（3）先用同样方法求出对于A方案，当x＞120时的解析式y＝ x﹣18，由于B方案与A方案的通讯费用
相比差10元，则A方案的通讯费用为60元或40元，接着分别计算出函数值为40或60所对应的自变量，
然后求出它们与170的差即可得到两种方案的通讯费用相差10元时，通话的时间差．
【详解】（1）解：由函数图象可知，某人若按A方案通话时间为100分钟时通讯费用为30元；若通讯费
用为70元，则按B方案通话时间为250分钟；
故答案为：30，250；
（2）解：由图象知：当 时，通讯费 元；
当 时，设B方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式为 ，
把 代入，得 ，
解得 ，
∴当 时，设B方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式为： ，
综上所述， ；（3）解：对于A方案；当 时，可求得 ，
∵当B方案的通讯费用为50元，此时与A方案的通讯费用相比差10元，
∴A方案的通讯费用为60元或40元，
当 时， ，解得 ，则 （分钟）；
当 时， ，解得 ，则 （分钟）；
∴当B方案的通讯费用为50元，通话时间为170分钟时，若两种方案的通讯费用相差10元，通话时间相
差25分钟
【变式3】（23-24八年级上·黑龙江大庆·期中）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引
顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按8折优惠；在乙超
市累计购买商品超出200元之后，超出部分按 折优惠．设顾客预计累计购物x元（ ），甲，乙
两家超市所付费用分别为 元和 元．
(1)请用含x的代数式分别表示 和 ；
(2)顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．
【答案】(1) ，
(2)当 时，顾客到乙超市购物更优惠，当 时，顾客去两家超市一样优惠，当 时，
顾客到甲超市购物更优惠，理由件解析
【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确列
出 和 关于x的函数关系式是解题的关键．
（1）根据所给的优惠方案列式求解即可；
（2）根据（1）所求，分别求出 ， ， 时，x的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得， ，
；
（2）解：当 时，顾客到乙超市购物更优惠，当 时，顾客去两家超市一样优惠，当
时，顾客到甲超市购物更优惠，理由如下：
当 时，则 ，解得 ，
当 时，则 ，解得
当 时，则 ，解得 ，
∴当 时，顾客到乙超市购物更优惠，当 时，顾客去两家超市一样优惠，当 时，
顾客到甲超市购物更优惠
类型3：购物优惠的问题
【例题3】（22-23八年级下·宁夏银川·期末）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022
年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地价格的 倍，用
300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的菜苗少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且购买A种
菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．请问
在菜苗基地购买A、B两种菜苗各多少捆能使本次购买费用最少，最少花费多少元？
【答案】(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
(2)购买A种和B种菜苗各50捆，能使本次购买费用最少，最少花费为2250元．
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基
地购买的少3捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗 捆，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
得 ，设本次购买花费w元，有 ，由一次函数性质可得本次购买最少花费2250元．
【详解】（1）解：设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得： ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）解：设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗 捆，
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
∴ ，
解得 ，
设本次购买花费w元，
∴ ，
∵ ，
∴w随m的增大而减小，
∴ 时，w取最小值，最小值为 （元），
答：购买A种和B种菜苗各50捆，能使本次购买费用最少，最少花费为2250元．
【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式
【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）初二年级组织师生到秦岭国家植物园研学，准备租用A、B
两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5
辆A型和2辆B型车坐满后共载客300人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客320人．
(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
(2)若年级计划租用A型和B型两种客车共40辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，则采用哪种租车方案租金最少？最少租金是多少元？
【答案】(1)每辆 型车坐满后载客40人， 型车坐满后载客50人
(2)租A型车30辆，则租B型车10辆，租金最少，最少租金是21000元
【分析】（1）设每辆 型车坐满后载客 人， 型车坐满后载客 人，可得 ，即可解得每
辆 型车坐满后载客40人， 型车坐满后载客50人；
（2）设租 型车 辆，则租B型车 辆,根据“要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍”，
，设租金为 ，则 ，结合一次函数的性质，即可作答．
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的性质，解题的关键是读懂题意，列出方程
组和不等式组．
【详解】（1）解：设每辆 型车坐满后载客 人， 型车坐满后载客 人，
根据题意得 ，
解得 ，
每辆 型车坐满后载客40人， 型车坐满后载客50人；
（2）解：设租 型车 辆，则租 型车 辆，
∵要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，
∴ ，
解得 ，
设租金为 ，则 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
当 ，则 有最小值，且为 ，
即租 型车30辆，则租 型车10辆，租金最少，最少租金是 元
【变式2】（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）某校计划采购 、 两种规格的教学器材，已知 种器材的
价格为每个 元； 种器材采购数量不超过 个则按原价购买，采购数量超过 个时，超出部分可在原
价基础上每个优惠 元．学校经测算，若购买 个 种器材需要花费 元：若购买 个 种器材需要花
费 元．
(1)求 种器材的售价和 的值；
(2)学校要采购 、 两种规格的教学器材共 个，要求购买 种器材数量不少于 个且不超过 种器材数
量的 倍，请通过计算帮学校决策，如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少总采购费用是多少
元？
【答案】(1) 元，(2)购买 种器材 个、 种器材 个时总采购费用最少，最少费用是 元
【分析】（1）根据题意列二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据题意中不等关系列出不等式，然后进行分类讨论即可得出结论；
【详解】（1）设 种器材的售价为每个 元，根据题意得
，
解得 ，
∴ 种器材的售价每个 元和 ；
（2）设购买 种器材 个，则购买 种器材 个，
根据题意得 ，解得 ，
设总采购费用为 元，根据题意得
当 时， ；
当 时， ，
，
当 时， ， 随 的增大而增大， 时， 取最小值， ：
当 时， ， 随 的增大而减小， 时， 取最小值，
∵ ，
∴购买 种器材 个、 种器材 个时总采购费用最少，最少费用是 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出 关于 的函数关系
式
【变式3】（22-23八年级下·河南新乡·期中）随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用6000元购
进了若干台A型打印机，用10000元购进了相同数量的B型打印机．已知B型打印机比A型打印机的单价
贵200元．
(1)B型打印机的单价是多少元？
(2)为了促销，批发商针对B型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超过20台，则每台B型打印
机享九折优惠；若一次性购买超过20台，则前20台享九折优惠，超过的部分享八折优惠．设购买B型打
印机x台，所需费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．
(3)在（2）的优惠方案下，若购买A型、B型打印机共35台，且购买A型打印机的数量不超过B型打印机
数量的 ，如何购买才能使花费最少？最少花费为多少元？
【答案】(1)500
(2)(3)购买A型打印机14台，B型打印机21台．最少花费13600元．
【分析】（1）根据两种打印机购买的数量相同建立分式方程即可求解．
（2）分购买B型打印机20台以下与超过20台两种情况予以讨论．
（3）根据题意先确定购买B型打印机的台数的范围，然后列出购买两种打印机所需的总费用的函数解析
式，利用函数的增减性与自变量的范围进行最小值的讨论．
【详解】（1）设B型打印机的单价为x元，则A型打印机的单价为 元，根据题意可列方程：
解得：
答：B型打印机的单价为500元．
（2）根据题意，当一次性购买B型打印机不超过20台时，即 时， ；
当一次性购买B型打印机超过20台时，即 时， ；
∴y关于x的函数关系式是：
（3）设购买B型打印机x台时，才能使花费最少，则购买A型打印机为 台，依据题意得：
，
解得：
设购买两种型号的打印机，总花费为y元，因 ，所以B型打印机花费 元，A型打
印机花费 元，
∴
即
因为一次函数 ，y随x的增大而增大，
故当x=21时，y值最小．此时
最小值为
即购买A型打印机14台，B型打印机21台时，花费最少，最少花费13600元．
【点睛】本题考查了分式方程与一次函数的应用，解题的关键是正确列出分式方程与函数解析式
