文档内容
专题 13 立体几何初步
一、知识速览
二、考点速览知识点1 空间几何体的结构特征
1、多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但不一定相 延长线交于一点，但不一定相
侧棱 平行且相等
等 等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
2、特殊的棱柱和棱锥
（1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是
正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
（2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均
相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形
的中心．
【注意】（1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．
（2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．
（3）注意棱台的所有侧棱相交于一点．
3、旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形
任一直角边所在的 垂直于底边的腰 直径所在的
旋转轴 任一边所在的直线
直线 所在的直线 直线
互相平行且相等，垂
母线 相交于一点 延长线交于一点
直于底面
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
4、空间几何体的直观图
（1）画法：常用斜二测画法．（2）规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴
所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于 x轴和z轴的线段在直观图中保
持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
（3）直观图与原图形面积的关系
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S ＝S S ＝2S
直观图 原图形； 原图形 直观图．
知识点2 空间几何体的表面积和体积
1、空间几何体的表面积和体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) S ＝S ＋2S V＝S h
表面积 侧 底 底
锥体(棱锥和圆锥) S ＝S ＋S V＝S h
表面积 侧 底 底
台体(棱台和圆台) S ＝S ＋S ＋S V＝(S ＋S ＋)h
表面积 侧 上 下 上 下
球 S＝4πR2 V＝πR3
几何体的表面积和侧面积的注意点
①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．
②组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系
（1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥，
则S ＝ch′←―― S ＝(c＋c′)h′――→S ＝ch′.
正棱柱侧 正棱台侧 正棱锥侧
（2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，
则S ＝2πrl←―― S ＝π(r＋r′)l――→S ＝πrl.
圆柱侧 圆台侧 圆锥侧
3、柱体、锥体、台体体积间的关系
知识点3 点、直线、平面之间的位置关系
1、四个公理
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
【拓展】公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．
作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据
（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3、直线与直线的位置关系
（1）空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内，有且只有一个公共点
平行 同一平面内，没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点
（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直
角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：(0°，90°]．
4、直线与平面的位置关系
直线a在平面α外
位置关系 直线a在平面α内
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
⊂
图形表示
5、两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
知识点4 直线、平面平行的判定与性质
1、直线与平面平行
（1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．
（2）判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示平面外一条直线与此平面内
a⊄α，b α，
判定定理 的一条直线平行，则该直线
a∥b a∥α
⊂
平行于此平面
⇒
一条直线和一个平面平行，
a∥α，a β，
性质定理 则过这条直线的任一平面与
α∩β＝b a∥b
⊂
此平面的交线与该直线平行
⇒
2、平面与平面平行
（1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面．
（2）判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
一个平面内的两条相交直线与另一 a α，b α，a∩b＝P，
判定定理
个平面平行，则这两个平面平行 a∥β，b∥β α∥β
⊂ ⊂
⇒
两个平面平行，则其中一个平面内
α∥β，a α a∥β
的直线平行于另一个平面
⊂ ⇒
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
面相交，那么它们的交线平行
⇒
3、平行关系之间的转化
在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平
行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的
具体条件而定的，不可过于“模式化”．
知识点5 直线、平面垂直的判定与性质
1、直线与平面垂直
（1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
（2）判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面内的两
判定定理 条相交直线都垂直，则该直 l⊥α
线与此平面垂直
⇒
垂直于同一个平面的两条直
性质定理 a∥b
线平行
⇒2、直线和平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直
线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是.
（2）范围：.
3、平面与平面垂直
（1）二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两
条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
（2）平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一个平面的
判定定理 α⊥β
垂线，则这两个平面垂直
⇒
两个平面垂直，则一个平
性质定理 面内垂直于交线的直线与 l⊥α
另一个平面垂直
⇒
谨记五个结论
（1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
（5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
4、垂直关系之间的转化
在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的
转化关系，即：
在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通
过作辅助线来解决．
一、求空间几何体表面积的常见类型及思路1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体
的表面积；
2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它
们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱
体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积；
【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加
【典例1】（2023秋·广东广州·高三校考阶段练习）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图l
是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶
点，B，C分别是圆柱的上､下底面圆的圆心，且 ， ，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积
是 .
【答案】
【解析】因为陀螺的底面圆的半径为 ，
由 ，则 ，即圆柱的母线长为 ，
所以圆锥的母线长为 ，
则圆锥的侧面积为 ，
圆柱的侧面积为 ，圆柱的底面积为 ，
所以该陀螺的表面积为 .
【典例2】（2023春·海南海口·高三统考期中）如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为12 ，上､下
底面的半径分别为4 和2 .为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯 高度以下的外
壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不计，则此杯套使用的皮革的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知杯套部分依然是圆台，
则此杯套使用的皮革的面积即为对应圆台的侧面积加上较小底面面积；
如图，作出水杯的轴截面，作 于G，
设 为杯套部分对应的轴截面，AG交EF与H，
则 ， ，
则由 ∽ 可得 ，
故 ，
故此杯套使用的皮革的面积为 ，故选：C
【典例3】（2023·河南·校联考模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民
族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正
六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为 和 ，正六棱台与正六棱柱的高分别为
和 ，则该花灯的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】正六棱柱的六个侧面面积之和为 ，
正六棱柱的底面面积为 ，
如图所示，正六棱台 中， ，
过点 分别作 垂直于底面
于点 ，
连接 相交于点 ，则 分别为 的中点，过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，则 为正六棱台的斜高，
其中 ， ， ，
由勾股定理得 ，故 ，
所以正六棱台的斜高为 ，
故正六棱台的侧面积为 ，
又正六棱台的下底面面积为 ，
所以该花灯的表面积为 ．故选：A．
二、空间几何体的体积
1、处理空间几何体体积的基本思路
（1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的
高转换为容易看出并容易求解的高；
（2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；
（3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原
乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。
2、求体积的常用方法
（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；
（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成
规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
（3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面
作为三棱锥的底面进行等体积变换
【典例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知
该扇环的面积为 ，两段圆弧 所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为 ，
则其面积为 ，解得 ，
所以扇环的两个圆弧长分别为 和 ，
设圆台上下底面的半径分别为 ，高为 ，
所以 ，解得 ，
，解得 ，
作出圆台的轴截面，如图所示：
图中 ， ，
过点 向 作垂线，垂足为 ，则 ，
所以圆台的高 ，
则上底面面积 ， ，
由圆台的体积计算公式可得： .故选：A.
【典例2】（2023秋·广东珠海·高三校考阶段练习）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，
，四棱锥 的体积为 .
【答案】
【解析】取 中点 ，因为 ，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
所以四棱锥的高即 的边 上的高.
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 垂直平分 ，所以 ,
在 中， ，
所以由余弦定理得 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以在 中，由余弦定理得 ,
所以 ，
设 中 边上的高为 ，则 ，
所以
所以四棱锥 的体积 .
故答案为：
【典例3】（2023秋·浙江金华·高三阶段练习）如图，已知多面体 的底面 与顶面
A B C D 平行且均为矩形.若 ， ，则该多面体的
1 1 1 1
体积为（ ）
A． B．37 C． D．47
【答案】C
【解析】如图所示，设 在底面的投影分别为 ，
延长 分别交底面矩形于 两点，延长 交 于 两点，由条件易得 ，
所以几何体的高为 ，
该几何体的体积可分割为两个几何体 的体积
加两个几何体 的体积再加长方体 的体积.
易得 ，
同理 ，
，
故该几何体体积为： .故选：C
三、共线共点共面证明方法
1、证明点或线共面问题的2种方法
（1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
（2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2、证明点共线问题的2种方法
（1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
（2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上．
3、证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【典例1】（2023秋·山西大同·高三校考阶段练习）（多选）已知正方体 中， 为 的
中点，直线 交平面 于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 三点共线 B． 四点共面
C． 四点共面 D． 四点共面
【答案】ABC
【解析】连接 ， ， ，因为 为 的中点，所以 ，平面 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以点 是平面 和平面 的交点，
所以 ， ， ， 三点共线，故A正确；
因为 ， ， 三点共线，所以 , , , 四点共面， , , , 四点共面，故BC正确；
取 中点 ，连接 交 于点 ，
由题意得 ， ，所以 ，即 为 的三等分点，
因为 ， ， 不共线， 平面 ，平面 ， 为 的中点，
所以点 平面 ， ， ， ， 四点不共面，故D错.故选：ABC.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在空间四边形 中， 分别在
上， 与 交于点 ，求证： 三点共线.
【答案】证明见解析
【解析】 平面 ，
平面 ，同理， 平面 .
是平面 与平面 的公共点.
又平面 平面 ，
, 三点共线.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平面 ，且 ，设在梯形 中，
，且 .求证： 共点．
【答案】证明见解析
【解析】如图，梯形 中，因为 ，
所以 与 必交于一点，
设 交 于点 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 共点．
四、平移法求异面直线所成角的步骤
第一步平移：平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或
中点)作平行线平移；(3)补形平移
第二步证明：证明所作的角是异面直线所成的角或其补角
第三步寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之
第四步取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为
异面直线所成的角
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，圆柱的轴截面为矩形 ，点M，N分别在上、下底面圆
上， ， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接 ，设 ，则 是 的中点，设 是 的中点，连接 ，则 ，
则 是异面直线 与 所成角或其补角.
由于 ， ，所以 ，
由于 ，而 是圆柱底面圆的直径，则 ，
所以 ，则 ，
，而 ，
在三角形 中，由余弦定理得 .故选：D
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，直三棱柱 中， 分别是
的中点， ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：分别取 的中点 ，连接 ，
由题意有 ， ，
所以 与 所成角的大小等于 ，
不妨设 ，则 ，所以 ，
又因为 且 ，所以 ， ；
由余弦定理可得 ，
所以 与 所成角的余弦值为 .故选：A.【典例3】（2023秋·云南曲靖·高三校考阶段练习）如图，正方形 的边长均为2，动点 在
线段 上移动， 分别为线段 中点，且 平面 ，则当 取最大值时，异面直
线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 为直角三角形，所以当 最短时， 取最大值，
可知 ，即 为 的中点时， 取最大值，
因为 分别固定在线段 的中点处，
所以 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，
因为 分别为线段 的中点，则 ∥ ，且 ，且 ∥ ，
可知异面直线 与 所成角为 （或其补角）
且 分别为线段 的中点，则 ∥ ，且 ，
且 ∥ ，且 ，可得 ∥ ，且 ，
可知 为平行四边形，则 ∥ ，且 ，
又因为 平面 ，则 平面 ，
由 平面 ，可得 ，
可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选：A五、证明直线与平面平行的方法
1、线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．
2、线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边
形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．
3、面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，
a α a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面
也
⊂
平
⇒
行，即α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α a∥β.
【典例1】（2022秋·黑龙江鸡西·高三⇒校考阶段练习）如图甲，在梯形 中， ， ，
分别为 的中点，以 为折痕把 折起（如图乙），求证：
（1） //平面 ； （2） //平面 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）由于梯形中 ，折叠后仍有 // ，
又 平面 ， 平面 ，
根据线面平行的判定， //平面 ；
（2）连接 交 于 ，连接 ，依题意得， // ， ，
于是四边形 是平行四边形，故 为 中点，
又 为 中点，根据三角形的中位线可得， // ，
又 平面 ， 平面 ，故 //平面 .
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体 中，四边形 是正方形， ，
， 为 的中点.求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接 .因为 为 的中点， ， ，所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 、 、 的中点分别为 、 、 ，点 在 上， ．求证： 平面
.
【答案】证明见解析
【解析】证明：设 ，
因为 ，则 ，且 ， ，
则 ，
因为 为 的中点，则 ，
因为 ，
则 ，
解得 ，即 为 的中点，
因为 为 的中点，所以， ，同理 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 .
六、证明面面平行的常用方法
1、利用面面平行的定义．
2、利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平
行．
3、利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．4、利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．
5、利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
【典例1】（2022·全国·高三专题练习）正方体 中，M，N，E，F分别是
的中点，求证：面 面 .
【答案】证明见解析
【解析】如下图所示：
连接 ，因为六面体 是正方体，
且M，N，E，F分别是 的中点，
所以 且 ，
所以 ，即四边形 是平行四边形，因此 ，
又因为 面 ， 面 ，所以 面 ，
同理可得 面 ，
又因为 面 ， 面 ，且 ，
因此面 面 .
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示， 为 所在平面外一点， 、 、 分别为
、 、 的重心．求证：平面 平面 ．
【答案】证明见解析
【解析】如图，记 的中点分别为 ；连接 ；连接 ；因为 分别为 、 的重心，
所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
同理 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在圆柱 中，等腰梯形ABCD为底面圆 的内接四边形，且
，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线．求证：平面 平面
ADE．
【答案】证明见解析
【解析】在圆柱 中， ， 平面 ， 平面 ，故 平面 ；
连接 ，因为等腰梯形 为底面圆 的内接四边形， ，
故 ，
则 为正三角形，故 ，则 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ；
又 平面 ，
故平面 平面 ．七、证明线面垂直的方法
1、线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α.
2、面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β.
⊂ ⊂ ⇒
3、性质：①a∥b，b⊥α a⊥α；②α∥β，a⊥β a⊥α.
⊂ ⇒
4、α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l l⊥γ.(客观题可用)
⇒ ⇒
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， 为 的中点， ，
⇒
， ， ， ， .证明： 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】证明： ，
∴ 为等腰直角三角形，
又M为AC的中点，AC＝2，
∴ ，且 ，
又 ，
，
综上有： ，又 ，即 ，
，
又 ， 平面 ，
平面 .
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中， ， 均为等边三角形，
，O为AB中点，点D在AC上，满足 ，且面 面ABC．证明： 面POD．【答案】证明见解析
【解析】证明：由条件 、 为等边三角形， 为 的中点，
则 ， ， ，
由余弦定理得
从而在 中， ，
得 为直角三角形，且 ，
又面 面 ，面 面 ，且 ， 面 ，
则由面面垂直的性质定理可得 面
由 面 ,所以
因此由 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
即 面POD.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图 ，等腰梯形 中， ， ，
， 为 中点， 为 中点.将 沿 折起到 的位置，如图 ．证明： 平
面 ．
【答案】证明见解析
【解析】证明：在等腰梯形 中， ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 ，
所以 为等边三角形，则 .
因为 为 中点，所以 ，
在等腰梯形 中，可得 .
连接 ，在 中，由余弦定理可得
，
则 ，所以 ，则 .
因为 、 分别是 、 中点，
所以 ，所以 ，从而可得 ， ，
因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ．
八、证明面面垂直的两种方法
法1：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平
面角为直角问题；
法2：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线
线垂直加以解决。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中， 两两垂直， ，且
分别为线段 的中点.求证：平面 平面 .
【答案】证明见解析
【解析】由 两两垂直，即 且 ， 面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
由 ，且 分别为线段 的中点，所以 ，
又 ， 面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 .
【典例2】（2023·四川成都·校考模拟预测）在四棱锥 中，底面ABCD为矩形， 为边长为
2的正三角形，且平面 平面ABCD，E为线段AD的中点，PE与平面ABCD所成角为45°.
（1）证明： ；
（2）求证：平面 平面PBC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）取AB中点O，连接PO、OE，
因为平面 平面ABCD， 为边长为2的正三角形，
所以 ，
从而 平面ABCD
∴ 为PE与平面ABCD所成角，
∴ ，即
∴
又∵ 所以
在 中， ，∴ ；
（2）在 中， ，取PC的中点F，所以 ，
取PB中点G，连接AG，易得 ，又
所以 ,且
∴ 平面PBC，
又 平面PEC，
所以平面 平面PBC.
【典例3】（2023·贵州·校联考模拟预测）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一
个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除 中，底面 是边长为2的正方形，
.
（1）证明：平面 平面 .
（2）求四棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）分别取 和 的中点 ，连接 ，
因为底面 是边长为2的正方形， ，
所以 .
在梯形 中， ，
分别作 垂直于 ，垂足分别为 ，则 ，故由勾股定理得 ，
所以 ，
易知 ，故 .
又 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）连接 .因为 ，所以四边形 的面积 ，
所以 .
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 .
因为 ，所以 ，
即四棱锥 的体积为 .
九、外接球和内切球的解题思路
1、求解几何体外接球的半径的思路
（1）根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系
R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键；
（2）将几何体补成长方体，如本例(2)，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于
长方体的体对角线长求解．
2、解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的
思维流程是：
第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离
相等且为半径；
第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些
元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，
且该三棱锥外接球的表面积为 ，且 ， ，则三棱锥 的体积为 ．
【答案】
【解析】因为三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两互相垂直，
所以将三棱锥补成如图所示的长方体，
则长方体的体对角线等于三棱锥外接球的直径，
因为三棱锥外接球的表面积为 ，
所以 ，得 ，
所以 ， ，得 ，
所以 .
【典例2】（2023秋·广西·高三统考阶段练习）已知正四棱锥 的每个顶点都在表面积为 的球
的球面上， ，则 （ ）
A． 或 B． C．2或4 D．4
【答案】A
【解析】设正方形 的中心为 ，则 底面 ，球心 在 上．
设球 的半径为 ，则 ，解得 ．
因为 ，所以 ，
由勾股定理得 ，解得 或4，
所以 或 ．故选：A
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）三棱锥 中， 与 均为边长为 的等边三角形，
若平面 平面 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取 中点 ，连接 ， ，则 ， ，
因为平面 平面 ，所以可得 平面 ， 平面 ，
取 的外心 ， 的外心 ，
分别过 作平面 与平面 的垂线交于点 ， 即为球心，连接 ，
易得 ， ，
，
.故选：B.
易错点1 对斜二测法规则掌握不牢
点拨：由斜二测法画直观图步骤如下：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关
系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，
长度减为原来的一半。
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）水平放置的 的直观图如图，其中 ， ，
那么原 是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
【答案】A
【解析】由图形知，在原 中， ，如图，
因为 ，所以 ，， ，
又 ， .
为等边三角形.故选：A
【典例2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，梯形 是平面图形 用斜二测画法得到的直
观图， ，则平面图形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，作平面直角坐标系 ，
使 与 重合， 在 轴上，且 ， 在 轴上，且 ，
过 作 ，且 ，连接 ，
则直角梯形 为原平面图形，
其面积为 ．故选：C
【典例3】（2023·山东济南·一模）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得
直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正三角形的高为 ，
根据斜二测画法的知识可知，直观图的面积为 .故选：B
易错点2 空间点、线、面位置关系不清
点拨：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的
重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出
肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用
准确，考虑问题全面细致。
【典例1】（2023·贵州·统考模拟预测）已知直线 、 、 与平面 、 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【解析】对于A，若 ， ， ，则 与 可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，若 ， ，则 与 可能平行，也可能相交，故B错误；
对于C，若 ， ，则 与 可能平行，也可能相交或异面，故C错误；
对于D，若 ，则由线面平行的性质定理可知，必有 ，使得 ，
又 ，则 ，因为 ，所以 ，故D正确.故选：D.
【典例2】（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）己知 是不重合的三条直线， 是不重合的三
个平面，则（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ， ，则
【答案】C
【解析】对于A，若 ， ，则 或 ，A错误；
对于B，若 ， ， ，则 与 可能平行或相交，B错误；
对于C，当 ， 时，则存在 ， ，使得 ， ， ，又 ， ， ，又 ， ， ， ，C正确；
对于D，若 ， ， ， ，则 与 可能平行或相交，D错误.故选：C.
【典例3】（2023秋·广东佛山·高三校考阶段练习）已知 是空间中三个不同的平面， 是空间中
两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【解析】对于A ，若 ，则 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ， 平行或相交，故B错误；
对于C，若 ，则 ，故C正确；
对于D，若 ，则 ，故D正确.故选：B.
易错点3 对折叠与展开问题认识不清致误
点拨： 注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，
还要注意位置关系的变化．
【典例1】（2023·海南·海南中学校考模拟预测）（多选）如图，在矩形 中， 和
交于点 ，将 沿直线 翻折，则正确的是（ ）
A．存在 ，在翻折过程中存在某个位置，使得
B．存在 ，在翻折过程中存在某个位置，使得
C．存在 ，在翻折过程中存在某个位置，使得 平面
D．存在 ，在翻折过程中存在某个位置，使得 平面
【答案】ABC
【解析】对A，当 时，所以此时矩形 为正方形，则
将 沿直线 翻折，若使得面 面 时,
由 ， 面 ，面 面 ，所以 面 ,
又 面 ,所以 ，故选项A正确.
对B，又 ， ，且 ，所以 面 ，又 面 ，所以 ，故选项B正确，
对C，在矩形 中， , ，
所以将 沿直线 翻折时，总有 ，
取 ，当将 沿直线 翻折到 时，有 ，
即 ，且 ，则此时满足 平面 ，故C正确.
对D，若 平面 ，又 平面 ，则 ，
所以在 中， 为斜边，这 与相矛盾.故D不正确.故选：ABC
【典例2】（2022春·辽宁·高三校联考阶段练习）（多选）在菱形 中， ， ，将
沿对角线 折起，使点A至点 （ 在平面 外）的位置，则（ ）
A．在折叠过程中，总有BD⊥PC
B．存在点 ，使得
C．当 时，三棱锥 的外接球的表面积为
D．当三棱锥 的体积最大时，
【答案】AC
【解析】如图所示，取PC的中点E，连接BE，DE，则BE⊥PC，DE⊥PC，
因为 ，BD， 平面BDE，所以PC⊥平面BDE，
又 平面BDE，所以 ，A项正确；
在菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=120°，所以 ，
当△ABD沿对角线BD折起时， ，所以不存在点P，使得PC=2，B项错误；
当PC=1时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知，三棱锥P-BCD的外接球就是该正方体的外接球,
因为正方体的各面的对角线长为1．所以正方体的棱长为 ，
设外接球的半径为R，则 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 ，C项正确；
当三棱锥P-BCD的体积最大时，平面 平面BCD，
取BD的中点O，连接PO，OC，
易知 平面BCD，则 ，
又 ，所以 ，D项错误．故选：AC．
【典例3】（2022·全国·模拟预测）（多选）已知矩形 中， ， ，将 沿 折叠，
形成二面角 ，设二面角 的平面角为 ，若 ，则（ ）
A．
B．异面直线 与 所成的角为
C．四面体 的体积为
D．四面体 外接球的体积为
【答案】AD
【解析】对于A：如图，过点 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，则 ，
由已知得 ， ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B：由已知得 ， ，
则 ，
则 ，得 ，
所以异面直线 与 所成的角为 ，故B错误；
对于C：因为 ，所以 ，
同理可得 ，又 ， ，所以 平面 ，
所以四面体 的体积为 ，故C错误；
对于D：因为 和 都是以 为斜边的直角三角形，
则 为四面体 外接球的直径，故四面体 外接球的半径 ，
所以四面体 外接球的体积为 ，故D正确．故选：AD．
