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专题 22.8 图形中的动点问题——二次函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】如图1，矩形OABC顶点B的坐标为(6,2)，定点D的坐标为(9,0)，动点P从点O出发，以每秒
2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负
方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三
角形PQR．设运动时间为t秒．
（1）当t=___________时，△PQR的边QR经过点B，当t=___________时，点R落在边BC上；
（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图2，过定点E(4,0)作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点
R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，直接写出t的值___________．
【思路点拨】
（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，则有AB=AQ，由此列方程求出t即可，
当R落在BC边上时，因为ΔPQR是等腰直角三角形，故PR=❑√2AB，由此列出方程求解即可；
（2）在图形运动过程中分三种情况讨论，按t的取值范围分段写出关系式即可；
（3）首先判定四边形ABFE是正方形，其次通过旋转，由三角形全等证明MN=EN+BN，设EM=m，
BN=n，在Rt△FMN中，有勾股定理得出m和n的关系式，由此等式列方程求出t的值即可．
【解题过程】
解：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，∴AB=AQ，
即2=9−6−t，
解得t=1，
∴t=1时，△PQR的边QR经过点B；
点R落在边BC上，则R纵坐标的长度和AB相同，
∵△PQR为等腰直角三角形，
∴PQ=2AB=2×2=4，
即9−t−2t=4，
5
解得t= ，
3
5
∴t= 时，点R落在边BC上；
3
5
故答案为：1， ；
3
（2）①当0≤t≤1时，如图1所示，
设PR交BC于点G，
过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=2，
1
∴S=S −S =6×2− (2t+2t+2)×2=10−4t；
矩形OABC 梯形OPGC 2
5
②当1<t≤ 时，如图2所示，
3
设PR交BC于点C，RQ交BC、AB于点S、T，过点P作PH⊥BC于点H，
则CH=OP=2t，GH=HP=2，QD=t，则AQ=AT=9−6−t=3−t，∴BT=BS=AB−AT=2−(3−t)=t−1，
1 1 1 19
∴S=S −S −S =6×2−− (2t+2t+2)×2− (t−1) 2=− t2−3t+ ；
矩形OABC 梯形OPGC △BST 2 2 2 2
5
③当 <t≤3时，如图3所示，
3
设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=9−6−t=3−t，PQ=9−2t−t=9−3t，
❑√2 ❑√2
∴PR=RQ= PQ= (9−3t)，
2 2
1 1 1 ❑√2 2 1 7 21 63
∴S=S −S = PR2− AQ2= ×[ (9−3t)] − (3−t) 2= t2− t+ ；
△PQR △AQT 2 2 2 2 2 4 2 4
S=10−4t(0≤t≤1)
{
)
1 19 5
综上， 与 的函数关系式为 S=− t2−3t+ (1<t≤ ) ；
S t 2 2 3
7 21 63 5
S= t2− t+ ( <t≤3)
4 2 4 3
（3）∵E(4,0)，
∴AE=AB=2，
∴四边形ABFE是正方形，
如图4，将△AME绕A顺时针旋转90°，得到△ABM′，其中AE和AB重合，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM+∠NAB=45°，
∴∠BAM′+∠NAB=45°，
∴∠MAN=∠M′ AN，
连接MN，在△MAN和△M′ AN中，
{
AM=AM′
)
，
∠MAN=∠M′ AN
AN=AN
，
∴△MAN≌△M′ AN(SAS)
∴MN=M′N=M′B+BN，
∴MN=EM+BN，
设EM=m，BN=n，
则FM=2−m，FN=2−n，
在Rt△FMN中，由勾股定理得：FM2+FN2=M N2，
即 ，
(2−m) 2+(2−n) 2=(m+n) 2
整理得，mn+2(m+n)−4=0，①
延长NR交x轴于点S，则
1 1
m=EM=RS= PQ= ×(9−3t)，
2 2
1 1
∵QS= PQ= ×(9−3t)，AQ=3−t，
2 2
1 3 t
∴n=BN=AS=QS−AQ= ×(9−3t)−(3−t)= − ，
2 2 2
∴m=3n，
代入①式，化简得：3n2+8n−4=0，
−4+2❑√7 −4−2❑√7
解得n= 或n= （舍去），
3 3
3 t −4+2❑√7
∴BN= − = ，
2 2 317−4❑√7
解得t= ，
3
17−4❑√7
故答案为： ．
3
◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从
点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到
点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．15cm2 D．12cm2
1
2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）直线y= x+2与x轴、y轴分别交于点A， B， 点C在线段AB
2
上，过点C作x轴的垂线，垂足为D．E是线段AB上一动点(不与点A，B，C重合)，过点E作x轴的垂
线，垂足为F，连接OC，OE．若点 C的横坐标为−2， 则S 与S 的大小关系是（ ）
△OEF △OCD
A．S >S B．S =S C．S ≤S D．S ≥S
△OEF △OCD △OEF △OCD △OEF △OCD △OEF △OCD
3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t(s).连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连
接DE、DF，则△≝¿面积最小值为（ ）
3 3 4 8
A． B． C． D．
2 4 5 5
4．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC的中点，点F是边AB上的
动点，连接FE并延长交DC的延长线于点G,点H在五边形ADCEF中，连接HG,HF,若
HF=HG,∠FHG=90∘,则四边形ADHF面积的最大值为（ ）
41 41
A． B． C．41 D．42
3 2
5．（2023·广东广州·一模）如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB=4，连接AD，以AD为
边作正方形ADEF，连接CE、CF，则当BD= 时，△CEF的面积为最小值 ．
6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，△ABC和△A′B′C′是边长分别为5和2的等边三角形，点B′
、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B
重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，请
写出y与x之间的函数关系式 ．7．（2023·山东泰安·一模）已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，
且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，则y与x的函数关系式是 ．
8．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠D=60°，点P，Q同时从
点A出发，点P以1cm/s的速度沿A→C→D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D的方
向运动，当其中一点到达点D时，两点停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，则y关于
x的函数关系的是 ．
9．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=10cm，点P
从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点
P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒.
（1）几秒时，PQ的长度为4❑√2cm？（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm2？
（3）当t(0<t<5)为何值时，四边形APQC的面积最小？并求这个最小值．
10．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两
个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．
（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？
（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）求出y的最大值．
11．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）等腰直角△ABC的直角边AB=BC=20cm,AC=20❑√2cm，点
P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边
BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S =S ？
△PCQ △ABC
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？如果不变，请直接写出DE的长
度；如果改变，请说明理由．
12．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=8，点D为BC
边的中点.动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，同时动点Q从点A出
发，以每秒❑√2个单位长度的速度沿边AB向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以PQ、PD为邻
边作▱PDEQ，设点P的运动时间为t秒(t>0).
（1）用含t的代数式表示线段PD的长；
（2）当线段QE被边AC平分时，求t的值；
（3）设 ▱PDEQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S=6时t的值.13．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm．动点P，Q从A
同时出发，且速度均为3cm/s，点P，Q分别沿折线AB−BC，AD−DC向终点C运动．设点P的运动时
间为x(s)(0<x<3)，△APQ的面积为y(cm2)．
（1）当点P与点B重合时，x的值为______．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度．14．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，动点P，Q同时从点A出发，以
相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），四边形
PBDQ的面积为（单位：cm2），y与x之间的函数图象如图2所示．
（1）正方形的边长为______，点P的运动速度为______；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）若P在AB上运动时，点P，Q的位置记为P ，Q ，若P在BC上运动时，点P，Q的位置记为
1 1
P ，Q ，且点P从P1运动到P2的距离为4cm，求六边形P BP Q DQ 面积的最大值．
2 2 1 2 2 115．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AC=BC,AB=6cm，动点P以❑√2cm/s的速度从点B出发，沿BC边向终点C运动，过P作PQ⊥AB于
点Q，以BP、BQ为邻边作平行四边形PBQM，设点P的运动时间为t(s)，平行四边形PBQM与△ABC
重叠部分图形面积为S(cm2)．
（1）当点M落在AC边上时，求t的值；
（2）求S与t的函数关系，并直接写出自变量t的取值范围．16．（2023·吉林·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠DAB=60°，点P从点A出发，以
2cm/s的速度沿A−D−C运动，过点P作射线AB的垂线，交射线AB于点Q，在点P运动过程中，设运动
时间为t，△APQ与菱形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）写出线段PD的长（用含t的式子表示）．
（2）当PQ平分菱形面积时，求t的值．
（3）求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．17．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，点E是AB的中
点．动点P从点E出发，沿折线EA−AD−DC以2cm/s的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边DC或边
CB于点Q，连接PQ．当点Q与点B重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为x(s)(x>0)，△PQE的面
积为y(cm2)．
（1）当x=1.5时，△PQE的形状是______．
（2）当点Q与点B重合时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．18．（2024·吉林四平·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，∠A=60°．点P从点A出发，沿
AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到点B停止．过点P作PQ⊥AB，交折线AD−DB于点Q，以
PQ、PB为边作矩形PQEB，设矩形PQEB与△ABD重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为
t(s)(0<t<6)．
（1）用含t的代数式表示PB的长；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）作射线CE，当CE截矩形PQEB所得的图形存在轴对称图形时，直接写出t的值．19．（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm．动点P从点A
出发，沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿BA方向以1cm/s的速度向终
点A运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为
x(s)(x>0)，正方形APDE和△AQF重叠部分图形的面积为y(cm2)．
（1）当点D落在QF上时，x的值为______．
（2）当点D落在BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．20．（2024·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB的顶点A的坐标为(16,0)，点B在第
一象限，∠OBA=90°，BO=BA，矩形OCDE的顶点E在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D
坐标为(−4,10)．
（1）如图①，求点B的坐标；
（2）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′
，E′．设OO′=t，矩形O′C′D′E′与△OAB重登部分的面积为S．
①如图②，当矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为五边形时，D′E′与OB相交于点M，C′O′与BA相交于点
N，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当3≤t≤14时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
