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专题 22.8 图形中的动点问题——二次函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】如图1，矩形OABC顶点B的坐标为(6,2)，定点D的坐标为(9,0)，动点P从点O出发，以每秒
2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负
方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三
角形PQR．设运动时间为t秒．
（1）当t=___________时，△PQR的边QR经过点B，当t=___________时，点R落在边BC上；
（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图2，过定点E(4,0)作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点
R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，直接写出t的值___________．
【思路点拨】
（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，则有AB=AQ，由此列方程求出t即可，
当R落在BC边上时，因为ΔPQR是等腰直角三角形，故PR=❑√2AB，由此列出方程求解即可；
（2）在图形运动过程中分三种情况讨论，按t的取值范围分段写出关系式即可；
（3）首先判定四边形ABFE是正方形，其次通过旋转，由三角形全等证明MN=EN+BN，设EM=m，
BN=n，在Rt△FMN中，有勾股定理得出m和n的关系式，由此等式列方程求出t的值即可．
【解题过程】
解：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，∴AB=AQ，
即2=9−6−t，
解得t=1，
∴t=1时，△PQR的边QR经过点B；
点R落在边BC上，则R纵坐标的长度和AB相同，
∵△PQR为等腰直角三角形，
∴PQ=2AB=2×2=4，
即9−t−2t=4，
5
解得t= ，
3
5
∴t= 时，点R落在边BC上；
3
5
故答案为：1， ；
3
（2）①当0≤t≤1时，如图1所示，
设PR交BC于点G，
过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=2，
1
∴S=S −S =6×2− (2t+2t+2)×2=10−4t；
矩形OABC 梯形OPGC 2
5
②当1S B．S =S C．S ≤S D．S ≥S
△OEF △OCD △OEF △OCD △OEF △OCD △OEF △OCD
3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t(s).连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连
接DE、DF，则△≝¿面积最小值为（ ）
3 3 4 8
A． B． C． D．
2 4 5 5
4．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC的中点，点F是边AB上的
动点，连接FE并延长交DC的延长线于点G,点H在五边形ADCEF中，连接HG,HF,若
HF=HG,∠FHG=90∘,则四边形ADHF面积的最大值为（ ）
41 41
A． B． C．41 D．42
3 2
5．（2023·广东广州·一模）如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB=4，连接AD，以AD为
边作正方形ADEF，连接CE、CF，则当BD= 时，△CEF的面积为最小值 ．
6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，△ABC和△A′B′C′是边长分别为5和2的等边三角形，点B′
、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B
重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，请
写出y与x之间的函数关系式 ．7．（2023·山东泰安·一模）已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，
且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，则y与x的函数关系式是 ．
8．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠D=60°，点P，Q同时从
点A出发，点P以1cm/s的速度沿A→C→D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D的方
向运动，当其中一点到达点D时，两点停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，则y关于
x的函数关系的是 ．
9．（23-24九年级上·广东湛江·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=10cm，点P
从点A开始沿AB边向点B移动，速度为1cm/s；点Q从点B开始沿BC边向点C移动，速度为2cm/s，点
P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒.
（1）几秒时，PQ的长度为4❑√2cm？（2）几秒时，△PBQ的面积为8cm2？
（3）当t(00).
（1）用含t的代数式表示线段PD的长；
（2）当线段QE被边AC平分时，求t的值；
（3）设 ▱PDEQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S=6时t的值.13．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm．动点P，Q从A
同时出发，且速度均为3cm/s，点P，Q分别沿折线AB−BC，AD−DC向终点C运动．设点P的运动时
间为x(s)(00)，△PQE的面
积为y(cm2)．
（1）当x=1.5时，△PQE的形状是______．
（2）当点Q与点B重合时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．18．（2024·吉林四平·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，∠A=60°．点P从点A出发，沿
AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到点B停止．过点P作PQ⊥AB，交折线AD−DB于点Q，以
PQ、PB为边作矩形PQEB，设矩形PQEB与△ABD重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为
t(s)(00)，正方形APDE和△AQF重叠部分图形的面积为y(cm2)．
（1）当点D落在QF上时，x的值为______．
（2）当点D落在BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．20．（2024·天津西青·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB的顶点A的坐标为(16,0)，点B在第
一象限，∠OBA=90°，BO=BA，矩形OCDE的顶点E在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点D
坐标为(−4,10)．
（1）如图①，求点B的坐标；
（2）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′
，E′．设OO′=t，矩形O′C′D′E′与△OAB重登部分的面积为S．
①如图②，当矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为五边形时，D′E′与OB相交于点M，C′O′与BA相交于点
N，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当3≤t≤14时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
