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专题 22.8 图形中的动点问题——二次函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】如图1，矩形OABC顶点B的坐标为(6,2)，定点D的坐标为(9,0)，动点P从点O出发，以每秒
2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负
方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三
角形PQR．设运动时间为t秒．
（1）当t=___________时，△PQR的边QR经过点B，当t=___________时，点R落在边BC上；
（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图2，过定点E(4,0)作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点
R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，直接写出t的值___________．
【思路点拨】
（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，则有AB=AQ，由此列方程求出t即可，
当R落在BC边上时，因为ΔPQR是等腰直角三角形，故PR=❑√2AB，由此列出方程求解即可；
（2）在图形运动过程中分三种情况讨论，按t的取值范围分段写出关系式即可；
（3）首先判定四边形ABFE是正方形，其次通过旋转，由三角形全等证明MN=EN+BN，设EM=m，
BN=n，在Rt△FMN中，有勾股定理得出m和n的关系式，由此等式列方程求出t的值即可．
【解题过程】
解：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，∴AB=AQ，
即2=9−6−t，
解得t=1，
∴t=1时，△PQR的边QR经过点B；
点R落在边BC上，则R纵坐标的长度和AB相同，
∵△PQR为等腰直角三角形，
∴PQ=2AB=2×2=4，
即9−t−2t=4，
5
解得t= ，
3
5
∴t= 时，点R落在边BC上；
3
5
故答案为：1， ；
3
（2）①当0≤t≤1时，如图1所示，
设PR交BC于点G，
过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=2，
1
∴S=S −S =6×2− (2t+2t+2)×2=10−4t；
矩形OABC 梯形OPGC 2
5
②当1S B．S =S C．S ≤S D．S ≥S
△OEF △OCD △OEF △OCD △OEF △OCD △OEF △OCD
【思路点拨】
( 1 )
本题考查一次函数、二次函数，先根据一次函数的性质计算出S ，设点E的坐标为 m, m+2 ，用关
△OCD 2
于m的二次函数关系式表示出S ，求出二次函数的最值，即可判断S 与S 的大小关系．
△OEF △OEF △OCD
【解题过程】
解：∵点C在线段AB上，横坐标为−2，
1
∴点C的纵坐标为 ×(−2)+2=−1+2=1，
2
∴ OD=2，CD=1，
1 1
∴ S = OD⋅CD= ×2×1=1；
△OCD 2 2
( 1 )
设点E的坐标为 m, m+2 ，
21
则OF=|m)=−m，EF= m+2，
2
∴ S = 1 OF⋅EF= 1 (−m) (1 m+2 ) =− 1 m2−m=− 1 (m+2) 2+1，
△OEF 2 2 2 4 4
1
∵ − <0，
4
∴当m=−2时，S 取最大值，最大值为1，此时点E与点C重合，
△OEF
∴ S ≤S ，
△OEF △OCD
故选C．
3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出
发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t(s).连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连
接DE、DF，则△≝¿面积最小值为（ ）
3 3 4 8
A． B． C． D．
2 4 5 5
【思路点拨】
设△PCD的面积为y，根据面积公式求出y=5−t，根据勾股定理求出PC2=t2−10+29，结合
S S
△≝¿+S = 1 S ¿ 得到 △≝¿= 1 (t−4)2+ 3 ¿ ，根据二次函数的性质解答即可．
△PDC 2 正方形EFPC 2 2
【解题过程】
解：设△PCD的面积为y，
由题意得：AP=t，PD=5−t，
1 1
∴y= CD⋅PD= ×2×(5−t)=5−t，
2 2
∵四边形EFPC是正方形，
∴S
1 ，
△≝¿+S = S ¿
△PDC 2 正方形EFPC
∵PC2=PD2+CD2，
∴PC2=22+(5−t) 2=t2−10t+29，∴S
△≝¿= 1 (t2−10t+29)−(5−t)= 1 t2−4t+ 19 = 1 (t−4)2+ 3 ¿ ，
2 2 2 2 2
3
当t为4时，△≝¿的面积最小，且最小值为 ．
2
故选：A．
4．（2024·安徽淮南·三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC的中点，点F是边AB上的
动点，连接FE并延长交DC的延长线于点G,点H在五边形ADCEF中，连接HG,HF,若
HF=HG,∠FHG=90∘,则四边形ADHF面积的最大值为（ ）
41 41
A． B． C．41 D．42
3 2
【思路点拨】
先证明△EFB≌△EGC(ASA)，再证明四边形BERQ为正方形和四边形AQHT为矩形，利用已知条件从
而可推出HT的长度，最后利用面积法列二次函数从而求出△AFH的最大面积，即可求出四边形AQHD面
积的最大值．
【解题过程】
解：过点H作HQ⊥AB于点Q，过点E作ER⊥HQ于点R，过点H作HT⊥AD于点T，连接EH和AH
，如图所示，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE,在△EFB和△EGC中，
{∠FEB=∠GEC
)
BE=CE
∠EBF=∠GCE
∴△EFB≌△EGC(ASA)
∴EF=EG
∴△FHG是等腰直角三角形，
∴HE=EF=EG，HE⊥FG,
∵ER⊥QR,四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BQR=∠ERQ=90°,
∴四边形BERQ是矩形，
∵∠FEH=90°,∠BER=90°,
∴∠BEF+∠FER=∠REH+∠REF,
∴∠BEF=∠REH,
∵∠B=∠ERH=∠ERQ=90°,∠BEF=∠REH,EF=EH,
∴△BEF≌△REH(AAS)，
∴BE=ER,BF=RH,
∵BE=EC,BC=AD=8,
∴ER=RQ=BE=4,
∵四边形BQRE为矩形，
∴四边形BQRE为正方形，
∴BQ=BE=4,
∵AB=6,
∴AQ=AB−BQ=6−4=2,
∵HQ⊥AB,HT⊥AD,∠BAD=90°,
∴四边形HQAT是矩形，
∴HT=AQ=2,
1 1
∴S = AD⋅HT= ×8×2=8,
△ADH 2 2
设BF=RH=x,
∴QH=QR+RH=4+x，
1 1 25
∴S = ×(6−x)⋅(4+x)=− (x−1) 2+ ，
△AFH 2 2 21
∵− <0
2
25
∴当x=1时，△AFH的面积最大，最大值为 ，
2
25 41
所以，四边形ADHF面积的最大值为S +S = +8=
△AFH △ADH 2 2
故选：B
5．（2023·广东广州·一模）如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB=4，连接AD，以AD为
边作正方形ADEF，连接CE、CF，则当BD= 时，△CEF的面积为最小值 ．
【思路点拨】
设BD=x，CD=4−x，根据勾股定理用含x代数式表示出正方形ADEF的面积，利用面积关系
1
S = S −S 表示出关于x的函数关系式，然后根据函数性质求出△CEF的面积最小值．
△CEF 2 □ADEF △ACD
【解题过程】
解：如图，过点A作AH⊥BC垂足为点H，
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
1 1 ❑√3
∴BH=HC= BC= AB=2，AH=AB⋅sin60°=4× =2❑√3，
2 2 2
设BD=x，则DH=2−x，CD=4−x，
S =AD2=DH2+AH2=(2−x) 2+(2❑√3) 2=x2−4x+16，
正方形ADEF1 1
S = CD⋅AH= ×2❑√3×(4−x)=4❑√3−❑√3x，
△ACD 2 2
如图，在正方形ADEF中，AD=DE=EF=AF，过点C作AF的垂线，交AF于点M，交DE于点N，
∵AF∥DE，MN⊥AF，
∴MN⊥DE，
∴四边形ADNM为矩形，MN=AD=DE=EF=AF，
1 1 1 1 1 1
∴S +S = AF⋅MC+ DE⋅CN= DE(MC+CN)= DE⋅MN= DE2= S ,
△ACF △DCE 2 2 2 2 2 2 正方形ADEF
1
∴S +S = S ，
△ADC △EFC 2 正方形ADEF
1 1 1
S = S −S = (x2−4x+16)−(4❑√3−❑√3x)= x2−(2−❑√3)x+8−4❑√3，
△CEF 2 正方形ADEF △ACD 2 2
1 9
当x=2−❑√3时，S 的面积最小为 (2−❑√3) 2 −(2−❑√3) 2+8−4❑√3= −2❑√3，
△CEF 2 2
9
故答案为：2−❑√3， −2❑√3．
2
6．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，△ABC和△A′B′C′是边长分别为5和2的等边三角形，点B′
、C′、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移．开始时，点C′与点B
重合，当点B′移动到与点C重合时停止．设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，请
写出y与x之间的函数关系式 ．
【思路点拨】
根据运动过程可分三种情况讨论：当00，
∴当t=3时，四边形APQC的面积最小，最小值为21．
10．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两
个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．
（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？
（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）求出y的最大值．
【思路点拨】
（1）由于在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，由此可以利用勾股定理求出BC，AC的长度，
又两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C，利用这个条件即可求解；
（2）有两种情况：①当Q在AB上，利用（1）的结论和三角形的面积公式即可求解；②当Q在BC上，利
用（1）的结论求出BQ，CQ的长度，也就可以求出Q到AB的距离，再利用三角形的面积公式即可求解；
（3）利用（2）的结论和二次函数的性质即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，
∴BC=2，AC=❑√3，
而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C，
∴Q的速度是P的速度的(2+1)÷❑√3=❑√3倍；
（2）解：∵设AP=x，△APQ的面积是y，
①当Q在AB上，
❑√3 ❑√3
即0 ，
16 6
❑√3 3❑√3
∴当x= 时，y = ．
2 最大 16
11．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）等腰直角△ABC的直角边AB=BC=20cm,AC=20❑√2cm，点
P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边
BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S =S ？
△PCQ △ABC
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？如果不变，请直接写出DE的长
度；如果改变，请说明理由．
【思路点拨】
（1）由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/秒，求出QC、PB与t的关系
式就可得出S与t的关系；（2）求出△ABC的面积，结合S =S ，设P运动的时间为t秒，分别分析当t<20秒时，以及当
△PCQ △ABC
t>20秒时得出t的值即可；
（3）过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，连接EQ、PM，易证△APE≌△QCM，证得四边形
PEQM是平行四边形，再结合题意可求得DE的长．
【解题过程】
（1）解：当t≤20秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=20−t，
1 1 1
∴S = CQ•PB= ×t×(20−t)=− t2+10t；
△PCQ 2 2 2
当t>20秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=t，PB=t−20，
1 1 1
∴S = CQ·PB= ×t×(t−20)= t2−10t，
△PCQ 2 2 2
1
{ − t2+10t(020)
2
1 1
（2）解：S = AB⋅BC= ×20×20=200cm2 ，
△ABC 2 2
1
当020秒时， t2−10t=200，
2
解得x =10+10❑√5,x =10−10❑√5（舍去），
1 2
∴当点P运动(10+10❑√5)秒时，S =S ；
△PCQ △ABC
（3）解：线段DE的长度不会改变，理由如下：
如图，过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，∵AB=BC=20cm，
∴∠A=∠ACB=∠QCM=45°
∵AP=QC=t，∠QMC=∠AEP=90°
∴△APE≌△QCM(AAS)，
❑√2
∴AE=PE=CM=QM= t，
2
∵EP∥QM，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半，
∴EM=EC+CM=EC+AE=20❑√2，
1
∴ED= EM=10❑√2；
2
同理，当点P在点B右侧时，DE=10❑√2，
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变，为10❑√2．
12．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=8，点D为BC
边的中点.动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，同时动点Q从点A出
发，以每秒❑√2个单位长度的速度沿边AB向终点B运动，当点P与点D、C不重合时，以PQ、PD为邻
边作▱PDEQ，设点P的运动时间为t秒(t>0).
（1）用含t的代数式表示线段PD的长；
（2）当线段QE被边AC平分时，求t的值；
（3）设▱PDEQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S=6时t的值.
【思路点拨】
（1）分00)，△PQE的面
积为y(cm2)．
（1）当x=1.5时，△PQE的形状是______．
（2）当点Q与点B重合时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【思路点拨】
（1）由题意得出当x=1.5时，点P在AD上，如图，作QF⊥AB于F，则∠QFA=∠QFB=90°，证明
△EAP≌△QFE(AAS)，得出PE=QE，即可得证；
（2）求出当点Q与点B重合时，此时点P的运动的距离为6cm，计算即可得出答案；
（3）分三个阶段：当00)，正方形APDE和△AQF重叠部分图形的面积为y(cm2)．
（1）当点D落在QF上时，x的值为______．
（2）当点D落在BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【思路点拨】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问题，二次函数的应用，分类讨论是解题
的关键．
（1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得AP=PQ=BQ=x，进而即可求解；
（2）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得AP=BP=x，进而即可求解；
4 4
（3）分三种情况：当0
