文档内容
第 03 讲 导数与函数的极值、最值
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
高频考点二：求已知函数的极值（点）
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
高频考点四：求函数的最值（不含参）
高频考点五：求函数的最值（含参）
高频考点六：根据函数的最值求参数
高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 03 讲 导数与函数的极值、最值（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的极值一般地，对于函数 ，
（1）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极小值点， 叫做函数 的极小值.
（2）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极大值点， 叫做函数 的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小
值.
设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求 在 内的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
（2）在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个
（或者没有）；
（3）函数 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·全国·高二课前预习）函数 在区间 上连续，则 在区间 上一定有最值，但不
一定有极值. ( )
2．（2021·全国·高二课前预习）函数的最大值不一定是函数的极大值.( )
3．（2021·全国·高二课前预习）函数的极大值一定大于极小值. ( )
4．（2021·全国·高二课前预习）有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值. ( )
二、单选题
1．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）函数 在闭区间 上的最大值、最小值分别是 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二期末）函数y＝ 的最大值为（ ）
A．e－1 B．e C．e2 D．10
3．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知函数 的导函数的图象如图所示，则 极值点的个数为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）若函数 在 处取得极值，
则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二开学考试）已知函数 的导函数 的图像如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，函数 取得极小值
B．函数 在区间 上是单调递增的
C．当 时，函数 取得极大值D．函数 在区间 上是单调递增的
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 的导函数为 ，函数 的图像如图所示，则
（ ）
A． 的极大值为 ，极小值为
B． 的极大值为 ，极小值为
C． 的极大值为 ，极小值为
D． 的极大值为 ，极小值为
3．（2022·宁夏·银川二中高二期末（文））已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正
确的是（ ）.
A．函数 在 上是增函数
B．
C．
D． 是函数 的极小值点
4．（2022·全国·高二）如图是函数 的大致图象，则 （ ）
A． B． C． D．
高频考点二：求已知函数的极值（点）1．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）函数 ， 有（ ）
A．极大值25，极小值 B．极大值25，极小值
C．极大值25，无极小值 D．极小值 ，无极大值
2．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知函数 在 处取得极值，则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二）已知函数 ，则 在定义域上（ ）
A．有极小值 B．有极大值 C．有最大值 D．无最小值
4．（2022·全国·高二）函数 的极大值与极小值之和为（ ）
A． B．3 C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）若 是函数 的极值点，则函数 （ ）
A．有极小值1 B．有极大值1 C．有极小值-1 D．有极大值-1
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
1．（2022·河南新乡·二模（文））已知 ，函数 的极小值为 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 在 处取得极值，则 的
最小值为___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数 不存在极值点，则 的取值范围是______．
4．（2022·江西南昌·高二期末（文））已知函数 在 处有极值2，则 ______.
5．（2022·全国·高二课时练习）函数 在x＝1处有极值为10，则b的值为
__.
6．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））若函数 在区间 上有两个
极值点，则实数a的取值范围是______．
7．（2022·宁夏·平罗中学高二期末（文））若函数 ，函数 有极值 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 的单调区间.高频考点四：求函数的最值（不含参）
1．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））已知 是 的极值点，则 在
上的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）函数 在 上的最值情
况为（ ）
A．最大值为12 B．最大值为5
C．最小值为 D．最小值为
3．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）已知函数
(1)求 在 处的切线方程；
(2)求 在 上的最值．
4．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）已知关于x的函数 ，
且函数f（x）在 处有极值－ ．
(1)求实数b，c的值；
(2)求函数f（x）在[－1，2]上的最大值和最小值．5．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）已知函数 ．（ 为常数）
(1)当 时，求函数 的最值；
6．（2022·辽宁·朝阳市第二高级中学高二阶段练习）已知 ．
(1)若 在 处取得极值，求 的最小值；
7．（2022·江苏·常熟中学高二阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 在区间 上的最大值；
高频考点五：求函数的最值（含参）
1．（2022·广西·高二期末（文））已知函数 .
(1)若 ，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，求 在区间 上的最小值和最大值.2．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）设函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 有最大值并记为 ，求 的最小值；
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)证明函数 存在最小值 ，并求出函数 的最大值.
4．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）已知函数 ， ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求 在区间 上的最小值.5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 ．
(1)若 仅有一个零点，求a的取值范围；
(2)若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，求 的最小值．
高频考点六：根据函数的最值求参数
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数 无最大值，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知 ，函数 的最小值为 ，则
（ ）
A．1或2 B．2 C．1或3 D．2或3
3．（2022·河南开封·高二阶段练习（理））已知函数 在区间 上有最小值，
则实数a的取值范围是______．
4．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 在 上的最大值为 ，求实数 的值．5．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）已知函数
(1)讨论 在定义域内的单调性；
(2)若 ，且 在 上的最小值为 ，求实数 的值.
6．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习（文））已知函数 .
(1)若 在 上不单调，求a的取值范围；
(2)若 的最小值为 ，求a的值.
7．（2022·全国·高二单元测试）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)函数 在区间 上的最小值小于零，求a的取值范围．高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用
1．（2022·全国·高二）已知函数 ，若函数 在 上存在最小值，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（文））函数 有极小值，且
极小值为0，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极小值 ，且
在区间 上存在最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 在区间 上存在最小值，则实数m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南焦作·二模（文））已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)若函数 在区间 上没有极值，求实数k的取值范围.6．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明： 是函数 存在最小值的充分而不必要条件.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 ，
(1)讨论函数 的极值情况；
(2)求函数 在区间 上的最大值.第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））设 ，若 为函数 的极大值点，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
3．（2021·全国·高考真题（文））设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.
4．（2020·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．5．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
第五部分：第 03 讲 导数与函数的极值、最值（精
练）
一、单选题
1．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二阶段练习（理））已知函数 在 处有极小值，
则实数m的值为（ ）
A．3 B．－1或－3 C．－1 D．－3
2．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）函数 的定义域为开区间 ，导函数
在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）函数 的极值点为（ ）A． B． C． D．
4．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数 在 上不存在
极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建省漳州第一中学高二阶段练习）函数 在区间(0，e](其中e为自然对数的底数)
上的最大值为（ ）
A． B．－1 C．－e D．0
6．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）函数 在区间 上有最大值，则m的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·陕西商洛·一模（理））若对任意的 ，恒有 ，则a的取值范围为
（ ）
A．（—∞，e] B．
C．（—∞， ] D．[ ，+∞）
8．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））直线 分别与函数 ， 交于 ， 两点，
则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
9．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）若函数 在 上的最大值为3，则
___________.
10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值
分别为m，n，则m－n＝________.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与曲线 相切，当 取得最大值时， 的值为
_______________________．
12．（2022·重庆市二0三中学校高二阶段练习）已知函数 在x＝2处取得极
小值，则 ______．三、解答题
13．（2022·北京工业大学附属中学高二阶段练习）设函数 .
(1)若 ，求 的极值；
(2)讨论函数 的单调性.
14．（2022·陕西·西安市庆安高级中学高二阶段练习（理））已知函数 .
(1)若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极值；
(2)若函数f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围.
15．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若 在区间 上的最大值为M，最小值为m，求证： ．
16．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数 .
(1)判断 的单调性；
(2)若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
