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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 12 ω 的值和取值范围问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、与对称性有关
T
(1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是 ；
2
T
(2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是 ；
2
T
(3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离 ；
4
二、与单调性有关
三、与零点和极值点有关
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和
周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值，极值点的处理
方法也是类似的.
二、题型精讲精练
【典例1】若存在实数 ，使得函数 ( >0)的图象的一个对称中心为( ，0)，则ω
的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【详解】由于函数 的图象的一个对称中心为 ，所以 ，所以
，由于 ，则 ，
因为 ，所以可得： ，故选：C
【典例2】已知函数 在区间 上单调递减，则正实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意知， ，
令 ，解得 ，
又函数 在区间 上单调递减，所以 ，解得 ，
当 时， .故选：C.
【典例3】已知函数 在 上恰有2个不同的零点，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．【详解】由题意可得 ，
由 ，得 ，
因为函数 在 上恰有2个不同的零点，
所以 ，即 ，故选：A
【题型训练1-刷真题】
一、填空题
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的
取值范围是________．
【答案】
【分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
二、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
【题型训练2-刷模拟】
1 . 与对称性有关
一、单选题
1．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）将函数 的图象向右平移 个单
位长度得到曲线 ，若 关于点 对称，则 的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】利用三角函数图象变换结论求出变换后的函数图象额解析式，再由余弦函数的对称性的性质求
的最小值.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位长度得到的曲线的函数解析式为 ，
由已知函数 的图象关于点 对称，
所以 ， ，
所以 ，又 ，
所以 的最小值是 ，
故选：B.
2．（2023·浙江·统考二模）已知函数 ，若 在区间 是单调函数，
且 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． 或 D． 或2
【答案】B
【分析】由 在区间 是有单调性，可得 范围，从而得 ；由 ，
可得函数 关于 对称，又 ， 有对称中心为 ,讨论 与 是否在同
一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可.
【详解】 在区间 是有单调性， ，
， ；
， 函数 关于 对称，
离最近对称轴 的距离为 ；
又 ， 有对称中心为 ；由题意可知：若 与 为不是同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
则 ，可得 ， ,不符合舍去，
若 与 为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
那么： ，可得 ， ．
综上可知
故选:B
3．（2023·安徽马鞍山·统考三模）记函数 的最小正周期为 ，若 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由最小正周期 可得 ，再由 即可得 ，即可求
得 .
【详解】函数 的最小正周期 ，则 ，解得 ；
又 ，即 是函数 的一条对称轴，
所以 ，解得 .
又 ，当 时， .
故选：C.
4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ，若对于任意实数x，都有，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数 图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.
【详解】因为对于任意实数x，都有 ，则有函数 图象关于点 对称，
因此 ，解得 ，而 ，
所以当 时， 取得最小值4.
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，其图象的一条对称轴在区间
内，且 的最小正周期大于 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先利用辅助角公式化简，再求出函数的对称轴方程，由图像的一条对称轴在区间 内，求出
的取值范围，验证周期得答案
【详解】解： ，
由 ，得 ，
取 ，得 ，取 ，得 ，
由 ，得 ，此时 ，
由 ，得 ，此时 ，不合题意，依次当 取其它整数时，不合题意，所以 的取值范围为 ，
故选：C
6．（2023·全国·高三专题练习）若存在唯一的实数 ，使得曲线 关于直线
对称，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得 ， ， 只有唯一的值落在 中，从而列不等
式组可求出答案.
【详解】由 ， ，得 ， ，
，
因为存在唯一的实数 ，使得曲线 关于直线 对称，
所以 只有唯一的值落在 （ ）中，
所以 ，解得 ，
故选：C．
7．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数 ，（ ）的图象在区间
内至多存在3条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据 ， ，得到 ，数形结合得到 ，求出
答案.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
画出 的图象，
要想图象在区间 内至多存在3条对称轴，则 ，
解得 .
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间[0， ]上有且仅有3条对称轴，
则 的取值范围是（ ）
A．（ ， ] B．（ ， ] C．[ ， ） D．[ ， ）
【答案】C
【分析】求出函数的对称轴方程为 ， ，原题等价于 有3个整数k符合，
解不等式 即得解.
【详解】解： ，
令 ， ，则 ， ，函数f（x）在区间[0， ]上有且仅有3条对称轴，即 有3个整数k符合，
，得 ，则 ，
即 ，∴ .
故选：C.
9．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）已知函数 的最小正周期
为T，若 ，且函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据 ，求得 ，再根据余弦函数的对称性即可得出答案.
【详解】 ，
，
因为 ，所以 ，
则 ，
又因函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，所以 ，
又因为 ，
所以当 时， .故选：C.
10．（2023·辽宁锦州·统考二模）已知函数 ，若 使得 的图象在点 处的切线与 轴平行，则 的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先利用辅助角公式化简函数，根据题意得函数 在 上存在对称轴，利用整体代换列不
等式，解不等式即可求出最值.
【详解】 ，
因为 使得 的图象在点 处的切线与 轴平行，
所以函数 在 上存在最值，即函数 在 上存在对称轴，
令 ，得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，则 ，
又 ，故 时， 取最小值为 ，
故选：A
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数，且
在 上单调，则 的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
【答案】C
【分析】由 、 是偶函数得到 ，再由 在上单调可得 可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ①.，因为 是偶函数，
所以直线 是 图象的对称轴，所以 ②.
由①②可得， ，又 ，所以 ，
则 ，
因为 在 上单调， 的最小正周期为 ，
所以 ，解得 ，故 的最大值为5，经检验， 在 上单调.
故选：C.
2 . 与单调性有关
一、单选题
1．（2023·四川成都·石室中学校考三模）将函数 的图象向右平移 个单位长度
后得到函数 的图象，若 在 上单调递增，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】求出 的解析式，根据 在 上单调递增得 可得答案.【详解】将 的图象向右平移 个单位长度后得到
的图象，
因为 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 的最大值为 .
故选：A.
2．（2023·山东青岛·统考三模）将函数 图象向左平移 后，得到 的图象，
若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的图像变换及单调性计算即可.
【详解】 向左平移 ，
得 ，
时， ， 在 上单调递减，
即 ，故 .
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的最小正周期为 ，且当
时，函数 取最小值，若函数 在 上单调递减，则a的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最小正周期求出 ，根据当 时，函数取最小值，求出 ，从而
，由 得到 ，由单调性列出不等式，求出 ，得到
答案.
【详解】因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，解得： ，
因为 ，所以只有当 时， 满足要求，
故 ，因为 ，所以 ，
故 ，解得： ，
故a的最小值为 .
故选：A
4．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数 在 上单调递减，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数图像性质可得单调区间长度小于等于半周期，即 可得 ，再利用
整体代换法即可求得 ， 取 即可得出结果.【详解】函数 的最小正周期 ，
所以 ，即 ．
当 时， ，
依题意知 ， ，
解得 ，又
∴当 时成立， ．
故选：A．
5．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数 是区间 上的增函数，则正实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 求得 ，再利用余弦函数的单调区间建立
即可求解.
【详解】 ， ，
又因为函数 是区间 上的增函数，解得
因为 为正实数，所以 ，从而 ，
又 ， 所以正实数 的取值范围是为 .
故选：C
6．（2023·广东·校联考模拟预测）若函数 是区间 上的减函数，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数 在区间 上是减函数，对 进行分类讨论，再分别解之即可.
【详解】 函数 是区间 上的减函数，则
①当 时，则 ，则由 得
，故 ，则 无解.
②当 时，则 ，则由 得，故 ，则有 .
综上①②知： .
故选：B
7．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知 ，函数 在区间 上单调递减，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的单调性求出函数 的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系
进行求解即可.
【详解】由 ，得 ，
即函数的单调递减区间为 ，
令 ，则函数 其中一个的单调递减区间为：
函数 在区间 内单调递减，
则满足 ，得 ，所以 的取值范围是 .
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上单调递增，且
在区间 上只取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式变形函数 ，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数
的范围.
【详解】依题意，函数 ， ，
因为 在区间 上单调递增，由 ，则 ，
于是 且 ，解得 且 ，即 ，
当 时， ，因为 在区间 上只取得一次最大值，
因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
9．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 在区间 上不单调，
则 的最小正整数值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由二倍角公式以及辅助角公式化简 ，进而根据 为正整数，由
的范围，即可结合正弦函数的单调区间进行求解.
【详解】 ，
由于 为正整数，
当 时， ，此时故此时 在 上单调， 时不符合，
当 时， ，此时 且
故此时 在 先增后减，因此不单调， 符合，
当 时， ，此时 ，
而 的周期为 ，此时 在 上不单调， 符合，但不是最小的正整数，同理 要
求符合，但不是最小的正整数，
故选：B
10．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知函数
在区间 上单调递增，若存在唯一的实数 ，使得 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理可得 ，结合题意结合正弦函数性质分析运算.
【详解】由题意可得： ，且 ，
①因为 ，可得 ，
若存在唯一的实数 ，使得 ，
则 ，解得 ；
②又因为 ，且 ，可得 ，
若函数 在区间 上单调递增，
注意到 ，则 ，解得 ；
综上所述： 的取值范围是 .故答案为：B.
11．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）函数 恒有 ，且 在
上单调递增，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【分析】由题意可得 时 取得最大值，可得 .根据单调性可得 ，即
，根据 可求 的值.
【详解】因为恒有 ，所以当 时 取得最大值，
所以 ，得 .
因为 在 上单调递增，所以 ,即 ，得 .因为 ，所以 .
因为 在 上单调递增，
所以 ,得 .
所以 ，且 ， ，解得 ， .故 .故选：B.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是偶函数，且
在 上单调，则 的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
【答案】C
【分析】由 、 是偶函数得到 ，再由 在
上单调可得 可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ①.，因为 是偶函数，
所以直线 是 图象的对称轴，所以 ②.
由①②可得， ，又 ，所以 ，
则 ，因为 在 上单调， 的最小正周期为 ，
所以 ，解得 ，故 的最大值为5，经检验， 在 上单调.
故选：C.
13．（2023春·安徽阜阳·高三校考阶段练习）已知函数 在 上单调递增，
且当 时， 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知，分别根据函数 在区间 上单调递增，在 时， 恒成立，列出
不等关系，通过赋值，并结合 的本身范围进行求解.
【详解】由已知，函数 在 上单调递增，
所以 ，解得： ，
由于 ，所以 ，解得： ①
又因为函数 在 上 恒成立，
所以 ，解得： ，
由于 ，所以 ，解得：
②又因为 ，当 时，由①②可知： ，解得 ；
当 时，由①②可知： ，解得 .
所以 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组
对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.
3 . 与零点、极值点有关
一、单选题
1．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 ， 是 的一个极值点，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据极值点的定义结合正弦函数图像的性质， 是 的一条对称轴，可求得 表达式，即
可求出答案.
【详解】由 是 的一个极值点，结合正弦函数图像的性质可知， 是 的一条对称轴，
即 ， ，求得 ，
，当 时， 的最小值为 .
故选：A.
2．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数 的最小正周期为T，若 ，
且 是 的一个极值点，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的周期确定 的范围，再由极值点求出 的值作答.
【详解】函数 的最小正周期为 ，于是 ，解得 ，
因为 是 的一个极值点，则 ，解得 ，
所以 .
故选：D
3．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数 在 上有3个极值
点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意求出 的范围，然后根据正弦函数的性质及题意建立不等关系，求得参数的取值范围
即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，因为函数 在 上有3个极值点，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：C.
4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数 在 上存在零
点，且在 上单调，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函数的图象与性质可得 及 ，
继而可得 ，计算可得结果.
【详解】化简 ，
在 时， ，该区间上有零点，故 ，
又 时 单调，则 ，即 ，
故
故选：C5．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）若函数 在区间 上恰有唯一极值点，
则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解．
【详解】当 ， ，
由于 在区间 上恰有唯一极值点，
故满足 ，解得 ，
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 内恰有4个极值点和3
个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】辅助角化简 ，由已知 上 恰有4个极值点和3个
零点，数形结合列不等式求参数 的范围.
【详解】由 且 ，
因为 ，所以 ，
又 在 内恰有4个极值点和3个零点，由正弦函数的图象知： ，解得： ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C
7．（2023·河南郑州·三模）设函数 在区间 内恰有三个极值点、两个零点，则 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦函数的性质列不等式求解.
【详解】 时， ， ，因此由题意 ，解得 ．故选：A．
8．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数 在 有且仅有两
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简得到 ，结合 和三角函数的性质，列出不等式，即可
求解.
【详解】由函数 ，
因为 ，可得 ，则 ，
又由函数 在 仅有两个零点，且 ，则满足 ，解得 .
故选：C．
9．（2023·陕西商洛·统考三模）记函数 的最小正周期为 ，且 ，
若 在 上恰有3个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 求得 ，使用整体换元法求得 的范围， 根据 在 上恰有3个零
点列出满足的不等式关系求解即可.
【详解】因为 的最小正周期为T，所以 ．
又 ，所以 ，
当 时， ，
由 在 上恰有3个零点，得 ，
解得 ．
故选：A
10．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数 ，若 在区间
上有且仅有 个零点和 条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质的应用即可求出 的取值
范围．【详解】函数 ，
令 ，由 ，则 ，
又函数 在区间 上有且仅有 个零点和 条对称轴，
即 在区间 上有且仅有 个零点和 条对称轴，
作出 的图象如下，
所以 ，得 ．
故选：D．
11．（2023·全国·高三专题练习）记函数 的最小正周期为 .若
， 为 的零点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】先求出函数的周期 ，再由 可求出 ，然后由 为 的零点，可求得结果.
【详解】因为 的最小正周期为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 为 的零点，
所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的最小值为4，
故选：C
12．（2023·新疆·校联考二模）若函数 在区间 上的三个零点为 ， ， ，
且 ，且 ，则下列结论：（ ）
① 的最小正周期为 ；
② 在区间 有3个极值点；
③ 在区间 上单调递增；
④ 为函数 离原点最近的对称中心．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】先利用条件求出 ，再利用三角函数的图像与性质，以及 的零点、极值
点，逐一对各个选项分析判断即可得到结果．
【详解】令 ，则由 ，得 ，
所以 ，由 ，得到如图，由 的图像与性质知， ， ，
即
化简得 ，
将 代入得 ，所以 ，故①正确；
对于②，因为 ，
由 的图像与性质知，函数 的极值点，即函数 的最值点，
所以由 ，得到 ，
又因为 ，所以 或 ，
所以 在区间 上有且仅有2个极值点，故②错误；
对于③，由 ， ，得 ，所以 在 上单调递增，在
上单调递减，
由 ，得到 ，由 ，得到 ，
所以 在区间在 上单调递增，在区间 上单调递减，故③错误；
对于④，令 ，解得 ，当 时， 为最小，
所以函数 离原点最近的对称中心为 ，故④错误．故选：B．
