文档内容
第 10 讲 拓展三：通过求二阶导函数解决
导数问题 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：利用二阶导数求函数的极值
高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性
高频考点三：利用二阶导数求参数的范围
高频考点四：利用二阶导数证明不等式
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 10 讲 拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题 （精
练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆1、函数极值的第二判定定理：
若 在 附近有连续的导函数 ，且 ，
（1）若 则 在点 处取极大值；
（2）若 则 在点 处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数f '(x)，无法判断导函数正负；
（2）对函数 一次求导得到 之后，解不等式 难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有 或
3、解题步骤：
设 ，再求 ，求出 的解，即得到 函数 的单调性，得到函数
的最值，即可得到 的正负情况，即可得到函数 的单调性.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 ，对于任意的 ， ，且
都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
令 ，则 ，
因为对于任意的 ， ，且 ，都有 ，
即 成立，
所以对于任意的 ， ，且 都有 成立，
所以函数 在 上单调递减，则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
设 ，
则
所以 在 上单调递减
所以
所以当 时，
因为在 上， ，即 ，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选：A
2．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））设 ， ， ，则a，
b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：设 ，则 ，
所以 在 上递减，所以 ，即 ，
设 ，则 ， 递增，
则 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ， ，
当 时， ，则 递减，又 ，
所以当 时， ， 递减，
则 ，即 ，
因为 ，则 ，所以 ，即 ，
故 ，
故选：D
3．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））设函数f（x）在区间I上有定义，若对
和 ，都有 ，那么称f（x）为I上的凹函数，
若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹
麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为 ，其二阶
导数为 （即对函数 再求导，记为 ），若 ，那么函数f（x）是严格的凹函数（
， 均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数 在定义域内为严格的凹
函数，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【详解】
由 ，得 ，
令 ，则 ，
令 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，g（x）单调递减；
当 时， ，g（x）单调递增，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
4．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））设函数 在区间I上有定义，若对I上的任
意两个数 ， 和任意的 ，都有 ，那么称 为I上的凹函数，若等号不成立，即“ ”号成立，则称 在I上为严格的凹函数，对于上述不等式的证明，19
世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在 上的函数 ，其一阶导数为 ，其二
阶导数为 （即对函数 再求导，记为 ），若 ， ，那么函数 是严
格的凹函数（ ， 均可导），试根据以上信息解决如下问题：若函数 在定
义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【详解】
由 ，得 ，
所以 ，令 ，得 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以 .
故答案为：
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用二阶导数求函数的极值
1．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A．函数 在 上无极值点
B．函数 在 上存在唯一极值点
C．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数a的最大值为
D．若 ，则 的最大值为【答案】AD
【详解】
对于A： ，令 ，则 ，令 ，解得： ，令
，解得： ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，故
，故 在 上单调递增，故函数 在 上无极值点，故A正确；
对于B： ，令 ，则 ，令 ，解得： ，令 ，
解得： ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，故 在
上单调递增，则函数 在 上无极值点，故B错误；
对于C：由A得 在 上单调递增，不等式 恒成立，则 恒成立，故
恒成立.设 ，则 ，令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，故 ，故C错误；
对于D：若 ，则 .由A，B可知函数 在 上单调递增，
在 上单调递增，∵ ，∴ ， ，且 ，当 时，
，设 ，设 ，则 ，令 ，解得
，令 ，解得： ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，故
，此时 ，故 的最大值为 ，故D正确.
故选：AD.
2．（2022·全国·高二单元测试）已知函数 .
(1)若函数 在区间 （其中 ）上存在极值，求实数a的取值范围；
(2)如果当 时，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1) (2)
(1)
函数 的定义域为 ，则 .令 ，
当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
故函数 在 处取得极大值，且极大值为 .
∵函数 在区间 (其中 )上存在极值，
∴ ，解得 ，即实数 的取值范围为 ；
(2)
当 时，不等式 ，即 .
令 ( )，
∴ .
令 ( )，则 ，
∴ 在 上单调递增，∴ ，
从而 ，故 在 上也是单调递增，
∴ ，∴ .
3．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知函数
(1)若 ，证明：当 时， ，当 时， ；
(2)记函数 ，若 是 的极小值点，求实数 的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)
证明：令 ，
则 ， ，
当 时 ，当 时 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ， 在 上单调递增
当 时， ，故 ，
同理得当 时， ．
(2)
，
则 ， 满足题意
若 是 的极小值点，在 附近的左侧 ，右侧 ，
即存在 ，使得 在 上单调递增
在 上恒成立
而 ，故在 附近的左侧 ，右侧 ，
，可得 ，
此时 ，由（1）可知满足题意
时， 是 的极小值点
4．（2022·新疆·模拟预测（理））设函数 ，其中
(1)当 时，讨论 单调性；
(2)证明： 有唯一极值点 ，且 .
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增；(2)证明见解析.
(1)
当 时， ，定义域为 ，
则 ， ，
所以 在 上单调递增，又 ，
当 时， ，所以 在区间 上单调递减；
当 时， ，所以 在区间 上单调递增.
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)
由题意， ， ，则 在 上单调递增，至多有一个零点，令 ，其中 ，则 ，
当 时， ， 单调递增.
当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，于是 ，
令 ，则 ，两边取自然对数可得 ，
令 ，则 在 上单调递增.
故 ，又 ，
所以 在 上有唯一零点 ，则 有唯一零点 ，即 有唯一极值点 .
下证 ：
因为 ，所以 ，可得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
综上， 有唯一极值点 且 ，得证.
5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数 ，且 .
(1)求实数a的值；
(2)求证： 存在唯一的极小值点 ，且 ；
(3)设 ， .对 ， 恒成立，求实数b的取
值范围.
（参考结论： ， ）
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
(1)
解：由题意，函数 ，可得其定义域为 ，
因为 ，且 ，可得 ，且 时函数的一个极值点，令 ，可得 ，
因为 ，且 ，可得 ，解得 ，
当 时， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，符合题意.
所以实数 的值为 .
(2)
证明：由函数 ，
可得 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
又由 ， ， ，
所以 ，使得 ，
当 时， ，即 ， 单调递增；
当 时， ，即 ， 单调递减；
当 时， ，即 ， 单调递增，
所以 存在唯一极小值点 .
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以
设 ，可得 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
因为 ，所以 ，
综上可得： .
(3)
解：对 ， 恒成立，即 恒成立，
即不等式 恒成立.
当 时，不等式对任意实数b都成立；
当 时， ，所以 ，
令 ，
可得 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ， 单调递减，所以 ，
所以 ， 单调递减，
又由当 时， ，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
6．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数
(1)讨论函数 在（ ， ）上极值点的个数；(2)当 时， .其中 为 的导函数，求实数m的取值范围.
【答案】(1)1；(2) .
(1)
解：由题得 ，
当 时， .
当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减.
所以函数 在（ ， ）上极值点的个数为1.
(2)
解：由题得 在 上恒成立，
即 恒成立，
因为 ，
①若 ， 在 上单调递增， ，符合题意；
②若 令 ，
则 ，所以 在 单调递增，且 ，
（i）若 ， ，
在 上单调递增， ，符合题意；
（ii）若 ， ，
则存在 ，使得当 时， ， 单调递减，
此时 ，不合题意；
综上， .
7．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数 ．
(1)若 为 的极小值点，求a的取值范围；
(2)若 有唯一的极值 ，证明： ， ．
【答案】(1) (2)证明见解析(1)
.
①当 时， 在 上单调递诚，在 上单调递增，所以 为 的极小值点．
②当 时，由 得 或 ．
（ⅰ）当 时， 在R上单调递增，无极值点；
（ⅱ）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，所以 为 的极小值点；
（ⅲ）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递诚，
在 上单调递增，所以 为 的极大值点，
综上，a的取值范围是 ．
(2)
根据（1）可知 ， 为唯一的极值，所以 ，所以 ．
所以即证 ， ．
设 ，则 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， , , ,
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增．
， ，又 ，
所以 ，所以 ，使 ．
因此当 时， ，当 时， ．
得 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
因此当 时， ，当 时， ．所以 在 上单调递减，在 上单调递增，得 ，
所以 ，从而原命题得证．
高频考点二：利用二阶导数求函数的单调性
1．（多选）（2022·辽宁丹东·一模）设 为函数 的导函数，已知
为偶函数，则（ ）
A． 的最小值为2 B． 为奇函数
C． 在 内为增函数 D． 在 内为增函数
【答案】BCD
【详解】
，由 可得 ，从而 ，
于是 .
，取等号时 ，因为 ，所以 .所以A错误，
由 ，得 ，
因为 ，所以 为奇函数，所以B正确，
因为 ，所以 在 为增函数，所以C正确，
，当 时， ，当 时， ，
则 ，综上，当 时， ，所以 在 内为增函数，所以D正确，
故选：BCD
2．（2022·江苏·金陵中学高二期末）函数 ．
(1)求 在 上的单调区间；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为 ；单调递减区间为 和
(2)
【解析】
(1)由题可得
令 ，得 ；
令 ，得 ，
所以f(x)的单调递增区间为 ；单调递减区间为 和 ．
(2)
由 ，得 ，
即 ．
设 ，则 ．
设 ，则 ．
当 时， ， ，所以 ．
所以 即 在 上单调递增，
则 ．
若 ，则 ，
所以h(x)在 上单调递增．
所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合题意．
若a＞2，则 ，必存在正实数 ，
满足：当 时， ，h(x)单调递减，
此时h(x)＜h(0)＝0，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是 ．
3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数 （ ，e为自然对数的底
数）．
(1)若 在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
(2)讨论函数 的单调性；(3)当 时，求证： ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【解析】
(1)
，则 ，
由已知 ，解得
(2)
（ⅰ）当 时， ，
所以 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减；
（ⅱ）当 时，令 ，得 ，
① 时， ，
所以 或 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
② 时， ，则 在 上单调递增；
③ 时， ，
所以 或 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
综上， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．(3)
方法一：
等价于
当 时，
令
令 ，则 在区间 上单调递增
∵ ，
∴存在 ，使得 ，即
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增
∴
∴ ，故
方法二：
当 时，
令 ，则 ，
令 ，则
当 时， ；当 时，
∴ 在区间 上单调递减， 上单调递增．
∴ ，即
∴ ，
4．（2022·安徽·高三阶段练习（理））已知函数 ， .
(1)若 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若 ，且 ，试比较 与 的大小，并说明理由.
【答案】(1)
(2) ，理由见解析【解析】
(1)
恒成立，即 恒成立，
令 ， ，
当 时， ，函数 递减；
当 时， ，函数 递增，
故 ，
所以 .
(2)
，
由（1）知 ，所以在 上 ，
所以 在 上单调递增，且 .所以 ，
设 ， ，
设 ，则 ， ， ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ， ，
令 ， ， ， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ， ，
而 在 上单调递增，所以 ， ；
设 ， ，
所以 单调递减，且 ， ， ，所以 ，即 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 .
所以 .
5．（2022·北京朝阳·一模）已知 ， .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴重合，求 的值；
(2)若函数 在区间 上存在极值，求 的取值范围；
(3)设 ，在（2）的条件下，试判断函数 在区间 上的单调性，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)单调递减，理由见解析.
(1)
解：因为 ， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
因为曲线 在点 处的切线与 轴重合，
所以 ，解得 .
(2)
解：由（1）得 ，
因为函数 在区间 上存在极值，
所以 在区间 上有变号零点，
当 时， 在区间 上单调递增， ，故不符合题意；
当 时， 在区间 上单调递减，且当 趋近于 时， 趋近于 ，
故要使 在区间 上有变号零点，则 ，即综上， ，即 的取值范围是 .
(3)
解：函数 在区间 上单调递减，理由如下：
， ， ，
所以 ，
令 ，则 在 恒成立，
所以函数 在 上单调递减，
由于 ，
所以函数 在 上恒成立，
所以函数 在区间 上的单调递减.
6．（2022·全国·模拟预测（文））已知 .
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)设 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
时， ，
∵ ， ，∴切线方程为 ；
(2)
∵ ，∴ ，
① 时， .
② 时， ，
令 ，
则.
令 ， ，
令 ，则 ，
∴ 在 递增，
∵ ，∴ ，∴ 在 递增，
∵ ，∴ ，∴ 即 ，
∴ 在 上递增，在 上递减，∴ ，
∴ .
高频考点三：利用二阶导数求参数的范围
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的 恒成立，
求实数m的取值范围．
【答案】 ．
【详解】
，令 ， ，令 ，则 ，
所以 在 上单增， ，所以 在 上单增， ，即
，
故 ，
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单增， ；
当 时，存在 ，使得 ， 不恒成立；
当 时，令 ，则 ，令 ，
则 ，令 ，解得 ，易知存在 ，使得 ，
故当 时， 单减，当 时， 单增，又 ，
故 时， 单减，所以 ，即 ，所以 在 上单减，， 不恒成立；
综上： ．
2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）已知函数 的图象在点 (
为自然对数的底数) 处的切线斜率为 ．
(1)求实数 的值;
(2)若 ， 且存在 使 成立， 求 的最小值．
【答案】(1)1(2)4
(1)
由题意知： ， ，解得 ；
(2)
由（1）知： ，存在 使 成立等价于 ，令
，
则 ，令 ，则 ，所以
在 上单增，
又 ，故存在 使 ，即 ，
故当 时， 单减，故当 时， 单增，
故 ，故 ，
又 且 ，故 的最小值为4.
3．（2022·天津市宁河区芦台第一中学高二阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)令 是函数 图像上任意两点，且满足 ，
求实数 的取值范围；
(3)若 ，使 成立，求实数 的最大值.
【答案】(1) 的极小值为 ，无极大值；(2) ；(3)1.
(1)
因为 ，所以 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 的极小值为 ，无极大值.
(2)
不妨设 ，则 ，
则由 ，可得 ，
变形得 恒成立，
令 ，
则 在 上单调递增，
故 在 恒成立，
在 恒成立．
，当且仅当 时取“ ”， ；
(3)
， ．
， ， ， ，
， 使得 成立．
令 ，则 ，
令 ，则由 ，可得 或 （舍 ．
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增．
， 在 ， 上恒成立．
在 ， 上单调递增，则 （1），即 ．
实数 的最大值为1．
4．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知函数 .
(1)判断函数的单调性；(2)若对于任意的 ，都有 ，求整数 的最大值.
【答案】(1)在 上单调递增，在 上单调递减；(2)3.
(1)
的定义域为 ，求导得： ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)
， ，
令 ， ，则 ，
由（1）知， 在 上单调递增，且 ，
则 在区间 内存在唯一的零点 ，使 ，即 ，
则当 时， ， ，有 在 上单调递减，
当 时， ， ， 在 上单调递增，
于是得 ，因此， ，
所以整数 的最大值为3.
高频考点四：利用二阶导数证明不等式
1．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数 ， ．
(1)求 的最大值；
(2)证明： ；
(3)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)证明见解析(3)
(1)
∵ ， ，
∴ ，∴f(x)在[0，π]上单调递减，
∴ ．
(2)要证 ，只要证 ，即证 ＞f(x)，
令g(x)＝ ， ，则 ，
故g(x)在（0，2）上单调递减；g(x)在（2，π）上单调递增，所以g(x)≥g(2)＝- ，
又 f(x)≤- ，且等号不同时取到，所以
(3)
，等价于xcosx－sinx＋2ax3≥0，
令h(x)＝xcosx－sinx＋2ax3， ，则 ，
令 ，则 ，
i.当a≤－ 时， ，所以 在[0，π]上递减，所以 ，
所以 ，所以h(x)在[0，π]上递减，所以h(x)≤h（0）＝0，不合题意．
ii.当a≥ 时， ，所以 在[0，π]上递增，所以
所以 ，所以h(x)在[0，π]上递增，所以h(x)≥h（0）＝0，符合题意．
iii.当－ ＜a＜ 时，因为 ， ，且 在[0，π]上递增，
所以 ，使得 ，
所以当 时， ，此时 在（0，x）上递减，所以 ，
0
所以 ，所以h(x)在（0，x）上递减，所以h(x)＜h（0）＝0，不合题意．
0
综上可得： .
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用
的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
2．（2022·山东·聊城民慧实验高级中学高二阶段练习）已知函数
(1)若x≥0时， ≥0，求实数a的取值范围．(2)当 时，求证： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
(1)
解：由题意
令 ，则 .
①若 ，则当 时， ，所以 在 上单调递减，
从而 不合题意.
②若 则 所以 在 上单调递增，
即 ，所以 在 上单调递增，又
符合题意.
③若 令 得 .
所以 在 上单调递减，且
时， ，即 ，
所以 在 上单调递减， 不合题意.
综上所述，实数 的取值范围为
(2)
证明：由(1)知，若 ， 时，
即
因为当 时， .
所以要证
只需证 .
令 ，
令 ，则 所以 在 上单调递增，
所以
即 ， 在 上单调递增，∴ ，即
所以当 时，
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是第2问的转化和放缩，对于有些不好证明的不等式，可以先转化和放缩再证
明，提高解题效率.
3．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求证：
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
(1)
由已知条件得函数 的定义域为 ，
，
①当 时，即 ，在 上， ，在 上， ，
故 在 上为单调递增，在 上为单调递减；
②当 时，即 ，在 上， ，在 上， ，在 上，
，
故 在 上为单调递减，在 上为单调递增，在 上为单调递减；
③当 时，即 ，在 上， ，
故 在 上是单调递减；
④当 ，即 ，在 上， ，在 上， ，在
上， ，
故 在 上是单调递减，在 上是单调递增，在 上是单调递减.
(2)
当 时，
要证原式成立，需证 成立，
即需证 成立，令 ，则 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递增， ， ，
由零点存在性定理可知，存在 使 ，
则在 上 ，在 上 ，
即在 上 ，在 上 ，
则 在 上单调递减，在 单调递增，在 处取得最小值，
由 可得 ，即 ，
两边同取对数 ，即 ，
的最小值为 ，
即 成立，
故当 时， 成立.
4．（2022·江西上饶·一模（理））已知函数 ， ，其中 …为
自然对数的底数.
(1)当 时，若过点 与函数 相切的直线有两条，求 的取值范围；
(2)若 ， ，证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)
解： ， .
设切点为P
令 ， .
得 有两根
令 ，
时，不符合题意
时，令 ，
单调递增， 单调递减.，得
又 ，且
.
(2)
证明：要证
只需证明 成立
因为 ，
所以
原问题可转化为证明 .
①当 时，
所以
所以 成立
所以 成立
②当 时，设
因为
所以
所以
所以 在 上为增函数
所以
所以 在 上为增函数
所以
所以
所以 成立
综上
得证.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求a的值；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)
，则 解得
又 ， ，可得
综上
(2)
由 ， 知
要证
即证
也即证
设 ，则 ，
再令 ， ，
所以 在 上单调递增，又
则当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以
所以 成立，即 成立.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .【答案】（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.
【详解】
(1) 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
(2)构造函数法
由已知得 ，令 ，
不妨设 ，所以 ．
由（Ⅰ）知， ，只需证 ．
证明 同证法2．
再证明 ．令 ．
令 ，则 ．
所以 ， 在区间 内单调递增．
因为 ，所以 ，即
又因为 ，所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
综上，有 结论得证．
2．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
【答案】（1） ；（2） 在区间 和 上单调递减，没有递增区间
【详解】
（1）[方法一]【最优解】：
等价于 ．
设 ，则 ．
当 时， ，所以 在区间 内单调递增；
当 时， ，所以 在区间 内单调递减．
故 ，所以 ，即 ，所以c的取值范围是 ．
[方法二]：切线放缩
若 ，即 ，即 当 时恒成立，
而 在点 处的切线为 ，从而有 ，
当 时恒成立，即 ，则 ．所以c的取值范围为 ．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
所以c的取值范围为 ．
（2） 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，所以
单调递减，所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
第五部分：第 10 讲 拓展三：通过求二阶导函数解决
导数问题（精练）
一、填空题
1．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知函数 ， 有且只有一个零点，则实数
的取值范围是_______.
【答案】
【详解】
解：因为函数 ， ， 有且只有一个零点，
所以方程 ， ， 有且只有一个零点，
令 ，则 ， ，
令 ，则
所以 为 上的单调递减函数，
因为 ，
所以当 时， ；当 时， ；
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，且 ， 时，
，
故 的图像大致如图所示，所以方程 ， ， 有且只有一个零点等价于 或 .
所以实数 的取值范围是
故答案为：
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数 有两个不同的零点，则实数k的取值范围为
___________.
【答案】
【详解】
由题知，方程 即 ，
设 ， ，则函数 的图像与直线 恰有两个不同的交点，
， ，则 在区间 上单调递增，
∵ ，∴当 时， ，当 时， ，
∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，∴ .在同一直角坐标系中作出函数 的大致图像与直线 如图所示，
数形结合得当 时，函数 的图像与直线 有两个不同的交点，
即函数 有两个不同的零点，故实数k的取值范围为 .
故答案为： .
3．（2022·福建厦门·高三阶段练习）若函数 和 的图象有且仅有一个公共点
P，则g(x)在P处的切线方程是_________.
【答案】
【详解】
由 （ ），
分离常数 得 ，
令 ，
，
令 ，
，所以 在 上递减.
所以当 时， 递增；当 时， 递减，
所以 ，所以 ，且 .
，
所以切线方程为 .
故答案为：
4．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知关于 的方程 有三个实数根，则 的取
值范围是______
【答案】
【详解】
解：方程 即方程 ，
令 ，
则 ，令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
因为关于 的方程 有三个实数根，
即函数 有3个零点，
则 ，所以 ，
因为 时， ，当 时， ，
所以函数 有两个零点 ，
不妨设 ，则 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 和 上递增，在 上递减，
又因 时， ，当 时， ，
， ，
所以函数 有3个零点，
即关于 的方程 有三个实数根，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .5．（2022·湖北·安陆第一高中高二期中）已知函数 ． 为函数 的导函数，若
对任意 恒成立，则整数k的最大值为________．
【答案】3
【详解】
由题， ，
因为 ，对 恒成立，
则 对 恒成立，
令 ，
则 对 恒成立，
令 ，
则 ，令 ，
则当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，
，当 ， ，则 ，此时 单调递减；
当 ， ，则 ，此时 单调递增，
则 ，又 ，代入 ，
则整数 .
故答案为：3
二、解答题
6．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知函数 ， ．
(1)证明： ，直线 都不是曲线 的切线；
(2)若 ，使 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)
由题意可知， 的定义域为 ，
由 ，得 ，
直线 过定点 ，
若直线 与曲线 相切于点 ，则
，即
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
从而当且仅当 时， 成立，这与 矛盾.
所以， ，直线 都不是曲线 的切线.
(2)
由 ，得 ，
，
若 ，使 恒成立转化为 ， 即可.令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上是单调递减；
所以 ，故
在 上是单调递减；
当 时， 取得最大值为 ，即 .
所以实数 的取值范围为
7．（2022·安徽省桐城中学高三阶段练习（理））已知函数 ，函数 在
处取得最大值.
(1)求a的取值范围；
(2)当 时，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
显然 ，由已知 得 .
故 .
若 ，当 时， ；当正数 时， .
有最小值，不符合题意.
若 ，当 时， ；当 时， .
有最大值 ，故a的取值范围为 .
(2)
由（1）知 ，当 时， ，所以 .
当 时，因为 ，只需证 ，
即证令 ，
设 ，
故 在 上为增函数.
所以 ，
所以存在 ，使得 ，此时 .
当 时， ，即 ；当 时， ，即 .
故 .
又因为 在 为减函数，且 ，
所以
故当 时， ，即 ，所以 .
综上，当 时， .
解法二：由（1）知 ，当 时， ，所以 .
当 时，因为 ，只需证 ，
即证 .
令 在 上单递增，
所以 ；
令 ，由 得 .
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减.
当 时， ，故
所以
综上，当 时， .【点睛】
不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式的方法主要有两个：（1）不等式两边作差
构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数最值即可；（2）观察不等式的特点，结合已解答问题
把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，再化简或者进一步利用导数证明.
8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减；
(2)
(1)
当 时， ， ，易得 在 上递增，又 ，
故当 时， ， 单调递增；故当 时， ， 单调递减，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
(2)
当 时，不等式 恒成立，可得 ；当 时，由 恒成立
可得 恒成立，
设 ，则
，
可设 ，可得 ，设 ，由 ，可得
恒成立，
可得 在 递增，即 在 递增，所以 ，即 恒成立，即 在
递增，
所以 ，再令 ，可得 ，当 时， ， 在 上递增，
当 时， ， 在 递减，所以 ，所以 ；综上可得 .
【点睛】
本题关键点在于参变分离构造函数求导后，通过因式分解将导数变为 ，
再把分子的因式构造成函数 ，确定 后，即得 的正负，进而求解.
9．（2022·四川达州·二模（理））已知： .
(1)当 时，求曲线 的斜率为 的切线方程；
(2)当 时， 成立，求实数m的范围
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
当 时， ，
则 ，
设切点为 ，
故 ，
解得 ，
故 ，
即切点坐标为 ，
所以切线方程 ，即 ；
(2)
当 时， 成立，
即 恒成立，
设 ，
，
，因为 ，故 恒成立，
则 在 上单调递增，
所以 ，
当 时， 恒成立，
故 在 上单调递增，
即 ，
所以 ，解得 ，
故 ；
当 时， ，
，
设 ， ，
恒成立，
则 在 上单调递减，所以 ，
即 ，
所以存在 ，使 ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
解得 ，即 ，
设 ， ，
恒成立，
故 在 上单调递减，
故 ，
即 ，
所以 ，
综上所述， .
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导
数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中
的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
10．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数 .
(1)若 ， 的一个零点为 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
若 ，则 ，
由 ，可得 或 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 .
(2)
因为当 时， 恒成立，
所以当 时 ，即 恒成立.
设 ，则 ，
设 ，则 .
当 时， ，即 单调递减，当 时， ，即 单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增.
当 时， 恒成立，则当 时， 恒成立，即 恒成立.
设 ，则 .
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，所以 ，所以 ，
即实数a的取值范围为 .
利用导数研究不等式恒成立问题，导数主要起工具性的作用，如本题中，将原不等式转化后，通过构造函
数 ，利用导数研究 的单调性，从而可化简不等式.结合分离常数法后，又再次构造函数，利用导
数来求最值，从而求得 的取值范围.
