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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 06 导数中的公切线问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、公切线问题一般思路
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.
主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，
通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
考法1：求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，
则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P(x，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x，g(x))，
1 1 1 2 2 2
则f′(x)＝g′(x)＝ .
1 2
考法2：由公切线求参数的值或范围问题
由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．
二、题型精讲精练
【典例1】若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ______．
【解析】设 与 和 ，分别切于点 ， ，
由导数的几何意义可得： ，即 ，①
则切线方程为 ，即 ，
或 ，即 ，②将①代入②得 ，
又直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，
则 ，即 ，则 或 ，
即 或 ，故答案为1或 ．
【典例2】已知直线 与函数 的图像相切于点 ，与函数 的图像相切于点
，若 ，且 ， ，则 ______．
【解析】依题意，可得 ，整理得
令 ，则 在 单调递增
且 ，∴存在唯一实数 ，使
， ， ，
， ，∴ ，故 ．
【题型训练】
1 . 求 公切线方程
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）曲线 与曲线 的公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数 ，若曲线 在点 处的切线与曲线
在点 处点的切线重合，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．若经过点 存在一条直线l与
曲线 和 都相切，则 （ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 和 的公切线的条数为
A．三条 B．二条 C．一条 D．0条
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若 与 在公共
点处的切线相同，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）函数 在点 处的切线与函数 的图象也相切，则
满足条件的切点的个数有
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
二、填空题
7．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）与曲线 和 都相切的直线方程为
__________.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 （ 为自然对数的底数）， ，请写出
与 的一条公切线的方程______．
9．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知直线l与曲线 、 都相切，则
直线l的方程为______．10．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知直线 是曲线 与
的公切线，则 __________.
2 . 公切线中的参数问题
一、单选题
1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线 是曲线 与曲线 的公
切线，则 等于（ ）
A． B．3 C． D．2
2．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线 与曲线 相切，切点为 ，与曲线 也相
切，切点为 ，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知曲线 在点 处的切线也与曲线
相切，则 所在的区间是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数 与 的图像存在公共切线，则实数 的最
大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）定义：若直线l与函数 ， 的图象都相切，则称直线l为函数 和 的公切线．若函数 和 有且仅有一条公切线，则实
数a的值为（ ）
A．e B． C． D．
6．（2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）已知函数 ， ，
若总存在两条不同的直线与函数 ， 图象均相切，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 与曲线 有公切线，则实数a的取值范围
（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·河北·统考模拟预测）若曲线 与曲线 存在公切线，则实数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·湖北·统考模拟预测）若存在直线与曲线 都相切，则 的值可以是
（ ）
A．0 B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）函数 ， ，下列说法正确的是（ ）．（参考数
据： ， ， ， ）A．存在实数m，使得直线 与 相切也与 相切
B．存在实数k，使得直线 与 相切也与 相切
C．函数 在区间 上不单调
D．函数 在区间 上有极大值，无极小值
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）若曲线 与 有一条斜率为2的公切线，则 ___________.
12．（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线 与 有公共切线，则实数 的取值范围为
__________.
13．（2023·浙江金华·统考模拟预测）若存在直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
实数 的最大值为___________.
