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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 16 练 导数与函数的极值、最值（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
2．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最大值.
【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
3．（2021·全国·统考高考真题）设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 进行分
类讨论，画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，
为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
4．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正
四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为 ，所以球的半径 ,
[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以 当且仅当 取到 ，
当 时，得 ，则
当 时，球心在正四棱锥高线上，此时 ，
，正四棱锥体积 ，故该正四棱锥体积的取值范围是二、多选题
5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数
的几何意义判断D.
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.故选：AC.
三、填空题
6．（2021·全国·统考高考真题）函数 的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，
即可求 最小值.
【详解】由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值
点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图
象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和图象变换得到 的图象，利用
导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，则 在
上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单
调递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且
的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是
该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于
通性通法．
四、解答题
8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得 ，按照 、 及 结合导数讨论函数的单调性，求得函数的
极值，即可得解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ；
（2） ，则 ，
当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时函数无零点，不合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
又 ，
由（1）得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，则存在 ，使得 ，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；此时 ，
由（1）得当 时， ， ，所以 ，
此时
存在 ，使得 ，
所以 在 有一个零点，在 无零点，
所以 有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数
的单调性与极值的问题.
9．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
【答案】（1） ；（2） 在区间 和 上单调递减，没有递增区间【分析】（1）[方法三]不等式 转化为 ，构造新函数，利用导数求出新函数的
最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数 求导，把导函数 的分子构成一个新函数 ，再求导得到 ，根据 的正负，
判断 的单调性，进而确定 的正负性，最后求出函数 的单调性.
【详解】（1）
[方法一]【最优解】：
等价于 ．
设 ，则 ．
当 时， ，所以 在区间 内单调递增；
当 时， ，所以 在区间 内单调递减．
故 ，所以 ，即 ，所以c的取值范围是 ．
[方法二]：切线放缩
若 ，即 ，即 当 时恒成立，
而 在点 处的切线为 ，从而有 ，
当 时恒成立，即 ，则 ．所以c的取值范围为 ．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
所以c的取值范围为 ．
（2） 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，所以
单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.
【整体点评】(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数
学思想，同时是的导数的工具也得到了充分利用；
方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是
使用切线放缩的基础.
方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.
10．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
【答案】（1） ；（2）证明见详解
【分析】（1）由题意求出 ，由极值点处导数为0即可求解出参数 ；
（2）由（1）得 ， 且 ，分类讨论 和 ，可等价转化为要证，即证 在 和 上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】（1）由 ， ，
又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知， ，其定义域为 ．
要证 ，即证 ，即证 ．
（ⅰ）当 时， ， ，即证 ．令 ，因为
，所以 在区间 内为增函数，所以 ．
（ⅱ）当 时， ， ，即证 ，由（ⅰ）分析知 在区间
内为减函数，所以 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）有 ．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得 ， ， 且 ，
当 时，要证 ， ， ，即证
，化简得 ；
同理，当 时，要证 ， ， ，即证
，化简得 ；
令 ，再令 ，则 ， ，令 ， ，
当 时， ， 单减，故 ；
当 时， ， 单增，故 ；
综上所述， 在 恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令 ，因为 ，所以 在区间 内是增函数，在区间 内是减
函数，所以 ，即 （当且仅当 时取等号）．故当 且 时， 且
， ，即 ，所以 ．
（ⅰ）当 时， ，所以 ，即 ，所以 ．
（ⅱ）当 时， ，同理可证得 ．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当 且 时， ，即 ．
【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当 时，转化为证明
，当 时，转化为证明 ，然后构造函数，利用导数研究单调性，进
而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当 时， 成
立和当 时， 成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，
运算简洁，为最优解；方法三先构造函数 ，利用导数分析单调性，证得常见常用结论
（当且仅当 时取等号）．然后换元得到 ，分类讨论，利用不等式的基本性质
证得要证得不等式，有一定的巧合性.11．（2021·天津·统考高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I） ；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出 在 处的导数，即切线斜率，求出 ，即可求出切线方程；
（II）令 ，可得 ，则可化为证明 与 仅有一个交点，利用导数求出
的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令 ，题目等价于存在 ，使得 ，即 ，利用导
数即可求出 的最小值.
【详解】（I） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（II）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
（III）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
所以实数b的取值范围 .
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明 与 仅有一个交点；第三问解题的关键是
转化为存在 ，使得 ，即 .
12．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨
论.
（2）根据（1）可得当 时， 的解的个数、 的解的个数均为2，构建新函数
，利用导数可得该函数只有一个零点且可得 的大小关系，根据存在直线
与曲线 、 有三个不同的交点可得 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根
成等差数列.
【详解】（1） 的定义域为 ，而 ，
若 ，则 ，此时 无最小值，故 .
的定义域为 ，而 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，设 ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
（2）[方法一]：
由（1）可得 和 的最小值为 .
当 时，考虑 的解的个数、 的解的个数.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
而 ， ，
设 ，其中 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 ，故 有两个不同的零点，即 的解的个数为2.
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，而 ， ，
有两个不同的零点即 的解的个数为2.
当 ，由（1）讨论可得 、 仅有一个解，
当 时，由（1）讨论可得 、 均无根，
故若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
则 .
设 ，其中 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
所以 ，所以 在 上为增函数，
而 ， ，
故 上有且只有一个零点 ， 且：
当 时， 即 即 ，
当 时， 即 即 ，
因此若存在直线 与曲线 、 有三个不同的交点，
故 ，
此时 有两个不同的根 ，
此时 有两个不同的根 ，
故 ， ， ，所以 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解
又 可化为 即 即 ，
故 为方程 的解，同理 也为方程 的解，
所以 ，而 ，
故 即 .
[方法二]：
由 知， ， ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增；
在 上单调递减，在 上单调递增，且
① 时，此时 ，显然 与两条曲线 和
共有0个交点，不符合题意；
② 时，此时 ，
故 与两条曲线 和 共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③ 时，首先，证明 与曲线 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设
为其次，证明 与曲线和 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ， ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，
所以只需证明 在 上有解即可，
即 在 上有零点，
因为 ， ，
所以 在 上存在零点，取一零点为 ，令 即可，
此时取
则此时存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以 ，
又因为 在 上单调递减， ， 即 ，所以 ，
同理，因为 ，
又因为 在 上单调递增， 即 ， ，所以 ，又因为 ，所以 ，
即直线 与两条曲线 和 从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，
而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 处有极值，则（ ）
A． B．
C． D．a不存在
【答案】B
【分析】函数 在 处有极值，即 ，求解导数，代入 即可求解.
【详解】解：因为函数 ，故
又函数 在 处有极值，故 ，
解得 .经检验满足题意
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）设 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得 对 上恒成立，设 ，利用导数求得 的单调性与最值，分
析即可得答案.
【详解】由题意可知，不等式 在 上恒成立，
则 对 上恒成立，
设 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
所以当 ， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， 取极大值，即为最大值，最大值为 ，
所以， ，
所以 的取值范围为
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． 是 的极小值点 B． 是 的极小值点C． 在区间 上单调递减 D．曲线 在 处的切线斜率小于零
【答案】D
【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据导数的定义和
几何意义即判断D选项，从而得出答案.
【详解】由图像知，当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在区间 ， 内单调递增，在区间 内单调递减，
是 的极大值点，3是 的极小值点，故ABC错误；
又因为 ，所以曲线 在 处切线斜率小于零，故D正确.
故选：D.
4．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数 的极大值点，
则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导后，得导函数的零点 ，比较两数的大小，分别判断在 两侧的导数符号，确定函数
单调性，从而确定是否在 处取到极大值，即可求得 的范围．
【详解】解： ，
令 ，得：
当 ，即
此时 在区间 单调递增， 上单调递减， 上单调递增，符合x＝a是函数 的
极大值点，反之，当 ，即 ，此时 在区间 单调递增， 上单调递减， 上单调递
增，x＝a是函数 的极小值点，不符合题意；
当 ，即 ， 恒成立，函数 在 上单调递增，无极值点.
综上得： .
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 内有极小值，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用导数求出函数的极小值点，然后使极小值点在 内，从而可求出 的取值范围
【详解】由题意，得 ，
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上递增，函数无极值，
所以 ，
令 ，则x＝± ，
∵函数在（ ， ）上 ，函数递减，在（ ，+∞）上 ，函数递增
∴x 时，函数取得极小值
∵函数 在区间（0，1）内有极小值，
∴0 1，
∴b∈（0，1）
故选：B．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 与 ，则它们的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】B【分析】令 ，判断 的单调性并计算 的极值，根据极值与0的大小关系判断 的
零点个数，得出答案.
【详解】令 ，则 ，由 ，得 ，
∴当 时， ，当 时， .
∴当 时， 取得最小值 ，
∴ 只有一个零点，即 与 的图象只有1个交点.
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习） 的最大值与最小值之差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数为奇函数，且其图像的对称性，利用导数可得函数的单调性和最值.
【详解】 ，
设 ，则
则 为奇函数，图像关于原点对称，其最大值与最小值是互为相反数，
即 的最大值与最小值之差为 ，
当 时 ， ，
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以 ，所以 的最大值与最小值之差为故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上存在最小值，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求得 ，根据 在区间 上存在最小值，得到 且 ，
，设 ，根据 且 ，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
且 在区间 上存在最小值，
即 在区间 上存在 ，
使得 且 ， ，
设 ，即满足 ，且 ，
可得 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：D.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ 为自然对数的底数），若 在
上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得 ，令 ，求导求最值即可.
【详解】若 在 上恒成立，则 在 上恒成立等价于
在 上恒成立，令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
故 .故选：B.
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）对于函数 ，则（ ）
A． 有极大值，没有极小值
B． 有极小值，没有极大值
C．函数 与 的图象有两个交点
D．函数 有两个零点
【答案】AD
【分析】对函数 求导，通过求导判断函数的单调性从而可知函数是否有极值；画出函数 与
的图象从而可判断交点个数；函数 有两个零点价于函数 与 图像
有两个交点，数形结合即可判断.【详解】 ，则 ，
因为 在 恒成立.
所以当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
所以 在 处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；
根据 的单调性，画出函数 图像，以及 的图象，如图：
由此可知，函数 与 的图象只有一个交点，故C错误；
函数 有两个零点等价于函数 与 图像有两个交点，如下图所示：
由此可知，函数 与 图像有两个交点，即函数 有两个零点；故D正确.
故选：AD.
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）A．函数 存在三个不同的零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
C．若 时， ，则t的最小值为2
D．当 时，方程 有且只有两个实根
【答案】BD【详解】 ，令 ，解得 或 ，
当 或 时， ，故函数 在 ， 上单调递减，当 时， ，
故函数在 上单调递增，
且函数 有极小值 ，有极大值 ，当 趋近负无穷大时， 趋近正无穷大，当
趋近正无穷大时， 趋近于零，故作函数草图如下，
由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．
故选：BD．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知 函数 的极值点，则（ ）
A． 是 的极小值点 B． 有三个零点
C． D．
【答案】ABD【分析】根据极值点的概念可得 ，进而判断函数单调性及零点情况，判断各选项.
【详解】由 ，
得 ，
由 是函数的极值点，得 ，解得 ，
故函数 ， ，
令 ，解得 或 ，
所以函数在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故 为极小值点，A选项正确；
又 ， ， ，
，
所以函数 分别在 ， ， 上各有一个零点，共三个零点，B选项正确；
又 在 上单调递减，且 ，
所以 ，
又 ，故 ，C选项错误；
同理 ，
且 ，
，D选项正确；故选：ABD.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （e为自然对数的底数， ），则关于函
数 ，下列结论正确的是（ ）A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在 单调递增 D．最小值为1
【答案】BC
【分析】先求定义域，再求导，求出单调区间和极值，最值情况，判断BCD，A可以证明出函数值恒正，
A错误.
【详解】 定义域为R， ，
令 得： 或1，
当 时， ，当 时， ，
如下表：
0 1
- 0 + 0 -
递减 极小值1 递增 极大值 递减
从而判断出函数有两个极值点，在 上单调递增，
BC正确，
由于 恒成立，所以函数 无零点，A错误，
当 时， ，故函数无最小值，D错误；.
故选：BC
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 存在极值点，则实数a的取值范围是
_____________．
【答案】【分析】求得 ，将题意转化为使得 在 上存在穿越零点，结合二次函数的性质，
列出关于 的不等式，求解即可.
【详解】 定义域为 ， ，
根据题意可得 在 上存在穿越零点，
故 ，且 ，解得 .
故答案为：
15．（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知 在区间 上单
调递增，则实数 的取值范围是__________.
【答案】 .
【分析】求导后得到 在 上恒成立，参变分离后得到 在 上恒成
立，利用导函数求出 ，从而求出实数 的取值范围.
【详解】 ， ，
故只需 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，
其中 在 上恒成立，
故 ，所以 ，
故答案为： .
16．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知 ， 是该函数的极值点，定义 表示超过实数x的最小整数，则 的值为______．
【答案】
【分析】利用二次求导的方法求得 ，从而求得 ，进而求得正确答案.
【详解】 的定义域为 ，
，令 ，
所以 在 上单调递增，
，
所以存在 ，使 ，
则 在区间 上 ， 递减；在区间 上 ， 递增，
所以 是 的极小值点，所以 ，
所以 .
故答案为：
17．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知函数 ， ，若
在 上恒成立，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据题意参变分离可得 在 上恒成立，构造新函数，求导求单调性，求出最值，
即可得 的取值范围.
【详解】解：因为 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，取 ，所以 ，
因为 ，所以 ，而 ，即 ，
所以在 上， ， 单调递增，所以 ，
因为 在 上恒成立，所以 .
故答案为：
四、解答题
18．（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；
(2)若对任意 ，都有 成立，求 的取值范围.
【答案】(1) 的极大值为 ，无极小值
(2)
【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性即可求极值；
(2)利用导数讨论单调性求出函数的最小值即可求 的取值范围.
【详解】（1） ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 上递增，在 上递减，
∴ 的极大值为 ，无极小值.
（2）若对任意 ，都有 成立，
则 对任意 恒成立，令 ，则 ，
令 ， ，则 ，
∴ 在 上递增，即 ，∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上递增，故 ，故 ，即 的取值范围是 .
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在 上恒成立.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， 在 上恒成立，所以此时 在 上为增函数，
当 时，由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
综上：当 时， 在 上为增函数，
当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数；
（2）由（1）知:当 时， 在 上为增函数， 无最小值.
当 时， 在 上上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，即 ，则 ，
由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
所以 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以 ，
即 在 上恒成立.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， ，求 的最大值．
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
(2)
【分析】（1） ，讨论 或 判断 的单调性；（2）由题意可得：
对任意 恒成立，即 ，通过导数求
的最小值．
【详解】（1） ，
当 时， 当 恒成立， 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）依题意得 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 在 上单调递增，
，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
，故 的最大值为 ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
(1)判断函数 的单调性，并求其最值；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减，最大值为 ，无最小值.
(2)
【分析】（1）利用导数解决函数单调性问题并求最值.
（2）当 时，不合题意；当 时，通过构造新函数，证明 恒成立
得到结论.
【详解】（1）对函数 求导可得： .可知当 时， ， 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 的最大值为 ，无最小值.
（2）当 时， 恒成立.
当 时， 为二次函数，图像抛物线开口向下， ，使得 ，与
恒成立矛盾；
当 时， ，可知 恒成立
现证明 恒成立，即证： ，等价于证明 .
构造函数 ，求导可得： ，
设 ，则 ，
时， ， 时， ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增.
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， 恒成立， .
故可得：当 时， ， 时， ，
即可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，从而可得 ，即有 恒成立，所以当 时， 恒成立
综上实数 的取值范围是 .
22．（2023·全国·高三专题练习）已知三次函数 的极大值是 ，其导函数 的
图象经过点 ，如图所示，求
(1) ， ， 的值；
(2)若函数 有三个零点，求 的取值范围．
【答案】(1) ， ， ；
(2) .
【分析】（1）根据导数的正负判断原函数的单调性，进而判断原函数的极值点，再利用代入法求解即可；
（2）根据函数零点的定义，通过数形结合思想进行求解即可.
【详解】（1）由导函数的图象可知：
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
所以 是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点，
于是有 ，
由 ，所以有 ；
（2）由（1）函数的极小值为 ，极大值为 ，
而知函数的图象如下图所示
因为函数 有三个零点，
所以函数 的图象与直线 有三个不同的交点，
所以 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知 ，函数 ，则（ ）
A． 有最小值，有最大值 B． 无最小值，有最大值
C． 有最小值，无最大值 D． 无最小值，无最大值
【答案】C
【分析】利用导数判断函数的单调性进而求出最值.
【详解】由已知得 ，
记 ，∵ ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，∴当 时 ，当 时∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 有最小值 ，无最大值.
故选： .
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上有唯一的极大值，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知函数 在 上有唯一极大值，进而得 ，再解不等式即可得答案.
【详解】解：方法一：当 时， ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，
所以函数 在 上有唯一极大值，
所以， ，解得 .
故选：C
方法二：令 ， ，则 ， ，
所以，函数 在 轴右侧的第一个极大值点为 ，第二个极大值点为 ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，
所以， 解得 .故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图
展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，若函数 的图象能将圆的周长和面积同时等分成两个部分，
则称 为这个圆的一个“太极函数”．已知函数 是圆 的一个太极
函数，若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先由题意，可知函数 关于点 对称，列式求 ，再根据函数有2个极值点，转化为
有两个不相等的实数根.
【详解】圆 的圆心为 ，若函数 是圆的太极函数，
则函数关于点 对称，则 ，有 ，
即 ，
整理为： 恒成立，
解得： ，
则函数 ，
，若函数 有两个极值点，则 有两个不相等的实数根，则 ，解得： .
故选：A
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，且 ，则实数t的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先将 化成 ，再利用函数 在R上单调递增得到 ，进
而转化为求 的最小值即可．
【详解】解：因为 可化成 ，
又因为函数 在R上单调递增，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
所以当 时， ．
故选：C.
5．（2023·贵州黔西·校考一模）已知 ，设函数 ，若关于x的不等式
在 上恒成立，则a的取值范围为（ ）
[ e]
A． 0，, B． C． D．
2
【答案】A
【分析】分成 ， 两段讨论，分别利用二次函数性质求最值和分离参数，再构造函数利用导数求最
值的方法即可求解.
【详解】当 时， ，若 ，必有 ，解得 ，所以 ，
若 ， 满足，
所以 ；
当 时， ，即 ，
令 ， ，
由 得 ， 得 ，
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
即 ，
[ e]
综上所述，a的取值范围为 0，, .
2
故选：A.
6．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知函数 图象的
相邻两条对称轴间的距离为 ，函数 （ 是 的导数）的图象关于原点对称，
若 在 上恰有3个极值点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出函数 的周期，借助函数 的对称性求出 ，再由函数 的极值点情
况列出不等式作答.
【详解】依题意，函数 的周期为 ，则 ， ， ，，因为函数 的图象关于原点对称，
则 ，又 ，则有 ， ，
当 时， ，因为函数 在 上恰有3个极值点，
因此 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：A
二、多选题
7．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数 则（ ）
A． 没有极值点
B．当 时，函数 图像与直线y＝m有三个公共点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
【答案】CD
【分析】证明函数 为奇函数即可判断C，由导数判断函数的单调性，得到函数 的大致图像，即
可判断AB，然后根据导数的几何意义即可判断D.
【详解】因为 ， 时，
，所以 为奇函数，则 关于点 对称，故选项C正确；
当 时， ，令 ，解得 ，∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， ，又 为奇函数，
画出 的大致图像，
由图知选项A错误，选项B错误；
假设 是曲线 的切线，设切点为 ，则 ，解得
，或 ；
当 时，直线 是曲线 的切线，故选项D正确．
故选：CD．
8．（2023·全国·高三校联考阶段练习）设函数 ， 为 的导函数，则（ ）
A． 有唯一的零点和极值点，且零点小于极值点
B．曲线 在点 处的切线斜率为
C． 为偶函数
D． 在 时值域为
【答案】BD
【分析】根据题意，对函数 求导可得函数 的单调性，再利用数形结合可得出函数的零点和极值
点即可判断A；根据导数的几何意义可判断B；利用函数奇偶性的定义可判断C；通过构造函数利用函数单调性即可求得函数值域，即可判断D.
【详解】由 得函数 的定义域为 ，则 ，
令 得
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
且当 时， ； 时， ； 时， ；
其图像如下图所示：
即函数 有唯一的零点 和唯一极值点 ，且零点大于极值点；故选项A错误；
由导数的几何意义可知，曲线 在点 处的切线斜率为
，即选项B正确；
，
；显然 不满足偶函数的定义，故选项C错误；
易得 ，
令 ，显然函数 在 上单调递增；
所以当 时 ，且 ，
即 在 时值域为 ，所以选项D正确；故选：BD.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的可能的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据 转化成 恒成立，构造函数 利用导数求解 的单调性，
问题进一步转化成 恒成立，构造 ，求解最值即可.
【详解】 ，
故 恒成立，转化成 恒成立，
记 ，则 在 单调递增，故由 得 ，
故 恒成立，
记 ，故当 时， 单调递减，当 时， 单调递
增，故当 时， 取最大值 ，
故由 恒成立，即 ,故 ，
故选：AD
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对
导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)
利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决
函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
三、填空题10．（2023秋·河南商丘·高三商丘市回民中学校考期末）已知函数 在定义域内不存
在极值点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题可得 或 在 上恒成立，然后根据参变分离及二次函数的
性质即得.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
因为 在定义域内不存在极值点，
所以 或 在 上恒成立，
即 或 在 上恒成立，
因为 在 上不可能恒成立，
所以 在 上恒成立，即 ，
所以 ，
故 ．
故答案为： .
11．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上存在最大值，则实数 的取值
范围是__________.
【答案】
【分析】求得函数的导数，判断单调性，确定函数极值，结合函数值情况，列出使得函数 在区间
上存在最大值的不等式，即可求得答案.【详解】由 得 ,
当 或 时, ；当 时, ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 为函数的极大值点，且 ，
令 ，则 或 ，
故要使函数 在区间 上存在最大值，即 时函数取最大值，
需满足 ，
故答案为：
12．（2023秋·广西防城港·高三防城港市高级中学校考阶段练习）已知函数 有两个极
值点 和 ，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【分析】先求导，再令 ，令 ，对判别式 分两种情况讨论得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
令 ，
则 时， ，
判别式
当 时. ，此时 ，故函数 在 上单调递增，无极值点，不合题意：
当 时 ，设此时对应方程的两个正根为 、 ，则 ，则 ，所以当 ，符合题意.
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上最大值为 ，最小值为 ，则实
数 __________．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可求出函数的极小值，再求出区间端点处的函
数值，即可求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，所以当 时 ， 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数在 处取得极小值，
又 ， ， ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
则 .
故答案为：
14．（2023·上海金山·统考二模）已知函数 和 的表达式分别为 ，
，若对任意 ，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是
__________.
【答案】
【分析】将问题转化为 ，由二次函数性质可求得 在 上的最大值为 ，分别在、 和 的情况下，结合导数讨论 的单调性，从而得到 ，由 可构造
不等式求得 的范围.
【详解】 对任意 ，若存在 ，使得 ， ；
当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ；
当 时， ，
①当 时， ， ，
则 在 上恒成立， 在 上单调递增，
， ，解得： ，
；
②当 时， ， ，
令 ，解得： ，
（i）当 ，即 时， 在 上恒成立，
在 上单调递减， ，
，解得： ， ；
（ii）当 ，即 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增， ，
，解得： （舍）；（iii）当 ，即 时，
若 ，则 ；若 ，则 ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，解得： （舍）；
③当 时， ， ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
， ，
当 ，即 时， ，
，解得： ， ；
当 ，即 时， ，
，解得： ， ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题15．（2023·北京·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，
（ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（ⅱ）求证： ， .
(2)若 在 上恰有一个极值点，求 的取值范围.
【答案】(1)（ⅰ）切线 方程为 ；（ⅱ）证明见解析
(2)
【分析】（1）当 时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数
的正负确定函数的单调性，即可得函数 的最值，即可证明结论；
（2）根据极值点与函数的关系，对 进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得 的取值
范围.
【详解】（1）当 时，
（ⅰ） ，又 ，所以切线 方程为 .
（ⅱ） ， ，因为 ，所以 ,
所以 ，所以
所以 在 单调递增，所以 ；
（2） ，
当 时，所以 ，
,由（1）知， ，
所以 在 上单调递增.
所以当 时， 没有极值点，
当 时， ，
因为 与 在 单调递增.
所以 在 单调递增.
所以 ， .
所以 使得 .
所以当 时， ，因此 在区间 上单调递减，
当 时， ，因此 在区间 上单调递增.
故函数 在 上恰有一个极小值点， 的取值范围是 .
16．（2023春·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 在区间 上有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极大值为 ，无极小值
(2)【分析】（1）对 求导，通过 研究 单调性，进而求出极值；
（2）求出 ，对 的范围进行讨论，研究 单调性，进而求出结果.
【详解】（1）若 ，则 ，
且函数 的定义域为 ，
所以 ．
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ，无极小值．
（2） ，
①当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
所以 在 上至多有一个零点，不合题意；
②当 时，令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 仅有一个极大值点 ，
且 ．要使 在 上有两个零点，必有 ，
且 ，
即 ，且 ，
解得 ，
即实数a的取值范围为 ．
17．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义可知斜率 ，代入直线的点斜式方程可得切线方程为
；（2）由 可得 ，利用函数单调性即可知 在 处取得最小
值 ，即证明 即可，令函数 即可得
出证明.
【详解】（1）当 时， ；则 ，
所以 在点 处的切线斜率 ，又 ；
切线方程为 ，即
所以， 在点 处的切线方程为 .
（2）当 时，可得 ,
又 ，令 可得 ；
所以当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增；
即 在 处取得极小值，也是最小值，
所以 ；
要证明 ，即证明 ，也即
构造函数 ，则 ，
所以当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增；
所以 ；即可得 ，
当且仅当 时等号成立；
故 .
18．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，关于x的不等式 恰有两个整数解，求m的取值范围；(2)若 的最小值为1，求a.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用导数研究 的单调性，进而可得 ，并求出 ，即可确定m
的范围；
（2）根据 的值域及 的最小值为1排除 、 ，构造 并应用导数研究函数符号，
放缩法求 最值，即可得参数值.
【详解】（1）当 时 ，则 ，令 ，
当 时 ， 递减，当 时 ， 递增，，
所以 ， ，
要使 恰有两个整数解，则 .
（2）若 ，当 趋向 时 趋向于0，此时 最小值不为1，舍去.
由（1）知： 时 最小值为0，此时 最小值不为1，舍去.
所以 ，则 ，
令 ，则 ，故 时 ， 时 恒成立，
所以 在 上递减，在 上递增，且 ，即 恒成立，
所以 ，仅当 ，即 时取等号，令 ，则 ，故 时 ， 递减， 时 ， 递增，
所以 ，且 时 ， 时 ，
综上， ，即 时， 成立.
此时 ，要使 的最小值为1，即 .
19．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)当 时， 的最小值为 ，求 的取值范围.
【答案】(1) 在 上单调递减；在 上单调递增
(2)
【分析】（1）求出 ，继而得出 的单调性；
（2）求出 ，继而得出 的零点 ，再得出 ，求导判断其单调性，最后得
出 的取值范围.
【详解】（1）若 ，则 ，求导得 ，
令 可得 ，令 可得 ，
故 在 上单调递减；在 上单调递增.
（2）由题意可得 ，令 ，
故 在 上单调递增，
当 时， ， ，
故 使得 ，此时
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以由 的单调性可知，
函数 也在 上单调递增，
故当 时， ，当 时，
故 的最小值为
易知 随 增大而增大，故其取值范围为：
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·四川·校联考模拟预测）若 ，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设 ，然后构造 ，由导数研究函数 的最小值，
即可得到结果.
【详解】不等式 ，即 ，所以 .设 ，则 ，
可知 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
所以 .
令 ，则 .
当 时， ， 单调递增，则 ，
则 ，故 满足条件；
当 时，则 在 上单调递减；在 上单调递增，则 ，
设 ，则 ，则 在 单调递减，又
，所以 ，则 ，
综上所述， 的取值范围是 .
故选：A
【点睛】解答本题的关键在于，先换元令 ，然后构造函数 ，得到其最
值，即可得到结果.
2．（2023·全国·高三专题练习）对于两个函数 与 ，若这两个函
数值相等时对应的自变量分别为 ，则 的最小值为（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，则 ，构造函数，应用导数求函数单调性求出最小值即可.
【详解】设 ，则 ， ，
由 ，得 ，则 ， ，
设函数 ， ，
则 ，
因为函数 在 上都是增函数，
所以 在 上为增函数，
又 ，
所以当 时， ， 单调递减,当 时， , 单调递增，
故 ，
即 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：设 ，则 ， ，求得
是解决本题得关键.
3．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】求导 ，根据函数 有两个极值点 ， ， 由
在 上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据 ， 得到 的范围，
再由 ，得到 ，利用导数法求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
令 ，
因为函数 有两个极值点 ， ，
所以函数 在 上有两个不等实根，
则 ，解得 ，
因为 ，且 ， ，
所以 ，且 ，
所以 ， ．
令函数 ， ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
则 ，即 的取值范围为 ．
故选：A【点睛】关键点睛：本题关键是根据题意，由 在 上有两个不等实根，求得a的范
围，进而再根据 ， 得到 的范围而得解.
4．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知函数 有两个极值点，则 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求导可得 ，令 ，其中 且 ，利用导数分析函
数 的单调性与极值，作出函数 的图象，对实数 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数
的单调性，可得出实数 的取值范围.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
令 ，可得 或 ， 不满足等式 ，
可得 ，其中 且 ，
令 ，其中 且 ，则 ，当 时， 且 ，此时函数 单调递减，
当 时， 且 ，此时函数 单调递减，
当 时， 且 ，此时函数 单调递增，
所以，函数 的极小值为 ，如下图所示：
①当 时，直线 与函数 交点的横坐标设为 ，则 ，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递减，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增.
故当 时，函数 有两个极值点，合乎题意；
②当 时，方程 在 的根为 .
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，当 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
此时函数 无极值点；
③当 时，直线 与函数 交点的横坐标设为 ，则 ，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递减，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
此时函数 有两个极值点，合乎题意；
④当 时，直线 与函数 的图象无交点，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递减，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
此时函数 只有一个极值点，不合乎题意；
⑤当 时，直线 与函数 的图象的公共点的横坐标为 ，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递减，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
此时函数 只有一个极值点，不合乎题意；⑥当 时，直线 与函数 的图象有两个公共点，设这两个公共点的横坐标分别为 、 ，设
，则 ，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递减，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递减，
若 时， ， ， ，此时 ， 单调递增，
此时函数 有三个极值点，不合乎题意.
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数极值点的个数求参数，注意到 ，本题在考查方程
时，要特别注意到 时 的取值，再求解时还应注意导数为零处的点时导数符号的变化，充分
利用极值点的定义来求解.
二、多选题
5．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知 ，若关于 的方程 存在正零
点，则实数 的值可能为（ ）
A． B． C．e D．2
【答案】CD【分析】将式子变形为 ，构造函数 ，和 ，即可利用导
数求解单调性，即可求最值.
【详解】依题意， ，令 ，
故问题转化为 有解.
设 ，则 ，
故当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 ，而 ，所以 存在唯一零点 ，
即 在 有解，即 ，
令 ，则 ，
故当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，解得 ，故实数 的取值范围为 ，
故选：CD.
【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后
的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而
可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，
都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A． 有极小值 B． 有极大值
C．若 ，则 D． 的零点最多有两个
【答案】BCD【分析】利用导数有无变号零点可得AB的正误，通过构造函数结合切线可得C的正误，通过对 的讨论
分析可得D的正误.
【详解】对于A，∵当 时， ， 无极值，故A不正确；
对于B， ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，∴ 有极大值，故B正确；
对于C，由 ，得 ，即 ，
设 ，∴ ；
设 ，则 ， ，
当 时， ， 为减函数，注意到 ， 时， ，不合题意；
当 时， ， 时， ， 为减函数，
时， ， 为增函数；
∴ ；
设 ，则 ，
当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；
∴ ，∴只有当 时， 才能成立，∴ ，故C正确；
对于D，由C知， ， ， ， 为增函数；
当 时， ，当 无限趋近于0时， 无限趋近于 ，且 ，即此
时 有两个零点，∵ 为增函数， ，∴此时 有两个零点.
同理可得，当 时， 有两个零点.
当 时， ，此时 有一个零点1，∴此时 有一个零点.
当 时， 为减函数， ，此时 有一个零点1，∴此时 有一个零点.故D
正确.故选:BCD.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是极值问题通过导数有无变号零点来判断；二是对
的转化，通过换元化为简单的函数来求解；三是零点个数通过拆分函数，由复合函数的零点
个数来判断.
三、填空题
7．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知 ，不等式 对 恒成立，则实数
的最小值为__________.
【答案】
【分析】将不等式等价变形为 ，构造函数 ，进而问题转化成 ，构造
，利用导数求解单调性进而得最值.
【详解】 ，构造函数 ， ，故 在
上单调递增，故 等价于 ，即 任意的实数 恒成立．
令 ， 则 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增， ，得
．
故答案为：【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别
8．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数 在 和 ，两处取得极值，且
，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意可得原题意等价于 与 有两个不同的交点，再数形结合分析两根的关系运算求
解.
【详解】因为 ，则 ，
令 ，且 ，整理得 ，
原题意等价于 与 有两个不同的交点，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 或 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
由图可得：若 与 有两个不同的交点，可得： ，
因为 ，则 ，
由图可知：当 增大时，则 减小， 增大，可得 减小，取 ，令 ，则 ，
因为 ，解得 ，
所以 ，则 ，
即实数a的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：对于函数的极值问题，需要根据题意参变分离，利用数形结合求解函数零点问题，即
画出图像分析极值点之间的关系，并找到临界条件进行分析.
四、解答题
9．（2023·浙江绍兴·统考二模）设函数 ，其中 .
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)设 ，当 时，
①证明：函数 恰有两个零点；
②若 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明： .【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）当 时，对 求导，得到 的单调性即可求出函数 的值域；
（2）①由题知 ，进而构造函数 ，研究函数单调性，结合零点存
在性定理可得存在唯一 ，使得 ，进而得函数 的单调性即可证明；②要证 ，
即证 ，结合题意得 ，对 求导，再根据 得
，故 ，即可证明.
【详解】（1）当 时， ，显然函数 的定义域为 .
令 得 ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
在 上单调递增，在 上单调递减.
.
且当 趋近于 ， 趋近于负无穷，当 趋近于正无穷， 趋近于负无穷，
故函数 的值域是 .
（2）①显然 ，定义域为 .
，令 ，则由 可知，
在 单调递减，且当 趋近于 ， 趋近于 .
而
存在唯一的 使得 ，
所以当 时， ，当 ， ，
于是 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而 . ，
令 ，
若 ，可得： ；若 ，可得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，当 时取等,
由 知：
，
， ，
（注意： 且 ，则 ，即 递增，故 ；
且 且 ，则 ，即 递减，故 ；所以 、 在 上恒成立.）
在 都各有一个唯一零点，故 恰有两个零点.
②由题意得 ，由于 ，要证 ，即证 .
，由（1）知 ，
从而 ，
令 ，则 ，且 ，
令 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
，所以 ，
故 .
于是 在 上单调递减，故 ，即 ，即 .
【点睛】关键点点睛：根据不等式 对 进行放缩得 ，故
，进而证明结论.
10．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数 ，其中a为实数.
(1)若 ，求函数 在区间 上的最小值；(2)若函数 在 上存在两个极值点 ， ，且 .求证： .
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】利用导函数的判断函数的单调性即可求最小值.
先根据 ， 为函数 在 上存在两个极值点，可得 ， 为 的两根，可得 ，带
入后即证 ，再根据 ， 和 的关系，消元后只需要证明 即 ，结合
，即证.
【详解】（1）当 时， ， ， ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ， 在 上单调递增，
所以当 时， 的最小值为 ．
（2）依题意， 在 上存在两个极值点 ， ，且 ．
所以 在R上有两个不等的实根 ， ，且 ．
令 ， ，
所以当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故函数 在 处取得最小值，要使得 在R上有两个不同的零点，必须满足 得 ，
此时 ，故 ．
因为 ， 是 的两个不等的实根，
所以 ，即
要证： ，即证： ，只要证： ．
下面首先证明： ．
要证： ，即证： ，
因 ， 在 上单调递增，
只要证： ，即证： ，
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减， ，即 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，故 ．
要证： ，只要证： ，即证： ，
只要证： ，即证： ，
事实上， ， 显然成立，得证．
【点睛】方法点睛：双变量问题常用解题策略：
1.变更主元，对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元
的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母
x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解
决，我们称这种方法为变更主元法.
2.指定主变量，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得
以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想.
3.整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于,x的双变量问题等价转化为以x,x所表示的运算式作为整体
的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问
题的思想称之为变量归一思想.
