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微专题二 圆周运动的临界问题
目
录
01 课标达标练..........................................................................................................................................1
题型01 轻“绳”模型............................................................................................................................................1
题型02 轻“杆”模型............................................................................................................................................2
题型03 水平面内圆周运动临界问题..................................................................................................................5
题型04 斜面上圆周运动的临界问题................................................................................................................10
02 核心突破练........................................................................................................................................12
03 真题溯源练........................................................................................................................................19
01 轻“绳”模型
1．（2025·四川凉山·三模）如图所示，竖直面内相距0.1L 的竖直线上固定A、B 两光滑钉子，长为L 的轻
质细绳一端固定在B 钉子上，另一端与质量为m 的小球相连，向右给小球瞬时冲量，小球恰能在竖直面内
做完整的圆周运动，转两圈后在最低点绳子被拉断。重力加速度为g，不计空气阻力，则绳子能承受的最
大拉力可能是（ ）
A．6.6mg
B．7.2mg
C．7.8mg
D．8.2mg
【答案】BC
1
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【详解】设小球获得瞬时冲量后，小球的瞬时速度为
，则小球第一次到达最高点，根据动能定理
其中，在最高点时
解得
小球转两圈后在最低点时，设速度为
，根据动能定理
解得
若小球转两圈后在最低点绳子在与B 接触前瞬间拉断，则
解得
若小球转两圈后在最低点绳子在与B 接触后瞬间拉断，则
解得
所以绳子能承受的最大拉力
故选BC。
02 轻“杆”模型
2．（2025·江西萍乡·三模）如图，表面光滑的竖直圆环轨道固定在水平面上，半径为
，一小球静止在轨
道的最高点A 点。小球受到轻微的扰动，从A 点由静止沿轨道滑下，一段时间后，小球在
点脱离轨道，
速度大小为v，
两点的连线与竖直方向的夹角为，小球可看作质点，重力加速度大小为g，下列说
法正确的是（ ）
2
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】小球在
点脱离轨道时，重力沿半径方向的分力提供向心力，则有
小球从A 点运动到
点，根据机械能守恒定律有
解得
故选A。
3．（2025·河南·模拟预测）如图所示，轻杆的一端可绕光滑固定转轴
在竖直平面内自由转动，另一端连
接一质量为
的小球（可视为质点），
、
分别为竖直、水平直径。某时刻，小球在A 点受到轻微
扰动开始下摆，不计一切阻力，重力加速度为
，下列说法正确的是（ ）
A．若小球在A、
点时，受到轻杆的作用力大小分别为
、
，则
B．小球在
点和
点时的加速度相同
3
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C．轻杆给小球的作用力最大为
D．小球位于
点时，转轴
对轻杆有竖直向下的作用力
【答案】A
【详解】AC．小球位于A 点时，速度为零，则有
的方向竖直向上；
小球从A 点到B 点，根据机械能守恒有
解得
小球位于B 点时，根据牛顿第二定律有
解得
方向竖直向上；
可知轻杆给小球的作用力最大为
；则有
，故A 正确，C 错误；
B．根据牛顿第二定律可知，CD 两点加速度方向不同，故B 错误；
D．小球位于B 点时，轻杆给小球的作用力竖直向上，根据牛顿第三定律，小球给轻杆的作用力竖直向
下，轻杆所受合力为0，故转轴给轻杆的作用力竖直向上，故D 错误。
故选A。
4．（2025·河南·三模）如图所示，半径为R、内壁光滑的细圆管轨道竖直放置，一质量为m 的小球在细圆
管内可以做完整的圆周运动。已知细圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于细圆管内径，重力加速度
为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过最低点时，可能处于失重状态
4
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B．小球经过最高点时，可能处于超重状态
C．若小球经过最高点的速度增大，则小球在最高点时对管壁的弹力减小
D．若小球经过最高点的速度大于
，则小球经过最高点和最低点时对轨道的弹力差为6mg
【答案】D
【详解】A．小球在最低点时，加速度方向向上，小球处于超重状态，故A 错误；
B．小球经过最高点时，加速度大小为零或方向向下，小球可能处于失重状态，故B 错误；
C．若小球经过最高点的速度较大，则轨道对小球有向下的弹力，有
若小球的速度增大，则小球在最高点对管壁的弹力增大，故C 错误；
D．设小球经过最高点的速度大小为
，经过最低点的速度大小为
，在最高点有
在最低点有
小球从最高点到最低点，由动能定理有
联立解得
，故D 正确。
故选D。
03 水平面内圆周运动临界问题
5．
（2025·北京海淀·二模）如图1 所示，“冰坑挑战”需要挑战者先进入一个坡面与水平面夹
角为、半径为R 的倒圆锥型冰坑，然后尝试从其中离开。方式甲——挑战者沿着如图2 甲所示坡面向上
走或爬的方式，很难离开冰坑，通常还是会滑回坑底。方式乙——挑战者沿着如图2 乙所示的螺旋线方式
跑动多圈后，最终可以成功离开冰坑。已知挑战者的质量为m，其与冰面的动摩擦因数为
，重力加速度
为g。为了讨论方便，假定滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等；方式乙中人的跑动半径r 缓慢增大，每
一圈的轨迹都可近似为与水平地面平行的圆。下列说法正确的是（ ）
5
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A．在方式甲中，一定满足关系式
B．在方式甲和方式乙中，挑战者受到的最大静摩擦力大小不同
C．在方式乙中，可利用
求得每圈的最小速度
D．在方式乙中，挑战者离开冰坑做的功至少为
【答案】B
【详解】A．由于在方式甲中，挑战者很难离开冰坑，通常还是会滑回坑底。说明挑战者受到的摩擦力
小于重力的下滑分力，即有
A 错误；
B．在甲图方式在，其最大摩擦力
在乙图方式中，对挑战者受力分析如下
在水平方向上，根据牛顿第二定律则有
其中为挑战者圆周运动的线速度，为挑战者在该平面圆周运动的半径；
在竖直方向上，根据平衡条件可得
6
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联立解得
显然
，B 正确；
C．在乙方式中，由上述分析可知，支持力与摩擦力在水平方向的合力提供挑战者圆周运动的向心力，
因此不能利用
求每圈的最小速度，C 错误；
D．由题可知，冰坑的深度为
整个过程中，挑战者克服重力做的功
除此之外，挑战者还有克服摩擦力做一部分功，故在方式乙中，挑战者离开冰坑做的功至少大于
，D 错误。
故选B。
6．（2025·内蒙古包头·二模）如图所示，小木块a 和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，开始
时轻绳处于伸直状态但无拉力，a 的质量为3m，b 的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为r
和2r，a、b 与盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地
加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，a、b 所受摩擦力大小分别为
随
变化的图像正确的是（
）
A．
B．
7
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C．
D．
【答案】C
【详解】当圆盘减速度较小时，两木块均由静摩擦力提供向心力，对a 物块有
对b 物块有
则b 物块受到的摩擦力较小，当角速度
时，b 物块所受摩擦力达最大值，则
此时a 物块所受摩擦力为
，即仍未达最大值；
此后随着圆盘角速度逐渐增大，b 物块所受摩擦力保持不变，a 物块所受摩擦力继续增大；当角速度
时，a 物块所受摩擦力达最大值，设绳子拉力为
，对a、b 分别有
继续增大圆盘角速度，绳子拉力继续变大，b 物块所需向心力较小，所以b 物块所受摩擦力将逐渐减小
至零后反向再增大，此过程a 物块所受摩擦力为最大值保持不变。
故选C。
7．（2025 高三下·河北·学业考试）如图所示，在游乐场中的“磨盘”娱乐设施中，人就地坐在转动的水平
大圆盘上，当大圆盘转速增加时，人就会自动滑向盘边缘，为了增加转动时的稳定性，两位小朋友a 和c
（均可视为质点）分居圆盘圆心两侧，分别抓住经过圆心且刚好拉直的水平轻绳的一端。a 的质量为3m，
c 的质量为m，a、c 与圆心间的距离分别为
、
。小朋友a、c 与盘间的动摩擦因数均为
，滑
动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g。圆盘从静止开始绕经过圆心的竖直转轴缓慢地加速旋转
（先有摩擦力后有绳子的拉力），小朋友和圆盘始终保持相对静止，当圆盘转速稳定，且两小朋友与盘间
摩擦力均达到最大静摩擦力时，轻绳上的拉力大小可能为（ ）
8
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A．10
B．9
C．4
D．3
【答案】BD
【详解】由题可知，当圆盘的角速度较小时，和随圆盘转动的向心力较小，对分析可知
解得
对分析可知
解得
故
，当角速度缓慢增加时，先达到最大静摩擦。
当圆盘的角速度较小时，对受力分析有
，对受力分析有
解得
，
当圆盘的角速度较大时，对受力分析有
，对受力分析有
解得
，
，故BD 符合题意 ，AC 不符合题意。
故选BD。
8．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的质量均为m 的A、
B 两个物块（可视为质点）， A 和B 距轴心O 的距离分别为rA=R，rB=2R，且A、B 与转盘之间的最大静摩
擦力都是fm，两物块随着圆盘转动始终与圆盘保持相对静止。则圆盘转动的角速度从0 逐渐缓慢增大的过
9
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程中，下列说法正确的是（ ）
A．B 所受合外力大于A 所受合外力
B．A 受到的摩擦力一直指向圆心
C．B 受到的摩擦力一直指向圆心
D．A、B 两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为
【答案】AC
【详解】A．由于A、B 都做匀速圆周运动，合力提供向心力，根据牛顿第二定律得
，角速度
相等，B 的半径较大，所需向心力较大，故所受合力较大，故A 正确；
BC．由于最初圆盘转动角速度较小，A、B 随圆盘做圆周运动所需向心力较小，可由A、B 与盘面间静摩
擦力提供，静摩擦力均指向圆心，由于B 所需向心力较大，当B 与盘面间静摩擦力达到最大值时（此时
A 与盘面间静摩擦力还没有达到最大），若继续增大转速，则B 将做离心运动，而拉紧细线，使细线上
出现张力，转速越大，细线上张力越大，当B 与盘面间静摩擦力也达到最大时，B 将开始滑动，A 由于
拉力作用，A 将靠近圆心，所以A 受到的摩擦力先指向圆心，后离开圆心，而B 受到的摩擦力一直指向
圆心，故B 错误C 正确；
D．根据牛顿第二定律，对A 物块
对B 物块
联立得A、B 两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度为
，故D 错误。
故选 AC。
9．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，半径为
的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转
10
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的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO′重合。转台静止不转动时，将一质量为
可
视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A 点，且A 点与陶罐球心O 的连线与对称轴
OO′成θ=30°角，重力加速度g=10m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则：
(1)小物块与陶罐的动摩擦因数μ 为多少；
(2)当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A 点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0，求转台转
动的角速度ω0的大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）转台静止不转动时，小物块恰能静止于陶罐内壁的A 点，由平衡条件得
解得
（2）当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A 点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0，根
据牛顿第二定律可得
又
解得
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04 斜面上圆周运动的临界问题
10．（2025·安徽合肥·三模）如图所示，与水平方向成θ=30°角的圆盘绕垂直于盘面且过圆心的轴做匀速圆
周运动，角速度
。盘面上距轴r=0.5m 处有一可视为质点的小物块恰能与圆盘保持相对静止。
小物块的质量m=1kg，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取10m/s2，下列说法错误的是
（ ）
A．物块与盘面间的动摩擦因数为
B．物块从最低点转到最高点的过程中，圆盘对物块的摩擦力一直减小
C．物块转至与圆盘圆心高度相同处时，圆盘对物块的摩擦力大小为2.5N
D．在保持物块相对圆盘静止的情形下，改变圆盘角速度，物块在最高点的摩擦力不可能为零
【答案】C
【详解】B．对小物块受力分析，可知向心力由重力沿转盘斜面的下滑分力和转盘对物块的静摩擦力提
供，如图所示
以重力下滑分力的箭尾为圆心，向心力的大小为半径作圆，根据力的三角形定则可知，物块从最低点转
到最高点的过程中，圆盘对物块的摩擦力一直减小，故B 正确，不符合题意；
A．由B 的分析可知，物块在最低点时摩擦力最大，最容易脱落。物块与转盘恰能保持相对静止，可知
物块转至最低点时，摩擦力恰好为最大静摩擦力，根据牛顿第二定律有
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解得
，故A 正确，不符合题意；
C．当物块转至与转盘圆心高度相同处时，根据平行四边形定则有
，
故C 错误，符合题意；
D．若最高点摩擦力为零，根据牛顿第二定律有
解得
，大于
，故在保持物块相对圆盘静止的情形下，改变圆盘角速度，物块
在最高点的摩擦力不可能为零，故D 正确，不符合题意。
故选C。
11．（2025·河南开封·三模）如图所示，光滑斜面ABCD 为长方形，AB 边长为1.2m，BC 边长为1.6m，倾
角
，质量
的小球通过长为
的轻绳固定于长方形两条对角线的交点O，将轻绳拉直
并使小球在某一位置P（未画出）静止。现给小球一垂直于绳的速度，小球开始做圆周运动，绳子恰好在
最低点时断裂且小球刚好能够到达C 点。不计阻力，重力加速度g 取
。下列说法正确的是
（ ）
A．轻绳能够承受的最大张力为25N
B．轻绳断裂瞬间小球的速度大小为2.5m/s
C．到达C 点时小球的速度大小为3m/s
D．P 点一定不会在最高点
【答案】AD
【详解】BC．绳子在最低点时断裂时的速度设为，断裂后做类平抛运动，有
，
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解得
，
小球到达
点时速度大小为
，故BC 错误；
A．小球在最低点时绳能够承受的张力最大，根据牛顿第二定律
解得
，故A 正确；
D．若
点在最高点，到最低点的过程，根据动能定理
解得
故
点一定不会在最高点，故D 正确。
故选AD。
1．
（2025·山东日照·二模）如图甲所示为一小女孩在水泥管内踢球的情境，整个过程可简化为
图乙。固定的竖直圆形轨道半径为R，圆心为O，轨道上的C 点和圆心O 点的连线与水平方向的夹角为
37°。某次踢球时，小女孩把球从轨道最低点A 水平向左踢出，球在第一次经过C 点后恰好能通过最高点
B，当球第二次到达C 点时，恰好离开轨道并落入书包内，接球时书包与直径AB 的水平距离为0.2R。已知
球从A 点刚被踢出时的速度是经过B 点时速度的3 倍，球的质量为m，球与轨道间的动摩擦因数处处相等，
重力加速度为g，球可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
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A．球从A 到B 和从B 到A 的过程中，摩擦力做功相等
B．球从A 到B 的过程中，摩擦力做功为2mgR
C．球第二次到达C 点的速度大小
D．接球时书包离A 点的竖直高度为0.8R
【答案】C
【详解】A．球从A 到B 的过程比从B 到A 的过程中到达相同高度时速度大，因此A 到B 的过程球对轨
道的压力更大，摩擦力也更大，摩擦力做功更多，A 错误；
B．由球在第一次经过C 点后恰好能通过最高点B，故在B 点
得
，则
球从A 到B 的过程运用动能定理有
解得
，B 错误；
C．当球第二次到达C 点时，恰好离开轨道并落入书包内，则有
解得
，C 正确；
D．离开轨道球做斜抛运动，将
分解，
，
水平方向有
竖直方向有
则接球时书包离A 点的竖直高度
联立解得m=1kg ，D 错误。
故选C。
2．（2025·四川成都·模拟预测）圆周运动是生活中常见的一种运动。如图1 所示，一个小朋友坐在圆盘上
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随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动；如图2 所示，将小球拴在细绳一端，用手握住绳的另一端，使小
球以
点为圆心在竖直面内做完整的圆周运动。已知小球的质量为
，细绳的长度为
，重力加速度为
，
不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．图1 小朋友所受摩擦力的方向沿轨迹的切线方向
B．图1 中，当小朋友的位置离圆心较近时，小朋友容易相对圆盘滑动
C．图2 小球可能在竖直面内做匀速圆周运动
D．图2 小球在最低点和最高点时，细绳对小球的拉力大小之差恒定
【答案】D
【详解】A．图1 小朋友做圆周运动，摩擦力提供向心力，因此所受摩擦力的方向指向圆心，A 错误；
B．根据
可知，当小朋友的位置离圆心较远时，小朋友相同转速下受的静摩擦较大，则容易相
对圆盘滑动，B 错误；
C．小球在竖直面内做圆周运动时，由于重力做功，则速度大小不断变化，则不可能做匀速圆周运动，
C 错误；
D．小球在最低点和最高点时，速度关系满足
最高点时细绳的拉力满足
最低点时细绳的拉力满足
可得细绳对小球的拉力大小之差
即小球在最低点和最高点时，细绳对小球的拉力大小之差恒为6mg，D 正确。
故选D。
3．
（2025·山东济南·二模）如图所示，竖直圆形光滑轨道固定在水平地面上，右侧为管状结构，
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左侧为单层，外圆半径为R。将质量为m 的小球置于轨道最高点，给小球一个轻微的扰动，让小球从右侧
由静止滑下。已知管的内径略大于小球直径，且远小于外圆半径，重力加速度为g。关于小球的运动，下
列说法正确的是（ ）
A．小球一定能够回到轨道最高点
B．小球运动过程中对轨道的最大压力为6mg
C．小球脱离轨道时的速度大小为
D．小球脱离轨道时离地面的高度为
【答案】D
【详解】A．小球从最高点滑下，由于轨道光滑，机械能守恒；当小球滑到最低点时，重力势能完全转
化为动能，再从最低点上升时，动能逐渐转化为重力势能。由机械能守恒可知小球能后回到最高点速度
减为零；但是小球在左侧单层轨道上运动时，会在中途脱离轨道导致无法回到最高点，故A 错误；
B．小球在最低点时速度最大，对轨道的压力也最大。根据机械能守恒，从最高点到最低点的过程满足
解得
在最低点，小球受到的向心力由轨道的支持力N 和重力
提供
解得
由牛顿第三定律可知小球对轨道的最大压力为
，故B 错误；
C．小球在左侧单层轨道上运动时，当重力不足以提供向心力时，小球会脱离轨道。设小球脱离轨道时
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与竖直方向的夹角为，此时小球的速度为，满足
从最高点到脱离点，根据机械能守恒
解得
故C 错误；
D．小球脱离轨道时，与竖直方向的夹角满足
此时小球离地面的高度为
故D 正确。
故选D。
4．（2025·河南·模拟预测）一根粗糙的轻杆OA 上端固定在竖直转轴上，轻杆与竖直方向夹角始终为
，可以以某一角速度
绕竖直轴匀速转动。轻杆上套有轻质弹簧，弹簧一端与轻杆端点O 拴接，
一端与套在杆上的小球相连。弹簧原长为L，劲度系数
，小球质量为m，在B 点相对于杆静止，
。小球和杆之间的动摩擦因数
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说
法正确的是（ ）
A．若
，小球受到的摩擦力沿杆向上
B．无论角速度
多大，小球受到的摩擦力不可能沿杆向下
C．小球刚要与杆发生相对滑动时，小球所受的摩擦力大小为
18
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D．小球与杆发生相对滑动时的临界角速度为
【答案】BD
【详解】A．由题知弹簧原长为L，在B 点相对于杆静止，
，根据胡克定律可得弹簧弹力
小球相对杆静止，若
，此时重力沿杆向下的分力
则小球受到的摩擦力
故A 错误；
B．当
时，小球有沿杆向下运动的趋势，摩擦力始终沿杆向上，故B 正确；
CD．小球与杆刚要发生相对滑动时，对小球受力分析，水平方向有
竖直方向有
又有
联立解得
，
故C 错误，D 正确。
故选BD。
5．（2025·贵州贵阳·二模）如图所示，在水平圆盘圆心O 的一侧，沿半径方向放着用轻杆相连的两个物体
A 和B，A、B 的质量均为m，与圆盘的动摩擦因数分别为μA、μB，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现使
圆盘在不同的角速度ω 下绕过O 的竖直轴匀速转动，已知重力加速度为g，则B 未发生相对滑动前，其所
受的静摩擦力f 与ω2的关系图像可能是（ ）
19
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】A．在A、B 都未滑动前，且轻杆无拉力时，对B 物块，则有
即
与
成正比，且最大静摩擦力为
，A 正确；
BD．由于
，若
，随着
逐渐增大，A 受到的静摩擦不足以提供其圆周运动的向心力，即
A 先滑动时，则有
解得
当
弹性杆开始出现拉力，此时，对于A 则有
对于B 则有
联立解得
由此可知，在
的图像中，其斜率变大，B 正确，D 错误；
C．若
较小时，B 的静摩擦力达到最大时，在B 的摩擦力未达到最大时，且细杆间无弹力，则有
此时
与
成正比，随着
的增大，静摩擦力达到最大时，不再发生变化，其余向心力有杆的弹力提
20
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供，即为
，C 正确。
故选ABC。
6．（2025·河北·模拟预测）如图甲所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与质量为m、
可看成质点的小球相连，另一端穿入小孔O 与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细线
拉力大小及小球走过的路程s。初始时，细线水平，小球位于小孔O 的右侧，现敲击小球，使小球获得一
平行于斜面向上的初速度
，此后传感器记录细线拉力T 的大小随小球走过的路程s 的变化图像如图乙所
示，小球到O 点距离为L，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时速度为
B．小球位于初始位置时加速度的大小为
C．小球通过最低点时速度为
D．细线拉力最大值为
【答案】C
【详解】A．由图乙可知，小球通过最高点时，细线拉力大小为
，对小球受力分析，由牛顿
第二定律可得
解得小球通过最高点时速度为
，故A 错误；
B．小球从释放到最高点过程，只有重力做功机械能守恒，可得
联立解得
小球位于初位置时的向心加速度大小为
沿斜面向下的加速度大小为
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则实际加速度大小为
，故B 错误；
C．小球从最高点到最低点过程，机械能守恒可得
解得通过最低点时速度为
，故C 正确；
D．小球在最低点时，细线拉力具有最大值，对其受力分析，由牛顿第二定律可得
解得
，故D 错误。
故选C。
1．（2024·安徽·高考真题）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑
四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不
可伸长的轻质细线悬挂于O 点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，
小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长
。
小球质量
。物块、小车质量均为
。小车上的水平轨道长
。圆弧轨道半径
。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g 取
。
（1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
（2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
（3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数
的取值
范围。
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【答案】（1）6N；（2）4m/s；（3）
【详解】（1）对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理
解得
在最低点，对小球由牛顿第二定律
解得，小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为
（2）小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律
解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为
（3）若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒
由能量守恒定律
解得
若物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒
由能量守恒定律
解得
综上所述物块与水平轨道间的动摩擦因数
的取值范围为
2．（2025·福建·高考真题）如图甲，水平地面上有A、B 两个物块，两物块质量均为0.2kg，A 与地面动摩
擦因数为
，B 与地面无摩擦，两物块在外力F 的作用下向右前进，F 与位移x 的图如图乙所示，P
为圆弧最低点，M 为最高点，水平地面长度大于4m，重力加速度
。
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(1)求
，F 做的功；
(2)
时，A 与B 之间的弹力；
(3)要保证B 能到达M 点，圆弧半径满足的条件。
【答案】(1)1.5J
(2)0.5N
(3)
【详解】（1）求
，F 做的功
（2）对AB 整体，根据牛顿第二定律
其中
对B 根据牛顿第二定律
联立解得
（3）当A、B 之间的弹力为零时，A、B 分离，根据（2）分析可知此时
此时
过程中，对A、B 根据动能定理
根据题图可得
从
点到
点，根据动能定理
在
点的最小速度满足
联立可得
即圆弧半径满足的条件
。
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