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微专题六 配速法与洛伦兹力冲量法
目
录
01 课标达标练..........................................................................................................................................1
题型01 配速法与复合场中的摆线问题..............................................................................................................1
题型02 洛伦兹力冲量与动量定理在磁场中的应用.........................................................................................8
02 核心突破练........................................................................................................................................10
03 真题溯源练........................................................................................................................................15
01 配速法与复合场中的摆线问题
1．（2025·北京·模拟预测）我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy 平面内存
在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
。质量为
、电荷量为的
电子从
点沿
轴正方向水平入射，入射速度为
时，电子沿
轴做直线运动；入射速度为（
）时，
电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互
作用，下列说法错误的是（ ）
A．电场强度的大小
B．电子向上运动的过程中动能逐渐增加
C．电子运动到最高点的速度大小为
D．电子运动到最高点的速度大小为
1
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【答案】C
【详解】A．电子入射速度为
时，电子沿轴做直线运动，电子受到的电场力向上，由左手定则可知，
洛伦兹力向下，有
解得
，故A 正确，不符合题意；
B．电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中运动，由于洛伦兹力不做功，
向上运动到最高点， 电场力做正功，由动能定理可知，电子的动能增加，故B 正确，不符合题意；
C．因为入射速度为
时，电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，结合B 项分析可知，
电子在向上运动过程中动能增加速度增大，洛伦兹力增大，所以电子在最低点的合力向上，在最高点的
合力向下，设电子在最高点的速度大小为
，有
解得电子运动到最高点的速度大小为
，故C 错误，符合题意，D 正确，不符合题意。
故选C。
2．如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的
磁感应强度为
。一束质量均为
、电荷量均为
的粒子，以不同速率沿着两板中轴线
方向进入板间
后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为
的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，A 为
乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在
和
之间变化。研究一般的曲线运动时，可将
曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的
分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（ ）
A．两板间电场强度的大小为
2
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B．乙粒子从进入板间运动至A 位置的过程中所用时间为
C．乙粒子偏离中轴线的最远距离为
D．乙粒子的运动轨迹在A 处对应圆周的半径为
【答案】C
【详解】A．速率为v 的甲粒子恰好做匀速直线运动，则
解得两板间电场强度的大小为
，不符合题意，故A 错误；
B．带电粒子在磁场中做圆周运动，周期
，与速度无关，由题意可知，乙粒子从进入板间运动
至A 位置运动了半个周期，故所用时间为
，不符合题意，故B 错误；
C．由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受电场力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，电场力做的
功最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有
整理得到
，符合题意，故C 正确；
D．由题意，乙粒子的运动轨迹在A 处时为粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达最大，为
，
洛伦兹力与电场力的合力提供向心力
所以对应圆周的半径为
，不符合题意，故D 错误。
故选C。
3．（2025·江苏·模拟预测）如图所示，xOy 坐标平面在竖直面内，x 轴沿水平方向，y 轴正方向竖直向上，
在图示空间内有垂直于xOy 平面的水平匀强磁场。一带电小球从O 点由静止释放，运动轨迹如图中曲线。
3
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关于带电小球的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．OAB 轨迹为半圆
B．小球运动至最低点A 时速度最大，且沿水平方向
C．小球在整个运动过程中机械能先变大再变小
D．小球在A 点时受到的洛伦兹力与重力大小相等
【答案】B
【详解】小球释放后，除了受到重力外，开始阶段还受到向右侧的洛伦兹力的作用，只有重力做功机械
能守恒。可以假定小球带正电，且磁场方向垂直纸面向里。小球初速度为0，可以将这个初速度分解为
向右的速度v1和向左的速度v2
则两者大小关系为v1= v2
且使满足qv1B = mg
则根据前述分析可知，小球的运动可看作是v1引起的向右的匀速直线运动和v2引起的一开始向左的逆
时针匀速圆周运动的两个分运动的合运动。很显然，小球的轨迹不是半圆，而是摆线，如图所示
且小球运动至最低点A 时速度为向右的v2和v1的矢量和，即2v1，洛伦兹力大小为2mg。其他位置v2和
v1的矢量和都小于2v1，故选B。
4．（2025·浙江·一模）（多选）如图所示，在
坐标平面的第一、第四象限内存在足够宽的垂直纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度大小为
，同时放置有两个关于
轴对称且板间距离为
的平行金属板
、
，
两金属板间存在沿
轴负方向的匀强电场（图中未画出）。现有一质量为
、电荷量为
的可视为质点的
4
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带正电金属小球，以速度
从坐标原点沿
轴正方向做匀速直线运动后从两极板右端离开极板区域。不考
虑电场在两极板之外的效应，重力加速度为
。下列说法正确的是（ ）
A．小球离开两极板区域后可以运动到
轴的下方
B．两极板间的电场强度大小等于
C．小球在运动过程中的最大速度等于
D．小球在运动过程中偏离
轴的最大距离等于
【答案】BD
【详解】AB．小球在两极板间匀速运动时应有
得
小球离开两极区域，不再受电场力，将在磁场力和重力作用下运动到
轴上方，故A 错误，B 正确；
CD．小球离开两极间的运动可分解为沿水平方向
和
满足
根据洛伦兹力提供向心力可得
5
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可得其圆周运动的半径为
运动偏离
轴的最大距离等于
小球运动过程中最大的速度为
，故C 错误，D 正确。
故选BD。
5．（多选）空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向沿y 轴正方向，电场强度大小为E；磁场
方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为＋q 的粒子（重力不计）从坐标原点O 由静止释放，释放后，粒
子恰能沿图中的曲线运动。已知该曲线的最高点P 的纵坐标为h，曲线在P 点附近的一小部分，可以看作
是半径为2h 的圆周上的一小段圆弧。则（ ）
A．粒子在y 轴方向做匀加速运动
B．粒子在最高点P 的速度大小为
C．磁场的磁感应强度大小为
D．粒子经过时间
运动到最高点
【答案】BC
【详解】A．粒子受到电场力和洛伦兹力作用，粒子所受合力发生变化，粒子不可能做匀加速运动，故
A 错误；
B．粒子从O 运动到P 的过程，只有电场力做功，根据动能定理有
解得
，故B 正确；
6
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C．粒子经过P 点时，由电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，则有
结合上述解得
，故C 正确；
D．粒子从坐标原点O 由静止释放，初速度为0，可将粒子速度分解为沿x 轴正方向与沿x 轴负方向，
令分速度大小均为v0，且有
解得
则粒子的分运动为沿x 轴正方向，速度大小为v0的匀速直线运动，与初速度沿x 轴负方向，大小也为v0
的，沿逆时针方向的匀速圆周运动，根据
，
解得
粒子从O 到P 的过程经历时间
结合上述解得
，故D 错误。
故选BC。
6．（多选）如图所示，磁控管内局部区域分布有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。一电
子从M 点由静止释放，沿图中轨迹依次经过N、P 两点，且N 点离水平虚线最远。已知磁感应强度为B，
电场强度为E，电子质量为m、电荷量为e，电子重力不计，则（ ）
A．电子在N 点的速率为
B．N 点离虚线的距离为
C．电子从M 到N 点的时间为
D．M、P 两点的距离为
7
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【答案】BD
【详解】AB．根据“配速法”，电子在M 点由静止释放，可看做是电子分别以
的速度向左运动
和以速度
向右运动，由于
可看做向左的匀速直线运动和向下的匀速圆周运动的合运动，其中圆周运动满足
可得
因N 点离虚线最远，则两个方向的分速度均向左，则电子在N 点的合速度
N 点离虚线的距离为
，A 错误，B 正确；
C．电子从M 到N 点的时间为
，C 错误；
D．M、P 两点的距离为
，D 正确。
故选BD。
7．（多选）我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy 平面内存在竖直向下的匀
强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
。质量为
、电量为
的电子从O 点沿x 轴
正方向水平入射，入射速度为
时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度为（
）时，电子的运动轨迹
如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用，下列说法
正确的是（ ）
A．电场强度的大小
B．电子向上运动的过程中动能逐渐增大
C．电子运动到最高点时速度为
8
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D．电子运动到最高点时速度为
【答案】BC
【详解】A．当入射速度为
时，电子沿x 轴做直线运动，则有
可得电场强度大小为
，故A 错误；
B．入射速度为（
）时，则
，且电子向上偏转，则受到向上的电场力做正功，洛伦兹力
不做功，故电子向上运动的过程中动能逐渐增大，故B 正确；
CD．入射速度为（
）时，可将电子的入射速度分解为水平向右的速度
和水平向左的速度
，
电子运动可看成速度大小为
的水平向右匀速直线运动和速度大小为
的顺时针的匀速圆周运动，
电子运动到最高点的速度大小为
，故C 正确，D 错误。
故选BC。
02 洛伦兹力冲量与动量定理在磁场中的应用
8．（2025·山东聊城·二模）如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为L 的匀强电场和匀强磁场，匀强电场
竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子
（不计重力）从电场的上边界的a 点由静止释放，运动到磁场的下边界的b 点时正好与下边界相切。若把
电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，粒子从上边界c 点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最
低点d（图中位置仅为示意），下列说法正确的是（ ）
9
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A．a、b 两点之间的距离为
B．匀强电场的场强大小为
C．粒子在d 点的速度大小为
D．粒子从c 点到d 点的竖直位移为
【答案】C
【详解】A．由几何关系可得
粒子从a 到b 的位移为
故A 错误；
B．设粒子在磁场中速率为v，半径为R
由动能定理可得
由洛伦兹力充当向心力可得
由题意结合几何关系可得
联立解得
故B 错误；
CD．把粒子从c 到d 的过程中的平均速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，设两个平均分速度分别为
、
，把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解
根据左手定则，两个洛伦兹力的分力分别为
，
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设粒子在最低点d 的速度为v
水平方向由动量定理可得
由动能定理可得
结合
，
联立解得
，
故C 正确，D 错误；
故选C。
1．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，有沿x 轴正方向的匀强电场和垂直坐标平面向外的匀强磁场，匀
强电场的电场强度大小为E，匀强磁场的磁感应强度大小为B。从O 点发射比荷为
的带正电粒子，该粒
子恰能在xOy 坐标平面内做直线运动。已知y 轴正方向竖直向上，不计粒子受到的重力。
(1)求粒子发射时的速度大小和方向；
(2)若将电场强度方向调整为竖直向上，该粒子以（1）中的速度从O 点射出后，求粒子在运动过程中的最
大速度；
(3)若将电场强度方向调整为竖直向下，该粒子改为从O 点由静止释放，求粒子运动的轨迹上的点到x 轴的
最大距离。
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【答案】(1)
，竖直向下
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知，粒子做匀速直线运动，粒子带正电，由物体平衡条件可知，粒子受到的电场
力方向向右，洛伦兹力方向向左，由左手定则可知，粒子在O 点的速度方向沿y 轴负方向，即竖直向下。
由
解得
（2）若将电场强度方向调整为竖直向上，则粒子受到竖直向上的电场力和水平向左的洛伦兹力，用配
速法配一个与电场力等大反向（竖直向下）的洛伦兹力，由左手定则可知，产生此洛伦兹力的速度水平
向右，而此速度本来是没有的，所以给这个速度配个等大反向（水平向左）的速度，至此，由原来的一
个竖直向下的速度变为三个等大的速度，水平向右的速度做匀速直线运动，竖直向下和水平向左的速度
合成为斜向左下方且与x 轴成45°角的速度，粒子之后做匀速圆周运动。当粒子做匀速圆周运动的速度
方向水平向右时，有最大速度
（3）将由静止释放的粒子看成同时具有大小相等、方向分别水平向左和水平向右的初速度v1、v2，向
左的速度v1产生的洛伦兹力与电场力大小相等，有
解得
向左的分速度使粒子水平向左做匀速直线运动，向右的分速度使粒子在洛伦兹力下做匀速圆周运动，即
解得
粒子运动的轨迹到x 轴的最大距离
2．
（2025·湖南永州·三模）如图，水平面上固定有足够长的平行导轨P、Q，导轨间存在方向竖
12
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直向下，大小为B（大小未知）的匀强磁场，且导轨间距足够大。有一质量为M 的圆筒垂直导轨放置，长
度略小于导轨内侧间距（可认为相等），a 端封闭，b 端开口，能沿导轨自由滑动。另有一质量为m，带电
量为q（q>0）的小球（直径大小可忽略不计）能沿圆筒自由移动。圆筒不会屏蔽磁场，小球不发生电荷转
移，忽略一切摩擦及空气阻力。
(1)先撤去圆筒，将小球紧贴导轨Q 并给其与导轨Q 夹角为37°的初速度
，如图甲，若小球没有离
开磁场，且与导轨Q 最大距离为1.8L，求磁感应强度B 的大小；
(2)若B 为（1）中所求，现装上圆筒，若M=m，将小球放入筒中靠近b 端处，给圆筒中心施加大小为
1.5mg，方向平行于导轨向右的恒力F，如图乙，求F 作用距离为L 时小球速度大小；
(3)若
，装上圆筒，将小球放入圆筒中且与导轨P 的距离为L，现给小球与圆筒一个平行于导轨
向右的相同初速度
，如图丙。当小球与导轨a 端发生碰撞时，平行于导轨方向的速度不变，垂
直于导轨的速度反向且大小变为碰前的e 倍（0<e<1），请计算：
①在与a 端发生第n 次碰撞到第n+1 次碰撞期间，小球与P 导轨的最大距离。
②从小球开始运动到①中与P 导轨的最大距离时，小球在平行导轨方向所经过的位移大小。
【答案】(1)
(2)
(3)①
，②
【详解】（1）根据几何关系有R=L
小球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
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（2）在很小的每一段时间Δt 内，小球与圆筒x 方向速度vx′视为不变，则y 方向受到洛伦兹力为
小球在y 方向上由动量定理有
累积后有
解得
对小球与圆筒进行分析，根据动能定理有
解得
解得
（3）从初始到第一次碰前有
根据能量守恒定律有
解得第一次碰前瞬间
，
则第一次碰后瞬间有
，
从第一次碰后至第二次碰前，根据动量定理有
由于
解得
则第二次碰前x 方向上，小球与圆筒速度大小为
，由能量守恒定律克知小球y 方向上的速度大小为
，则第二次碰后瞬间有
，
以此类推，第n 次碰后瞬间有
，
从第n 次碰后至小球离P 导轨最远，则有
14
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由洛伦兹力提供向心力，则有
其中xn 表示第n 次碰后至第n+1 次碰前小球在x 方向上的位移，由于
解得
，
又从开始运动到第一次碰前有
解得
则有
3．如图所示，在水平虚线下方有正交的匀强磁场和匀强电场，其中磁场方向垂直纸面向里，电场方向水
平向右。在距离水平虚线高处的
点以某一初速度水平向右抛出一个质量为
、带电荷量为
的小球，
小球通过水平虚线上的
点进入电场、磁场区域且在
点的速度方向与水平方向的夹角为
，一段时间后，
小球又从水平虚线上的
点与水平方向成
角斜向右上方射出电场、磁场区域，已知匀强电场的电场强度
大小
（
为重力加速度大小），
两点间的距离为
，
，求：
(1)小球经过
点时的速度大小
；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小
；
(3)小球从
点运动到
点的时间。
【答案】(1)
15
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(2)
(3)
【详解】（1）小球从
点到
点做平抛运动，设小球做平抛运动的时间为
，则有
小球经过点时的速度大小
解得
（2）设带电小球从
点运动到
点的时间为
，小球经过
点时的速度大小为
，根据动能定理有
解得
小球经过
点时，水平方向的速度
竖直方向的速度
在竖直方向，根据动量定理有
在水平方向，根据动量定理有
根据题意有
，
解得
（3）带电小球从
点运动到
点的时间
其中
，
16
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解得
1．（2023·江苏·高考真题）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在竖直向下的
匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e 的电子从O 点沿x 轴
正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中
的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为
，求运动到速度为
时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数
N0的百分比。
【答案】（1）v0B；（2）
；（3）90%
【详解】（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动则有Ee = ev0B
解得E = v0B
（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，
且由于电子入射速度为
，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
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解得
（3）若电子以v 入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有F 合 = evmB－eE
在最低点有F 合 = eE－evB
联立有
要让电子达纵坐标
位置，即y ≥ y2
解得
则若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数N0
的90%。
18
