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第二章 相互作用——力
动态平衡及临界与极值问题
学习导航站
考情分析·探规律：掌握考试内容的变化趋势，建立考情框架
核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点
考点1 动态平衡问题★★★☆☆
考点2 平衡中的临界与极值问题★★★☆☆
（星级越高，重要程度越高）
真题挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯
【考情分析·探规律】
知识点
年份
试卷及题号
动态平衡及临界与极值问题
2024
2024·重庆
2023
山东卷 T2
2022
2022·河北、2022·湖南、2022·浙江
2021
广东卷 T11
【知识梳理】
考点一 动态平衡问题
1. 动态平衡
动态平衡就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，但变化过程中的每一个状态均可视
为平衡状态，所以叫作动态平衡．
2. 常用方法
图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法．
【考法归纳】动态平衡问题的处理方法
特征及方法
解题思路
图示
1
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一力恒定，另
一力方向不变
解析法
根据平衡条件得到因变量与自变量的函
数表达式，根据自变量的变化确定因变
量的变化
图解法
恒力反向、定力平移、变力旋转
一力恒定，另
两力均变化
相似三
角形法
力的矢量三角形与几何三角形相似，进
而由力的矢量三角形与几何三角形对应
边成比例，判断未知力的大小和方向
辅助圆法
画出力的矢量三角形的外接圆，以不变
的力为弦，用“同弦所对的圆周角相
等”的规律判断移动过程中各力的变化
情况
一力恒定，另
两力方向均变
化
晾衣绳
模型
移动两杆：
口诀：近小远大纵不变
考点二 平衡中的临界与极值问题
1. 临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好
不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见种类：
(1) 由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2) 绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3) 刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2. 极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
2
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【考法归纳】临界极值问题的处理方法
极限法
首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值
点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问
题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小
数学
分析法
通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画
出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函
数极值)
物理
分析法
根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程分析，利用平行
四边形进行动态分析，确定最大值与最小值
【真题挑战】
一、单选题
1．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截
面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方
向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F 的
最大值为（ ）
A．
B．
C．G
D．
【答案】B
【详解】分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F 最大，根据平衡条件有
解得
故选B。
2．（2025·陕西西安·三模）如图所示，要使物块静止在斜面上必须在物体上施加一平行于斜面向上的拉
力F，已知F 的最大值为a，最小值为b，则物块所受的最大静摩擦力为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意，当F 最大时，有
当F 最小时，有
联立可得
故选A。
3．（2025·山东日照·二模）如图所示，一根轻质细绳两端分别固定在等高的A、B 两点，一灯笼用轻质光
滑挂钩挂在细绳上，挂钩与细绳接触的点为O。下列判断正确的是（ ）
A．无风时，将B 点缓慢竖直向上移动的过程中，细绳上的弹力逐渐增大
B．无风时，将B 点缓慢竖直向上移动的过程中，∠AOB 逐渐减小
C．若灯笼受到水平向右的恒定风力，灯笼静止时，∠AOB 比无风时小
D．若灯笼受到水平向右的恒定风力，灯笼静止时，AO 段的拉力大于BO 段的拉力
【答案】C
【详解】AB．设绳长为L，两点之间的距离为d，根据几何关系可得
4
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无风时，根据平衡条件可得
解得
将B 点缓慢竖直向上移动的过程中，∠AOB 不变，细绳上的弹力不变，故AB 错误；
C．受到水平向右的恒定风力时，灯笼受力增加一个风力，四力平衡，两个绳子的拉力的合力与重力、风
力的合力相平衡，如图所示的状态
设有风时绳子夹角的一半为
，由几何关系有
由上述分析可知无风时，由几何关系有
因为
联立可知
故C 正确；
D．由于不计绳子的质量和绳与衣架挂钩间的摩擦，因此O 点为活结，活结两端的拉力总是大小相等，故
D 错误；
故选C。
4．（2025·江西赣州·二模）如图为某科普博主带领同学们做实验的情景，有顶角
不同的圆锥放在桌面
上，现让同学们挑战按图示那样用手压紧圆锥表面将其拿起。若手与圆锥体间的动摩擦因数为0.5，最大
静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。则以下不同顶角圆锥，有可能被拿起的是（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设左右手对接触面弹力均为F，则对于圆锥整体，若拿的起来时，有
整理得
故
计算发现只有
满足条件，故D 选项符合题意。
故选D。
5．（2025·安徽·三模）在抗震救灾中，常常要把压在被困人员身上的建筑物抬起，以便施救。某次在山
坡灾害救援中，为防止坡道上的石块下滑对下方被困人员造成二次伤害，救援人员采取适当的办法以防
止石块下滑，可以简化如图，物体置于倾角为α 的粗糙斜面上，斜面体放在粗糙的水平地面上，用水平
力F 推物体，物体及斜面体均保持静止，F 适当减小时，物体、斜面体仍保持静止，则下列说法一定正确
的是（ ）
A．物体所受的合力减小
B．斜面体对物体的支持力减小
C．物体所受摩擦力减小
D．地面对斜面体的支持力减小
【答案】B
【详解】A．因为物体始终保持静止，故物体所受合力始终为零，所以物体所受合力不变，故A 错误；
B．对物体进行受力分析，物体受到重力
、水平力
、斜面体的支持力
和摩擦力
，将重力沿斜面
和垂直斜面方向分解，垂直斜面方向有
所以当
减小时斜面体对物体的支持力减小，故B 正确；
C．摩擦力的方向需要分情况讨论
若
，则摩擦力
减小时，摩擦力减小
若
，则摩擦力
6
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减小时，摩擦力增大，所以物体所受摩擦力不一定减小，故C 错误；
D．对物体和斜面体整体进行受力分析，整体受到重力
、地面的支持力
、水平力
和摩擦
力，在竖直方向上有
与
无关，所以地面对斜面体的支持力不变，故D 错误。
故选B。
6．（2025·河北邯郸·模拟预测）我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从
矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角
为
，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为
，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m 的矿石沿斜面
匀速上滑，所需的拉力最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对矿石受力分析如图
将
与
合成，设其合力方向与
成
夹角，易知
，得
分别作出
与
合力的反向延长线，可知重力与
的反向延长线夹角与斜面倾角相等，即
，
由几何关系得，过重力的下端点作
与
合力反向延长线的垂线，即为所需的拉力最小值，
7
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，得
。
故选A。
7．（2025·陕西·三模）在一个倾角为
的足够长粗糙斜面上，放置一个质量为
的物块，物
块与斜面间的动摩擦因数
。现对物块施加一个大小和方向都可以改变的外力
，使物块在斜面上
以恒定速度
沿斜面向上运动。已知重力加速度
，则外力
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．12N
D．16N
【答案】B
【详解】设外力与
与斜面的夹角为
，物块在斜面上以恒定速度沿斜面向上运动
由垂直于斜面方向平衡得
由平行于斜面方向平衡得
又
设
，
整理得
当
时，外力
有最小值
故选B。
8．（2025·山东泰安·模拟预测）如图甲所示，我国古建屋顶多采用蝴蝶瓦方式铺设。图乙是两片底瓦和
一片盖瓦的铺设示意图，三根相同且平行的椽子所在平面与水平面夹角为
。图丙为截面示意图，圆弧
形底瓦放置在两根相邻的椽子正中间，盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触。已知相邻两椽子与底瓦接
触点间的距离为底瓦半径的
倍，盖瓦和底瓦形状相同，厚度不计，质量相同、最大静摩擦力等于滑动
8
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摩擦力，重力加速度大小
取
，在无扰动的情况下，底瓦与盖瓦均保持静止。若仅铺设这三片瓦
进行研究，则底瓦与椽子间的动摩擦因数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】题意知相邻两椽子与底瓦接触点间的距离为底瓦半径的
倍，设椽子与底瓦接触点间的弹力
方向与竖直方向成
角，底瓦半径为R，根据几何关系可知
可知
以两片底瓦和盖瓦整体为研究对象，垂直椽子所在平面方向上整体处于平衡状态，可知
在无外界干扰的情况下，为使底瓦与盖瓦不下滑，应使
联立解得
可知底瓦与椽子间的动摩擦因数至少为
。
故选D。
9．（2025·贵州贵阳·模拟预测）倾角为
的斜面固定在水平面上，在斜面上放一个质量为M 的物块A，
物块A 和斜面之间的动摩擦因数为
，且
，现用一沿斜面向上的力F 作用于A 上，使其与斜面
保持静止，则（ ）
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A．物块A 一定不受摩擦力的作用
B．当
时，物块A 所受摩擦力一定沿斜面向下
C．当
时，物块A 所受摩擦力摩擦力一定沿斜面向下
D．当
的情况下逐渐增大时，物块A 所受摩擦力一定沿斜面向下
【答案】B
【详解】A．根据平衡条件可知，只有当
时，物块A 才不受摩擦力的作用，故A 错误；
B．当
时，由沿斜面方向受力平衡可知，物块A 所受摩擦力沿斜面向下，故B 正确；
CD．当
时，由沿斜面方向受力平衡可知，物块A 所受摩擦力摩擦力沿斜面向上， 故CD 错
误。
故选B。
10．（2025·浙江湖州·三模）如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光
滑滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F 作用在滑块A 上，使A 向右移动。已知
A、B 的质量分别为m 和2m，滑块A 与细杆间的动摩擦因数为
。则（ ）
A．若A 做匀速运动，则B 也做匀速运动
B．若B 做匀速运动，则A 做加速运动
C．若A 缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为
时，拉力F 有最小值
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D．若A 缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为
时，拉力F 一直在增大
【答案】D
【详解】AB．对AB 两滑块速度关系如图所示
由几何关系有
若A 做匀速运动，
逐渐减小，
逐渐增大，则B 的速度逐渐增大；若B 做匀速运动，
逐渐减小，
逐渐增大，则A 的速度逐渐减小，故AB 错误；
CD ．对滑块B 有
对滑块A 有进行受力分析如图所示
由于滑块A 从图示（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至
过程中
可知
则在竖直方向上有
则在水平方向有
联立解得
假设
，
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解得
则可求得
滑块A 从图示虚线位置开始缓慢向右移动过程中，
减小，可知F 逐渐增大，当
时
解得拉力F 有最大值
故C 错误，D 正确。
故选D。
二、多选题
11．（2025·山西吕梁·三模）如图所示，将一光滑轻杆固定在水平地面上，杆与地面间的夹角为
，一光
滑轻环套在杆上，一个大小和质量都不计的滑轮用轻绳
悬挂在天花板上，用另一轻绳绕过滑轮系在轻
环上，轻绳另一端系一质量为
的小物块，用手扶住小物块使
恰好在竖直方向。现用手扶着小物块使
其缓慢向下运动，到达某位置时松手，小物块恰好可以保持静止，此时（已知重力加速度大小为
，小
物块未碰杆或地面）（ ）
A．绳
与水平方向的夹角为
B．绳
的张力大小为
C．绳
与水平方向的夹角为
D．绳
的张力大小为
【答案】ABD
【详解】A．再次平衡时，以轻环为对象，根据平衡条件可知，绳
与杆垂直，所以绳
与水平方向的
夹角为
，故A 正确；
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B．系统处于平衡状态，以小物块为对象，根据受力平衡可知，绳
的张力大小为
，故B 正确；
C．绳
在
绳和系小物块的绳夹角的角平分线上，所以绳
与水平方向的夹角为
，故C 错误；
D．根据平衡条件可得绳
的张力大小为
故D 正确。
故选ABD。
12．（2025·云南玉溪·三模）如图所示，倾角为
的斜面和半径为R 的半圆弧连接，圆心O 在斜面的延
长线上，连接点M 处有一轻质定滑轮，N 为圆弧最低点且
，斜面的底端固定一挡板P。物块
B、C 间由一轻质弹簧拴接置于斜面上（弹簧平行于斜面），其中C 紧靠在挡板P 处，B 用跨过滑轮的不
可伸长的轻绳与小球A 相连，开始时将小球A 锁定在M 处，此时轻绳与斜面平行，且恰好伸直但无张力，
B、C 处于静止状态。某时刻解锁小球A，当小球A 沿圆弧运动到最低点N 时（物块B 未到达M 点），
物块C 对挡板的作用力恰好为0。已知小球A 的质量为
，物块B、C 的质量均为
，重力加速度为
，
小球与物块均可视为质点，不计一切摩擦，弹簧始终处于弹性限度内，则（ ）
A．小球A 从M 点运动到N 点的过程中，物块B 的机械能守恒
B．弹簧的劲度系数
C．小球A 到达N 点时，小球A 的速度大小
D．小球A 到达N 点时，物块B 的速度大小
【答案】BC
【详解】A．小球A 从M 点运动到N 点的过程中，物块B 除重力以外还有弹簧弹力、绳子拉力做功，所
以物块B 的机械能不守恒，故A 错误；
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B．未解锁小球A 之前，弹簧处于压缩状态，对物块B 受力分析有
小球A 到达N 点时，物块C 对挡板的作用力恰好为0，此时弹簧处于伸长状态，对物块C 进行分析有
根据几何关系有
联立解得
故B 正确；
CD．小球A 到达N 点过程，小球A、物块B、弹簧组成的系统机械能守恒，又
可知弹簧弹性势能始末相等，则由机械能守恒可得
根据关联速度分解可得
联立解得
，
故C 正确，D 错误。
故选BC。
三、实验题
13．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）某兴趣小组设计了一个可以测量质量的装置。如图（a），细绳1、2
和橡皮筋相连于一点，绳1 上端固定在A 点，绳2 下端与水杯相连，橡皮筋的另一端与绳套相连。
为确定杯中物体质量m 与橡皮筋长度x 的关系，该小组逐次加入等质量的水，拉动绳套，使绳1 每次与竖
直方向夹角均为
且橡皮筋与绳1 垂直，待装置稳定后测量对应的橡皮筋长度。根据测得数据作出
关系图线，如图（b）所示。
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回答下列问题：
(1)将一芒果放入此空杯，按上述操作测得
，由图（b）可知，该芒果的质量
g
（结果保留到个位）。若杯中放入芒果后，绳1 与竖直方向夹角为
但与橡皮筋不垂直，由图像读出的
芒果质量与
相比 （填“偏大”或“偏小”）。
(2)另一组同学利用同样方法得到的
图像在后半部分弯曲，下列原因可能的是_________。
A．水杯质量过小
B．绳套长度过大
C．橡皮筋伸长量过大，弹力与其伸长量不成正比
(3)写出一条可以使上述装置测量质量范围增大的措施 。
【答案】(1) 106 偏大
(2)C
(3)减小细线与竖直方向的夹角
【详解】（1）操作测得
，由图（b）的图像坐标可知，该芒果的质量为106g；
若杯中放入芒果后，绳1 与竖直方向夹角为
但与橡皮筋不垂直，根据共点力平衡可知橡皮条的拉力变
大，导致橡皮筋的长度偏大，若仍然根据图像读出芒果的质量与
相比偏大。
（2）另一组同学利用同样方法得到的
图像在后半部分弯曲，可能是所测物体的质量过大，导致橡
皮筋所受的弹力过大超过了弹簧的弹性限度，从而使橡皮筋弹力与其伸长量不成正比。
故选C。
15
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（3）根据共点力平衡条件可知，当减小绳子与竖直方向的夹角时，相同的物体质量对应橡皮筋的拉力较
小，故相同的橡皮筋，可减小细线与竖直方向的夹角可增大质量测量范围。
16
