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专题强化三 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
目标要求 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.2.会分析平衡中的临界与极值问
题．
题型一 动态平衡问题
1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平
衡状态．
2．做题流程
――――――――→――――――――→
3．常用方法
(1)图解法
此法常用于定性分析三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．
(2)解析法
对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程或根据相似三角形、
正弦定理，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变
化确定因变量的变化．
考向1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下
的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示．
2．一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定
力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示．
例1 (多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体 A，A
的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A物体的半径为球B的半径的3
倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F，A对B的支
1
持力为F ，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F 、F 的变化情况分别是(
2 1 2
)A．F 减小 B．F 增大
1 1
C．F 增大 D．F 减小
2 2
答案 AD
解析 以球B为研究对象，受力分析如图所示，可得出F＝Gtan θ，F＝，当A向右移动少
1 2
许后，θ减小，则F 减小，F 减小，故A、D正确．
1 2
例2 (多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间
均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
答案 BC
解析 对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力F 和挡板的弹力F ，如图，
N1 N2
当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件
得知，F 和F 的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力
N1 N2
分析图，由图看出，斜面对小球的支持力F 逐渐减小，挡板对小球的弹力F 先减小后增
N1 N2
大，当F 和F 垂直时，弹力F 最小，故选项B、C正确，A、D错误．
N1 N2 N2
考向2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1.一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等
平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：＝＝
例3 (2023·宁夏银川一中检测)如图所示，质量分布均匀的细棒中心为 O点，O 为光滑铰
1
链，O 为光滑定滑轮，且O 在O 正上方，细绳跨过O 与O连接，水平外力F作用于细绳
2 2 1 2
的一端．用F 表示铰链对杆的作用力，现在水平外力F作用下，θ从缓慢减小到0的过程中，
N
下列说法正确的是( )
A．F逐渐变小，F 大小不变
N
B．F逐渐变小，F 逐渐变大
N
C．F先变小再变大，F 逐渐变小
N
D．F先变小再变大，F 逐渐变大
N
答案 A
解析 受力分析如图所示，力三角形与几何三角形(△OOO )相似，则有＝＝，因为OO 、
2 1 2 1
OO 长度不变，故F 大小不变，OO 长度变短，故F变小，故A正确，B、C、D错误．
1 N 2
2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，
利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据
不同位置判断各力的大小变化．
基本矢量图，如图所示例4 (多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另
一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)．现将重物向右上
方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
答案 AD
解析 以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F 、MN上拉力F ，由
2 1
题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F 、F 的夹角不变，在F 转至水
1 2 2
平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F 逐渐增大，OM上的
1
张力F 先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误．
2
一力恒定，另外两力方向均变化时常采用的方法有相似三角形、正弦定理或利用两力夹角不
变作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．
考向3 “活结”的动态分析
如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，F sin θ ＝F sin θ ，故
T 1 T 2
θ＝θ＝θ，根据几何关系可知，sin θ＝＝，若两杆间距离d不变，则上下移动绳子结点，θ
1 2 3
不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2F cos θ＝mg，F ＝也减小．
T T例5 如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光
滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向
C点靠近(C点与A点等高)．则在此过程中绳中拉力( )
A．先变大后不变 B．先变大后变小
C．先变小后不变 D．先变小后变大
答案 A
解析 对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F＝F，由几何
1 2
关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，可知
F＝F＝①
1 2
如图乙所示，设绳长为L，由几何关系得sin θ＝②
其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大
后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确．
题型二 平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出
现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见
的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力F ＝0.
N
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临
界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向
极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画
出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用
平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
例6 如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，
另一端系于物体上(∠BAC＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力
F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2)
答案 N≤F≤ N
解析 设AB绳的拉力为F，AC绳的拉力为F，对物体受力分析，由平衡条件有
1 2
Fcos θ－F－Fcos θ＝0，
2 1
Fsin θ＋Fsin θ－mg＝0，
1
可得F＝－F，F＝＋.
1
若要使两绳都能伸直，则有F≥0，F≥0，
1 2
则F的最大值F ＝＝ N，
max
F的最小值F ＝＝ N，
min
即拉力F的大小范围为 N≤F≤ N.
例7 如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，
向右以v ＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动．已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝
0
10 m/s2.求所需拉力F的最小值．
答案 2 N
解析 设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得cos θ＋μsin θ＝，sin(α＋θ)＝(其中sin α＝)，当θ＝－α时F最小，故所需拉力F的最小值F ＝
min
＝2 N.
课时精练
1.如图所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有
一光滑小金属环．现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对 M、N两点
的拉力F、F 的变化情况，下列判断正确的是( )
1 2
A．F 和F 都变大 B．F 变大，F 变小
1 2 1 2
C．F 和F 都变小 D．F 变小，F 变大
1 2 1 2
答案 C
解析 由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力大小相等．木棒绕其左端逆时针缓
慢转动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力大小等于小金属环的重力
大小，保持不变，所以绳子上的拉力变小，选项C正确，A、B、D错误．
2.(2023·山东烟台市高三模拟)如图所示，用一个质量不计的网兜把足球挂在光滑竖直墙壁上
的A点，足球与墙壁的接触点为B.若只增大悬绳的长度，足球始终保持静止状态，关于悬
绳对球的拉力F和墙壁对球的支持力F ，下列说法正确的是( )
N
A．F和F 都增大 B．F增大，F 减小
N N
C．F减小，F 增大 D．F和F 的合力不变
N N
答案 D
解析 对球受力分析，由平衡条件得悬绳对球的拉力满足 Fcos θ＝mg，墙壁对球的支持力
满足tan θ＝，所以当增大悬绳的长度时，夹角θ减小，则由几何关系知cos θ增大，tan θ
减小，所以F和F 都减小，故A、B、C错误；因为足球始终保持静止状态，所以F和F
N N
的合力始终与mg等大反向，故D正确．
3.如图所示，轻绳PQ能承受的最大张力为80 N，现用它悬挂一质量为4 kg的物体，然后在
轻绳的中点O施加一水平向左的力 F，使中点O缓慢向左移动，已知重力加速度 g＝10m/s2，则当轻绳断裂瞬间，绳的PO段与竖直方向的夹角为( )
A．30° B．45°
C．53° D．60°
答案 D
解析 设当轻绳断裂瞬间，绳的PO段与竖直方向的夹角为θ，由平衡条件可得cos θ＝＝
＝，解得θ＝60°，D正确．
4.(2023·广东汕尾市高三月考)新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%棉田都是通过机械
自动化采收，自动采棉机能够在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧
可以旋转的支架平稳将其放下，放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为 m的棉
包放在“V”型挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转
动．初始时BP板水平，在使BP板逆时针缓慢转动60°的过程中，忽略“V”型挡板对棉包
的摩擦力，下列说法正确的是( )
A．BP板水平时，棉包受到两个力的作用
B．当BP板转过60°，AP板水平时，棉包受到三个力的作用
C．当BP板转过30°时，棉包对AP板和BP板的作用力大小不相等
D．在转动过程中棉包对BP板的压力不变
答案 A
解析 BP板水平时或AP板水平时棉包都只受到重力和支持力两个力作用，故 A正确，B
错误；当BP板转过30°时，两板与水平方向夹角相等，由对称性知，棉包对AP板和BP板
的作用力大小相等，故C错误；在转动过程中棉包对BP板的压力减小，故D错误．
5.(多选)(2023·湖南岳阳市十四中高三检测)如图所示，水平面和竖直面构成的垂直墙角处有
一个截面为半圆的光滑柱体，用细线拉住的小球静止靠在半圆柱体的 P点(P点靠近底端)．
通过细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点，细线方向始终保持与半圆相切．
此过程中( )
A．细线对小球的拉力逐渐减小
B．圆柱体对小球的支持力逐渐减小C．水平地面对圆柱体的支持力逐渐减小
D．圆柱体对竖直墙面的压力先增大后减小
答案 AD
解析 对小球进行受力分析，如图所示
根据平衡条件有F ＝mgcos θ，F ＝mgsin θ，当细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体
N1 T
的最高点过程中，θ逐渐减小，则细线对小球的拉力F 逐渐减小，圆柱体对小球的支持力
T
F 逐渐增大，A正确，B错误；
N1
对圆柱体与小球整体分析，如图所示，根据平衡条件有 F ＝F cos θ＝mgsin 2θ，F sin θ＋
N3 T T
F ＝(M＋m)g，当细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点过程中，θ在0～范围
N2
内变化，θ逐渐减小，故F 逐渐增大，F 先增大后减小，C错误、D正确．
N2 N3
6.(2023·宁夏六盘山高级中学模拟)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿图示位置B水平缓慢
移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，
则重物上升过程中( )
A．绳子的拉力逐渐增大
B．该健身者所受合力逐渐减小
C．该健身者对地面的压力逐渐减小
D．该健身者对地面的摩擦力逐渐增大
答案 D
解析 由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合
力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力 mg，A、B错误；对健身者受力
分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有 F sin θ＋F ＝Mg，又有F ＝mg，
T N T
可得F ＝Mg－mgsin θ，在水平方向，则有F cos θ＝F，当从B水平缓慢移到A时，θ角逐
N T f
渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定
律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确．7.(2023·云南昆明市检测)如图所示，两质量均为m的小球a、b(均可看成质点)固定在轻杆两
端，用两条与轻杆等长的细线悬挂在O点，整个系统静止时，细线和轻杆构成正三角形，
用力F缓慢拉动小球b，保持两细线绷紧，最终使连接a球的细线竖直，重力加速度大小为
g，则连接a球的细线竖直时，力F的最小值是( )
A.mg B.mg
C．mg D.mg
答案 B
解析 末状态时，左边小球a在最低点，细线Oa处于竖直方向，小球a处于平衡状态，合
外力沿水平方向的分量为零，则此时轻杆上的弹力为零，故右侧小球 b受到重力、细线Ob
的拉力和力F作用处于平衡状态，如图所示，由几何关系可知，当拉力F方向与Ob垂直时
拉力F最小，可得最小拉力F ＝mgsin 60°＝mg，选项B正确，A、C、D错误．
min
8.如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆
的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮
A连接在卷扬机上．开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到
∠BCA＝30°(不计一切阻力)．在此过程中，杆BC所产生的弹力( )
A．大小不变 B．逐渐增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大答案 A
解析 以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、
F 的合力F 与G大小相等、方向相反．
N 合
根据三角形相似得＝＝，又F ＝G，
合
得F＝ G，F ＝ G
N
∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC不变，则F变小，F 不变，故杆BC所产
N
生的弹力大小不变，故选A.
9.(2023·河北邯郸市模拟)如图所示，置于水平地面的木板上安装有竖直杆，在杆上 A、B两
点间安装长为2d的轻绳，两竖直杆间距为d.A、B两点间的高度差为，现有带光滑轻质钩子、
质量为m的物体钩住轻绳且处于平衡状态，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．开始平衡时轻绳的张力大小为mg
B．开始平衡时轻绳的张力大小为
C．若将绳子的A端沿竖直杆上移，绳子拉力将变大
D．若将木板绕水平轴CD缓慢向纸面外旋转，轻绳的张力先增大后减小
答案 B
解析 设结点左侧绳长为l ，结点右侧绳长为l ，有lcos θ ＋lcos θ ＝d，由水平方向受力
1 2 1 1 2 2
平衡，有F cos θ ＝F cos θ ，有cos θ ＝cos θ ＝＝，竖直方向受力平衡，有 2F sin θ ＝
T 1 T 2 1 2 T 1
mg，解得F ＝，A错误，B正确；将绳子的A端沿竖直杆上移或将木板绕水平轴CD缓慢向
T
纸面外旋转，由A、B中分析可知，由于A、B两点的水平间距不变，左右两部分与水平方
向夹角不变，所以绳子拉力大小不变，C、D错误．
10.(2023·河北唐山市模拟)北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某
粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示．
若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为，木棍重力不计，粮
仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧滑，
则木棍的长度最大为( )A．1.5 m B. m
C．2 m D．2 m
答案 C
解析 设木棍与水平方向夹角为θ，木棍长度为L，粮仓对木棍的作用力大小为F，则为使
木棍下端一定不发生侧滑，由平衡条件有Fcos θ≤μFsin θ，由几何知识有tan θ＝，两式联
立解得L≤2 m，即木棍的长度最大为2 m，故A、B、D错误，C正确．
11.(多选)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端
悬挂质量为m的物块A，另一端系一位于固定光滑斜面上且质量为2m的物块B，斜面倾角
θ＝45°，外力F沿斜面向上拉物块B，使物块B由滑轮正下方位置缓慢运动到和滑轮等高的
位置，则( )
A．细绳OO′的拉力先减小后增大
B．细绳对物块B的拉力大小不变
C．斜面对物块B的支持力先减小后增大
D．外力F逐渐变大
答案 BCD
解析 由题可知，物块缓慢移动，整体处于动态平衡状态，则绳OO′的拉力大小等于下面
绳对A的拉力和绳对B的拉力的合力大小，由于绳对A的拉力和绳对B的拉力大小相等，
都等于A物块的重力的大小，但是由于B物块上移，导致二者之间的夹角变大，则根据平
行四边形定则可知合力变小，即绳OO′的拉力逐渐减小，故A错误，B正确；对物块B受
力分析如图所示，当物块B上移时，α先减小后增大，在垂直斜面方向根据平衡条件可知，
斜面对物块B的支持力先减小后增大，在沿斜面方向根据平衡条件可知，外力F逐渐变大，
故C、D正确．12．(2020·山东卷·8)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为 m和2m
的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．
A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水
平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 A、B刚要滑动时受力平衡，受力如图所示．
对A：F ＝mgsin 45°＋μmgcos 45°
T
对B：2mgsin 45°＝F ＋3μmgcos 45°＋μmgcos 45°
T
整理得，μ＝，选项C正确．
13.(多选)如图，倾角为30°的斜面体放置于粗糙水平地面上，物块A通过跨过光滑定滑轮的
柔软轻绳与小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点．初始时，小球B在水平向右的拉力
F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角θ＝120°，整个系统处于静止状态．现将小球
向右上方缓慢拉起，并保持夹角θ不变，从初始到轻绳OB段水平的过程中，斜面体与物块
A均保持静止不动，则在此过程中( )
A．拉力F逐渐增大
B．轻绳上的张力先增大后减小
C．地面对斜面体的支持力逐渐增大
D．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小
答案 AD
解析 小球B受重力mg、轻绳OB的拉力F 和拉力F，由题意可知，三个力的合力始终为
T
零，矢量三角形如图所示，在F 转至水平的过程中，轻绳OB的拉力F 逐渐减小，拉力F
T T逐渐增大，故选项A正确，B错误；整体(含斜面体，物块A和小球B)受向下的重力、向上
的支持力、向左的摩擦力以及拉力四个力的作用，根据对小球的受力分析可知，拉力 F的
竖直方向分力逐渐增大，水平方向分力先增大后减小，所以地面对斜面体的支持力逐渐减小，
地面对斜面体的摩擦力先增大后减小，故选项C错误，D正确．
