文档内容
2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题11 共点力的平衡问题
导练目标 导练内容
目标1 整体法和隔离法在平衡问题中的应用
目标2 平衡中的临界和极值问题
目标3 解析法在动态平衡问题中的应用
目标4 图解法在动态平衡问题中的应用
目标5 相似三角形法在动态平衡问题中的应用
目标6 拉密定理在动态平衡问题中的应用
【知识导学与典例导练】
一、整体法和隔离法在平衡问题中的应用
整体法和隔离法应用十六字原则：外整内分，力少优先，交替使用，相互辅助。
【例1】如图所示，横截面为直角三角形的斜劈A与光滑的小球B放置在水平面与粗糙的竖直墙壁之间，
斜劈A的一个底面与墙壁接触，其斜面紧靠小球B。水平向右指向球心的力F作用在B上，系统处于静止
状态。当F减小时，系统仍保持静止。则下列说法正确的是（ ）
A．墙面对斜劈A的摩擦力可能增大
B．斜劈A对竖直墙壁的压力可能增大C．斜劈A所受合力减小
D．小球B对地面的压力一定不变
【答案】A
【详解】C．当F减小时，系统仍保持静止，所以斜劈A所受合力仍为零，故C错误；
B．以整体为研究对象，受力分析如图1所示，在水平方向上根据平衡条件可知斜劈A受到竖直墙壁的支持
力F 与F始终大小相等，则斜劈A对竖直墙壁的压力减小，故B错误；
N
D．对B受力分析如图2所示，根据平衡条件，在水平方向有 在竖直方向有
根据以上两式可知，因为F减小，所以 减小，则N减小，小球B对地面的压力减小，故D错误；
A．对A受力分析如图3所示，假设开始时A所受摩擦力竖直向上，则根据平衡条件有由于 减小，所以 增大，故A正确。故选A。
二、平衡中的临界和极值问题
临界问题是指当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好
出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述；极值问题是指在
力的变化过程中的最大值和最小值问题。
1.数学分析法：
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时利用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极
值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
【例2】如图所示，水平地面上物块A、B叠放在一起，某时刻两物块同时获得水平向右的大小为4m/s的
初速度。此时在物块B上施加一斜向上的恒力F，使两物块一起向右做匀加速直线运动，经过3s的时间运
动了21m，已知物块A的质量为0.5kg、物块B的质量为1.0kg。物块B与地面之间的动摩擦因数为0.4，g
取10 。求：
（1）物块A、B之间的动摩擦因数 至少为多大；
（2）拉力F的最小值（结果可用根式表示）。【答案】（1）0.2；（2）
【详解】（1）A、B一起做匀速直线运动，则有 解得 物块A、B之间的动摩擦因数
取最小值时，对物块A有 解得
（2）对物块A、B整体进行受力分析，设F与水平面的夹角为 ，由牛顿第二定律得
解得 令 解得
当 时有最小值，即
2.物理分析法：
根据平衡条件作出力的矢量图，若只受三个力，则这三个力能构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图
进行动态分析，确定最大值和最小值。
【例3】如图所示，一个重为5N的大砝码，用细线悬 挂在O点，现在用力F拉砝码，使悬线偏离竖直方
向30°时处于静止状态，此时所用拉力F的最小值为 （ ）A．8.65N B．5.0N
C．4.3N D．2.5N
【答案】D
【详解】以物体为研究对象，根据作图法可知，当拉力F与细线垂直时最小，如图所示：
根据平衡条件得F的最小值为 ，故选项D正确，ABC错误．
三、解析法在动态平衡问题中的应用
方法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关
系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
【例4】一圆筒内壁粗糙，底端放一个质量为m的物体（可视为质点），该物体与圆筒内壁间的动摩擦因
数为 ,圆筒由静止沿逆时针方向缓慢转动直到物体恰好滑动，此时物体、圆心的连线与竖直方向的夹角为
，如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．在缓慢转动过程中物体受到的支持力逐渐增大
B．在缓慢转动过程中物体受到的静摩擦力逐渐减小C．物体恰好滑动时夹角 与 的关系为
D．缓慢转动过程中，圆筒对物体的作用力逐渐增大
【答案】C
【详解】AB．对物体受力分析如图所示，正交分解，根据平衡条件列出方程 ；
随着 的增大， 减小， 增大，选项AB错误；
C．当物块恰好滑动时 得 选项C正确；
D．缓慢转动过程中，圆筒对物体的作用力与重力等大反向，始终不变，D错误。故选C。
四、图解法在动态平衡问题中的应用
1.特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。
2.方法：
――→――→
【例5】如图所示，固定有光滑竖直杆的三角形斜劈放置在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在
竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行。现给小滑块施加一个竖直向上的拉力F，使小滑
块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜劈，则（ ）A．小球对斜劈的压力先减小后增大 B．竖直向上的拉力F先增大后减小
C．斜劈对地面的压力逐渐减小 D．地面对斜劈的摩擦力逐渐减少
【答案】C
【详解】A．对小球受力分析，受重力、斜劈支持力N和细线的拉力T，作出N和T的合力矢量图，如图所
示
N和T的合力不变，由矢量图可以看出，在T逐渐向竖直方向靠近时，细线的拉力T增加，斜劈支持力N
减小，根据牛顿第三定律，球对斜劈的压力也减小，故A错误；
B．对球和滑块整体分析，受重力、斜劈支持力N，杆的支持力N′，拉力F，如图所示
根据平衡条件，水平方向有N′=Nsinθ竖直方向F+Ncosθ=G由于N减小，故N′减小，F增加，即竖直向上的
拉力F逐渐增大，B错误；CD．以小球、滑块和斜劈为整体，进行受力分析，在竖直方向，根据平衡条件有 由于F增大，
则F 减小；根据牛顿第三定律可知斜劈对地面的压力减小；整体在水平方向不受力，故地面对斜劈的摩擦
N
力始终为零，保持不变，故C正确，D错误。故选C。
五、相似三角形法在动态平衡问题中的应用
1..特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。
2.方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；
③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。
【例6】如图所示，一斜面固定在水平面上，一半球形滑块固定在斜面上，球心O的正上方有一定滑轮A
（视为质点），细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接，另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F
作用下使圆球B保持静止。改变拉力F的大小，使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正
好在O点的正上方（不考虑该位置的情况）。圆球B不会与定滑轮A接触，则下列说法正确的是（ ）
A．拉力F一直增大
B．拉力F先增大后减小
C．半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小
D．半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变
【答案】D
【详解】对小球受力分析，并合成三角形如图根据几何关系可知图中力构成的矢量三角形与阴影部分的三角形相似，则 移动过程中，高度
和两球的球心距 不变，所以半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变，绳子长度 变短， 减小，
ABC错误，D正确。故选D。
六、拉密定理在动态平衡问题中的应用
1.特点：物体受三个共点力，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化两个力的夹角不变。
2.拉密定理：
【例7】如图所示，V型光滑挡板AOB之间放置有一质量均匀的球体，初始时系统处于静止状态，现将整
个装置以O点为轴顺时针缓慢转动（∠AOB保持不变），在AO由水平转动90°到竖直的过程中，下列说
法正确的是（ ）A．挡板AO的弹力逐渐增大 B．挡板AO的弹力先增大后减小
C．挡板BO的弹力逐渐增减小 D．挡板BO的弹力先增大后减小
【答案】B
【详解】AB．V型光滑挡板转动过程中，对小球受力分析，各个力的夹角如图所示
由拉密定理可得 因为整个装置以O点为轴顺时针缓慢转动（∠AOB保持不变），故
保持不变，在AO由水平转动90°到竖直的过程中， 从锐角增大到钝角， 先增大后减小，故挡
板AO的弹力先增大后减小，A错误，B正确；
CD． 从180°减小到90°， 一直增大，故挡板BO的弹力一直增大，CD错误。故选B。
【多维度分层专练】
1．如图所示，四分之一圆柱体放在水平地面上，右侧与一块固定的竖直挡板Q接触。球心O的正上方有
一个大小可忽略的定滑轮A，一根轻绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体上的小球m连接，另一端系在固定
竖直杆上的B点。现将一重物M用轻质挂钩挂在AB间的轻绳上，整个装置处于静止状态。不计一切摩擦，
则（ ）A．若绳子B端固定，将M竖直向下缓慢移动一小段距离，绳子的拉力变大
B．若绳子B端固定，将M竖直向下缓慢移动一小段距离，P对Q的压力不变
C．将轻绳B端沿杆向上缓慢移动一小段距离，绳子的拉力变大
D．将轻绳B端沿杆向上慢移动一小段距离，P对地面的压力不变
【答案】D
【详解】A．对挂钩与轻绳的结点受力分析，若绳子B端固定，将M竖直向下缓慢移动一小段距离，结点
两侧轻绳夹角变小，当M向下的拉力不变的情况下，根据三角形定则可知绳子的拉力变小，故A错误；
B．对小球m和四分之一圆柱体P整体受力分析，如下图
根据平衡。可得 将M竖直向下缓慢移动一小段距离的过程中，T变小，θ变大，则F 变小，根
弹
据牛顿第三定律可知，P对Q的压力变小，故B错误；
CD．轻绳B端向上缓慢移动一小段距离，根据受力分析可知小球m没有发生位移，因此AMB变成了晾衣
架问题，绳长不会变化，A到右边竖直杆的距离不变，因此轻绳角度不会发生变化，即轻绳的拉力也不会
变化，此过程中，小球m位置也没有发生变化，则P对地面的压力不变，故C错误，D正确。故选D。
2．如图所示，光滑的三角形框架OAB竖直固定在墙上，夹角 为30°，两个相同的金属小环C、D分别套
在OA、OB上，环C和D用长为L的轻绳连结，初始时C环在水平外力控制下静止，C、D状态如图，
OC=L，OA、OB很长，现使C环缓慢向左移动，则下列说法错误的是（ ）A．C受支持力一直增大
B．绳拉力一直增大
C．D受杆的弹力先减小后增大
D．C移动的距离可能为1.1L
【答案】D
【详解】
BC．对D单独进行受力分析可知，D受到重力，绳子的拉力以及杆子的弹力。在C环缓慢向左移动的过程
中，C受到的重力不变，杆子给的弹力的方向垂直于杆，如图所示，题意可知三个力处于平衡状态。可知
其中绳子的拉力F 由竖直向上偏右，慢慢变为竖直向上偏左，一直增大。杆子给的弹力先减小为0，然后
1
再增大，方向由竖直向上偏左，减为0，然后竖直向下偏右。BC正确；
D．图中可知拉力F 的方向不可能到垂直于杆。垂直于杆时，有 初始时，OC为L，故运
1
动距离小于L，D错误；
A．对C、D整体进行受力分析，受重力，杆子的弹力，外力。在竖直方向上，重力与C，D受到的弹力竖
直方向分力平衡。C受到的弹力竖直向上，由上面分析可知，D受到的杆子弹力竖直分力先向上，慢慢减小，然后竖直分力向下，慢慢增大。所以C受到的弹力一直增大。A正确；故选D。
3．如图所示，将质量为m的小球用橡皮筋悬挂在竖直墙的O点，小球静止在Q点，P为O点正下方一点，
OP间的距离等于橡皮筋原长，在P点固定一光滑圆环，橡皮筋穿过圆环。现对小球施加一个外力F，使小
球沿以PQ为直径的圆弧缓慢向上运动，不计一切阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在Q向P运动的过程中外力F先变小后变大
B．小球在Q向P运动的过程中外力F先变大后变小
C．小球在Q向P运动的过程中外力F的方向始终水平向右
D．小球在Q向P运动的过程中外力F的方向始终跟橡皮筋垂直
【答案】D
【详解】设圆的半径为R，则 ，OP为橡皮筋的原长，设橡皮筋的劲度系数为k，开始时小球二力
平衡有 当移动到橡皮筋与竖直方向成 角时，受力分析如图：此时橡皮筋的伸长量 橡皮筋的弹力 对小球，设拉力F与水平方向之间的夹
角为β，在水平方向有 竖直方向有 联立可得 ； 可知
拉力F的方向与橡皮筋的方向垂直，移动过程中 一直增大，则 一直增大，选项D正确，ABC错误。故
选D。
4．如图所示，两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连并放置在光滑的半球面内．已
知细杆长度是球半径的 倍，当两球处于静止状态时，细杆与水平面的夹角θ=15°，则（ ）
A．杆对a、b球作用力大小相等且方向沿杆方向
B．小球a和b的质量之比为 ：1
C．小球a和b的质量之比为 ：2
D．半球面对a、b球的弹力之比为 ：1【答案】AD
【详解】A. 对轻杆，受到两个球的弹力是一对平衡力，根据牛顿第三定律可得，杆对a、b两球的作用力
大小相等，且方向沿杆方向，A正确；
B．a、b两球受力情况如图所示，过O作竖直线交ab于c点，设球面半为R，则 与左侧力的三角形相
似， 与右侧力的三角形相似，由几何关系可得
； 即 由题可知，细杆长度是球面半径的 倍，根据几何关系可得 ，在
中，根据正弦定理可得 在在 中，根据正弦定理可得 则
，BC错误；
D．由几何关系可得 ； 解得 ，D正确；故选AD。
5．某班物理兴趣小组在研究三力作用下的平衡问题时，设计了如图所示的简单而常见的情景模型：将一
可视为质点的质量为m的小球用轻质柔软的细线悬挂于天花板上的O点，在外力F、细线拉力F 和重力
T
mg的作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为 ，与F的夹角为 ，开始时F水平。小组成员经过
讨论形成了如下结论，你认为正确的是（ ）A．保持θ角及小球位置不变，逐渐缓慢减小 角直至F竖直向上，则F、F 都逐渐减小
T
B．保持F水平，逐渐缓慢增大θ角，则F、F 都逐渐增大
T
C．保持 角不变，逐渐缓慢增大θ角，直至悬线水平，则F 逐渐减小，F逐渐增大
T
D．只增加细线的长度，其他条件不变，F、F 都减小
T
【答案】BC
【详解】A．如图所示
对小球受力分析，小球受重力、拉力F和细线的拉力F 作用， 角不变， 角减小到90°时，F最小，因
T
此 角减小的过程中， 逐渐减小，F先减小后增大，故A错误；
B．保持F水平，则 ， ， 角增大时F、 都逐渐增大，故B正确；
C．保持 角不变，增大 角，细线和拉力F的方向都逆时针转动，如图F水平时 最大， 水平时F最大，所以 逐渐减小，F逐渐增大，故C正确；
D．只增加细线的长度，对F、 没有影响，故D错误。
故选BC。
6．如图所示，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将带电小球用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，图中
AC=h。当B静止在与竖直方向夹角 方向时，A对B的静电力为B所受重力的0.5倍，则下列说法中正
确的是（两球均可看作点电荷）（ ）
A．若保持悬点C位置不变，缓慢缩短丝线BC的长度，B球运动轨迹在最初阶段为圆弧
B．此时丝线长度为
C．若A对B的静电力为B所受重力的 倍，要使B球依然在 处静止，则丝线BC的长度应调整为或
D．以后由于A漏电，B在竖直平面内缓慢运动，到 处A的电荷尚未漏完，在整个漏电过程中，丝线
上拉力大小减小
【答案】AC
【详解】B．当A对B的静场力为B所受重力的0.5倍，B静止时丝线BC与竖直方向夹角θ=30°，处于平衡，
根据几何关系可知此时AB与BC互相垂直，此时丝线长度为L=hcos30°= h故B错误；
D．由于A漏电，B在竖直平面内缓慢运动，在θ=0°之前，由三角形相似可知 随着电量的减
少，BC绳长度不变，所以细绳的拉力不变；到θ=0°未漏完电，θ=0°后，由于二者在同一个竖直直线上，根
据受力平衡可得，库仑力减小（漏电），丝线拉力增大，所以整个过程丝线拉力先不变，后增大，故D错
误；
A．若保持悬点C位置不变，缓慢缩短丝线BC的长度，根据D选项中 可知 设AB=R，
根据库仑定律可得 则有 由于电荷量不变，G和h不变，则R不变，所以缓慢缩短丝线
BC的长度，B球运动轨迹在最初阶段为圆弧，故A正确；C．若A对B的静电力为B所受重力的 倍，则B静止在与竖直方向夹角仍为θ=30°时，对B受力分析，
G、F与T，将F与T合成，则有 解得 根据余弦定理，可得（ h）2=h2+BC2-
2×BC×hcos30°
解得BC= h，或BC= h故C正确。故选AC。
7．一轻质杆两端分别固定质量均为m的小球A、B，由细线OE、FC悬挂于水平天花板及竖直墙壁上，如
图所示，其中OE与竖直方向的夹角θ＝30°，FC水平．现保持轻杆位置不变，而将FC线的C端缓慢上移
到FC与水平方向成α＝60°的位置，则下列说法中正确的是（ ）
A．细线OE的拉力一直减小且减小了 mg
B．细线FC的拉力先减小后增大，其最小值为mg
C．细线FC的拉力一直减小且减小了mg
D．轻杆的弹力先减小后增大，其最小值为 mg
【答案】AB【详解】A．取两小球及轻杆整体为研究对象，整体受重力2mg、细线OE的拉力F 及细线FC的拉力F 作
1 2
用处于平衡状态．此三力满足图甲所示关系，当C端缓慢上移时，由图知细线OE的拉力一直减小，最初
其大小为 ＝ mg移动后其大小为 mg，减小了 mg，A正确；
BC．由图甲知细线FC的拉力先减小后增大，其最小值为mg，C错误，B正确；
D．取A球为研究对象，其所受重力、细线OE的拉力F 及轻杆的弹力F满足图乙所示关系，因为末态时
1
OE的拉力大小为 mg＝ 所以最后杆的弹力正好沿水平方向，由图乙知杆的弹力一直在减小，D
错误。
故选AB。
8．如图所示，质量为M的木楔倾角为 ，在水平面上保持静止。当将一质量为m的木块放在斜面上时正
好匀速下滑，现用与斜面成 角的力F拉着木块沿斜面匀速上滑。重力加速度为g，下列说法中正确的是
（ ）A．当 ＝ 时，F有最小值
B．F的最小值为mgsin
C．在木块匀速上滑过程中，F取最小值时，地面对M的支持力的大小为（M+m）g-mg（sin ）2
D．在木块匀速上滑过程中，F取最小值时，地面对M的静摩擦力方向水平向左，且大小为mgsin2 cos2
【答案】AD
【详解】AB．选木块为研究对象，当没加外力F时正好匀速下滑，设木块与斜面间的滑动摩擦因数为μ，
此时平行于斜面方向必有： 当加上外力F时，对木块受力分析如下图：
则有：f=μN，平行于斜面方向： 垂直于斜面方向：
解得 即 故当α=θ时，分母最大，F有最小值，最小值为：
F =mgsin2θ ，故B错误，A正确；
min
CD．选物体和M和m整体为研究对象，设水平面对木楔M的摩擦力是f′，水平方向受力平衡，则有：
f′-F cos（θ+α）=0可知摩擦力的方向向左，大小 地面对M的支持力的大小为
min
故C错误，D正确。故选AD。
