文档内容
重难点突破 04 初等数论与平面几何背景下新定义
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：进位制....................................................................................................................................2
题型二：数对序列................................................................................................................................4
题型三：群论........................................................................................................................................6
题型四：平面几何................................................................................................................................8
题型五：置换......................................................................................................................................10
题型六：余数、约数..........................................................................................................................12
03 过关测试.........................................................................................................................................13在初等数论与平面几何的背景下，新定义和方法的发展为这两个领域注入了新的活力。
数论中，新定义往往源于对数的性质、运算规律及数列模式的深入探索。方法上，我们强调逻辑推理
的严密性，运用归纳法、反证法等技巧解决复杂问题。同时，注重数与形的结合，通过图形直观展示数论
概念，降低理解难度。
平面几何中，新定义关注图形的性质、变换及相互关系。方法上，我们运用公理化体系，从基本性质
出发推导出复杂结论。此外，注重图形的构造与变换，通过旋转、平移等操作揭示几何规律。
总结而言，初等数论与平面几何的新定义和方法发展，要求我们不断提升逻辑推理能力，灵活运用所
学知识解决问题。同时，注重数与形的结合，以及图形的构造与变换，以更全面地理解和掌握这两个领域
的精髓。
题型一：进位制
【典例1-1】（2024·重庆·模拟预测）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数方式，通常“满二进
一，就是二进制；满八进一，就是八进制；满十进一，就是十进制……；满几进一，就是几进制”．
我们研究的正整数通常是十进制的数，因此，将正整数 的各位上的数字分别记为 ，则
表示为关于10的 次多项式，即 ，其中
， ，记为 ，简记为 ．
随着计算机的蓬勃发展，表示整数除了运用十进制外，还常常运用二进制、八进制等等．更一般地，我们
可类似给出 进制数定义．
进制数的定义：给出一个正整数 ，可将任意一个正整数 ，其各位上的数字分别记为
，则 唯一表示为下列形式： ，其中
， ，并简记为 ．
进而，给出一个正整数 ，可将小数 表示为下列形式：
，其中
， ，并简记为．
(1)设 在三进制数下可以表示为 ， 在十进制数下可以表示为 ，试分别将 转
化成十进制数， 转化成二进制数；
(2)已知数列{a }的前 项和为 ，且满足 ， ，数列{b }满足，当 时，
n n
；
①当 时，求数列{b }的通项公式；
n
②证明：当 时， ．
【典例1-2】（2024·福建泉州·二模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二
进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常
生活中最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为：
一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为
．其中 ．为了简便，也
会把它写成一串数字连写在一起的形式： ，如果不加下标就默认是十进制．
(1)令集合 ，将B中的元素按从大到小的顺序排列，
则第100个数为多少？
(2)若 ，记 为整数n的二进制表达式中0的个数，如 ，求 的值．
（用数字作答）
(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出
所有的k进制数；如果不能，请说明理由．
【变式1-1】（2024·河南·三模）定义1 进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，
约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若 是一个大于1
的整数，那么以 为基数的 进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式
进制的数也可以表示成不同位上数字符
号与基数的幂的乘积之和的形式．如 ．
定义2 三角形数：形如 ，即 的数叫做三角形数．
(1)若 是三角形数，试写出一个满足条件的 的值；
(2)若 是完全平方数，求 的值；
(3)已知 ，设数列 的前 项和为 ，证明：当 时， ．
【变式1-2】（2024·高三·江苏·专题练习）1642年，帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算
机 年，莱布尼茨改进了帕斯卡的计算机，但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复
杂，随即提出了“二进制”数的概念 之后，人们对进位制的效率问题进行了深入的研究 研究方法如下：
对于正整数 ， ，我们准备 张不同的卡片，其中写有数字0，1，…， 的卡片各有 张 如果
用这些卡片表示 位 进制数，通过不同的卡片组合，这些卡片可以表示 个不同的整数 例如 ，
时，我们可以表示出 共 个不同的整数 假设卡片的总数 为一个定值，那么 进制的
效率最高则意味着 张卡片所表示的不同整数的个数 最大 根据上述研究方法，几进制的效率最高？
题型二：数对序列
【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）对于数对序列 ， 记 ，
其中 表示 和
两个数中最大的数，
(1)对于数对序列 ， 求 的值
(2)记m为a、b、c、d四个数中最小的数， 对于由两个数对(a， b)， (c， d)组成的数对序列和 ， 试分别对m=a和m=d时两种情况比较 和 的大小
(3)在由5个数对(11， 8)， (5， 2)， (16， 11)， (11， 11)， (4， 6)组成的所有数对序列中， 写出一
个数对序列P使 最小， 并写出 的值(只需写出结论)．
【典例2-2】（2024·高一·上海杨浦·期中）对于四个正数 ，若满足 ，则称有序数对
是 的"下位序列".
(1)对于2、3、7、11，有序数对 是 的"下位序列"吗?请简单说明理由;
(2)设 均为正数，且 是 的“下位序列”，试判断 之间的大小关系；
(3)设正整数 满足条件:对集合 内的每个 ，总存在正整数 ，使得 是
的“下位序列”，且 是 的“下位序列”，求正整数 的最小值.
【变式2-1】（2024·高三·北京西城·期末）给定正整数 ，已知项数为 且无重复项的数对序列 ：
满足如下三个性质：① ，且 ；②
；③ 与 不同时在数对序列 中.
(1)当 ， 时，写出所有满足 的数对序列 ；
(2)当 时，证明： ；
(3)当 为奇数时，记 的最大值为 ，求 .
题型三：群论
【典例3-1】（2024·浙江·模拟预测）称代数系统 为一个有限群，如果
1、 为一个有限集合， 为定义在 上的运算(不必交换)，
2、3、 称为 的单位元
4、 ，存在唯一元素 使 称为 的逆元有限群 ，称为 的子
群.若 ，定义运算 .
(1)设 为有限群 的子群， 为 中的元素. 求证:
(i) 当且仅当 ；
(ii) 与 元素个数相同.
(2)设 为任一质数 . 上的乘法定义为 ，其中[x]为不大于 的最小整
数.已知 构成一个群，求证: (其中 表示 个 作 运算)
【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）对于非空集合 ，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结
构称为“群” ，简记为 ．而判断 是否为一个群，需验证以下三点：
1、（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意 ，都须满足 ；
2、（结合律）对于规定的“×”运算，对任意 ，都须满足 ；
3、（恒等元）存在 ，使得对任意 ， ；
4、（逆的存在性）对任意 ，都存在 ，使得 ．
记群 所含的元素个数为 ，则群 也称作“ 阶群”．若群 的“×”运算满足交换律，即对任意
， ，我们称 为一个阿贝尔群（或交换群）．
(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群 ；
(2)记 为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得 在该运算下构成一个群 ，
并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群 是否都是阿贝尔群？请说明理由．
【变式3-1】（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m
（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．
例如，正三角形R在 （绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记 ；又如，R在 （关
于对称轴 所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以 也是R的一个对称变换，
类似地，记 ．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运
算.来说作成一个群，假如同时满足：
I． ， ；
II． ， ；
Ⅲ． ， ， ；
Ⅳ． ， ， ．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的 为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子
集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算 来说作成一个群．
(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S中的元素，定义
一种新运算*，规则如下： ，
．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e， 分别是G，H的单位元， ， ， 分别是a在群G，群H中的
逆元．猜想e， 之间的关系以及 ， 之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．题型四：平面几何
【典例4-1】（2024·湖南长沙·二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之
为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角
为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积 与大正方形面积 之比为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】在平面几何里有射影定理：设 的两边 ， 是 点在 上的射影，则
．拓展到空间，在四面体 中， ⊥面 ，点 是 在面 内的射影，且
在 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（2024·湖南郴州·模拟预测）古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记
载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形
围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的
积”，即 （ 表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，S表示平面图形的面积， 表示重心绕旋转轴旋转
一周的周长）.如图，等腰梯形 ∥ ，已知 ，则其重心 到 的距
离为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积
之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、
余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的
四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线， ，且 为正三角形，则四边形
ABCD的面积为（ ）
A． B．16 C． D．12
【变式4-3】（2024·高三·广东揭阳·期末）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三
边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆
也称作欧拉圆．已知在 中， ， ， ，则 的九点圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（多选题）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个
是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 的半径2，点
是圆 内的定点，且 ，弦 均过点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为定值
B． 的取值范围是
C．当 时， 为定值
D． 的最大值为16
【变式4-5】（多选题）莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数
学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推
至物理的领域.他在1765年首次提出定理： 的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且
重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若 ， ，则下列结论正确
的是（ ）A． B．
C． D．
题型五：置换
【典例5-1】（2024·湖北·模拟预测）“对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称
性”等范畴，是数学之美的重要体现．假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为 ．设点
， ， ，规定 ，且对于运算“ ”， 表示坐标为
的点．若点U，V，W满足 ，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数 和 ，
使得对于 图像上任意一点T， 均在 图像上，则称 为 的镜像函数．
(1)若点 ， ，且N~M，求 的坐标；
(2)证明：若 为 的镜像函数， ，则 ；
(3)已知函数 ， 为 的镜像函数．设R~S，且 ．证明：
．
【典例5-2】一个如果定义在 上的函数 使得 ，则称 是一个
元置换，可以用一个 的数表 来简单表示，例如 表示
一个4元置换 ，对于一个 元置换 和 ，按照
的递推关系定义的数列{a }称为 关于 生成的数列．
n
(1)对于3元置换 ，直接写出2关于 的生成数列{a }的前四项；
n
(2)给出两条新定义：
①对于一个数列{b }，如果存在正整数 ，使得对于任意正整数 ，都有 ，则称{b }是一个周期数
n n
列，并称 是{b }的一个周期；
n②对于一个 元置换 ，如果存在正整数 ，使得对任意 ， 都是 关于 的生成数列{a }
n
的一个周期，则称 是 元置换 的一个周期．
对于5元置换 ，求 的一个周期；
(3)王老师有一个特制机关盒和一把特制钥匙，锁孔内部有10个互不相同的可移动的凹槽，钥匙上有10个
对应的固定的齿，必须所有的齿与对应的凹槽同时匹配后，再按下开关，才能打开机关盒，钥匙每顺时针
转动一圈，就会按照某个10元置换 运作，将在第 个位置的凹槽转移到第 个位置上 ．
机关盒原本处于打开状态，但一位贪玩的同学将机关盒关上后，又把钥匙顺时针转动了一圈，且操作不当
弄坏了零件，导致钥匙只能继续顺时针转动，而且只有一次按下开关的机会，如果按下开关时所有的齿与
凹槽没有匹配上，机关盒就会彻底报废．问：王老师还有办法打开机关盒吗？他要至少继续顺时针转动钥
匙多少次，才能保证能打开机关盒？
【变式5-1】（2024·高三·浙江·开学考试）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合
的函数称为 次置换.满足对任意 的置换称作恒等置换.所有 次置换组成
的集合记作 .对于 ，我们可用列表法表示此置换： ，记
.
(1)若 ，计算 ；
(2)证明：对任意 ，存在 ，使得 为恒等置换；
(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张
变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原
来的牌型？请说明理由.
题型六：余数、约数
【典例6-1】约数，又称因数.它的定义如下：若整数 除以整数 除得的商正好是整数而没有余数，
我们就称 为 的倍数，称 为 的约数.设正整数 共有 个正约数，即为.
(1)当 时，若正整数 的 个正约数构成等比数列，请写出一个 的值；
(2)当 时，若 构成等比数列，求正整数 ；
(3)记 ，求证： .
【典例6-2】（河北省2024届高三学期大数据应用调研联合测评（V）数学试题）设a，b为非负整数，m
为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 ．
(1)求证： ；
(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则 ，这个定理称之为费马小定理．应用费马小
定理解决下列问题：
①证明：对于任意整数x都有 ；
②求方程 的正整数解的个数．
【变式6-1】（湖北省襄阳市第五中学2024届高三学期开学考试数学试题）“物不知数”是中国古代著名
算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二：五五数之剩三；七七数
之剩二．问物几何？”问题的意思是，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么这个数是多少？
若一个数 被 除余 ，我们可以写作 ．它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术
中给出的．大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，现将满足上述
条件的正整数从小到大依次排序．中国剩余定理：假设整数 ， ，…， 两两互质，则对任意的整数：
， ，…， 方程组 一定有解，并且通解为 ，其中
为任意整数， ， ， 为整数，且满足 ．
(1)求出满足条件的最小正整数，并写出第 个满足条件的正整数；
(2)在不超过4200的正整数中，求所有满足条件的数的和．（提示：可以用首尾进行相加）．【变式6-2】（2024·新疆·模拟预测）“剩余定理”又称“孙子定理”.1874年，英国数学家马西森指出此
算法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”该定理讲
的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2029这2029个整数中，能被3除余2且能被4
除余2的数按从小到大顺序排成一列，构成数列 ，则此数列所有项中，中间项为（）
A．1010 B．1020 C．1021 D．1022
1．欧几里得在《几何原本》中，以基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点．其中第 命题 是著
名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路:如图， 中， ，四边形
、 、 都是正方形， 于点 ，交 于点 ．先证明 与 全等，继
而得到矩形 与正方形 面积相等；同理可得到矩形 与正方形 面积相等；进一步
定理得证.在该图中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割.毕达哥拉斯几何学中有一个关
于五角星结构的问题.如图，一个边长为4的正五边形 有5条对角线，这些对角线相交于
五点，它们组成了另一个正五边形，则 的值为（ ）(参考数值： )A． B． C． D．
3．（2024·河南洛阳·三模）首位数定理：在 进位制中，以数字 为首位的数出现的概率为
，几乎所有日常生活中非人为规律的统计数据都满足这个定理.已知某银行10000名储户
的存款金额调查结果符合上述定理，则下列结论正确的是（ ）（参考数据： ，
）
A．存款金额的首位数字是1的概率约为
B．存款金额的首位数字是5的概率约为9.7%
C．存款金额的首位数字是6的概率小于首位数字是7的概率
D．存款金额的首位数字是8或9的概率约为9.7%
4．（2024·高三·上海宝山·开学考试）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的
研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论
知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设 是一个非空集合，“.”是 上的一个
代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对任意的 ，有 ；
②对任意的 ，有 ；
③存在 ，使得对任意的 ，有 称为单位元；
④对任意的 ，存在 ，使 ，称 与 互为逆元.
则称 关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（ ）
A． 关于数的乘法构成群
B．自然数集 关于数的加法构成群
C．实数集 关于数的乘法构成群
D． 关于数的加法构成群
5．（多选题）（2024·山西·一模）群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，
群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设
是一个非空集合，“ ”是一个适用于 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称 对“ ”构
成一个群：（1）封闭性，即若 ，则存在唯一确定的 ，使得 ；（2）结合律成立，即对中任意元素 都有 ；（3）单位元存在，即存在 ，对任意 ，满足
，则 称为单位元；（4）逆元存在，即任意 ，存在 ，使得 ，则称
与 互为逆元， 记作 .一般地， 可简记作 可简记作 可简记作 ，以此类推.正八边
形 的中心为 .以 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以 表示以点 为中心，将
正八边形逆时针旋转 的旋转变换；以 表示以 所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算
“ ”表示复合变换，即 表示将正八边形先进行 变换再进行 变换的变换.以形如 ，
并规定 的变换为元素，可组成集合 ，则 对运算“ ”可构成群，称之为“正八边形的对称
变换群”，记作 .则以下关于 及其元素的说法中，正确的有（ ）
A． ，且
B． 与 互为逆元
C． 中有无穷多个元素
D． 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身
6．（多选题）（2024·高二·全国·期末）群的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对
代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设 是一个非空集
合，“ ”是一个适用于 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称 对“ ”构成一个群：（1）
封闭性，即若 ， ，则存在唯一确定的 ，使得 ；（2）结合律成立，即对 中任意元素
， ， 都有 ；（3）单位元存在，即存在 ，对任意 ，满足 ，
则 称为单位元；（4）逆元存在，即任意 ，存在 ，使得 ，则称 与 互为逆元.根
据以上信息，下列说法中错误的是（ ）
A． 关于数的乘法构成群
B． 和 均关于数的加法构成群
C． 关于数的乘法构成群
D．平面向量集关于向量的数量积构成群
7．（多选题）（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）群论是代数学中一门很重要的理论，我们熟知的一元五次
及以上的方程没有根式解就可以用群论的知识证明，群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：
设 是一个非空集合，“ ”是 上的一个代数运算，若满足：
① 有 ；
② ，使得 ，有 ；
③ ，使 ，则称 关于“ ”构成一个群，则下列说法正确的有（ ）
A． 关于数的乘法构成群
B．有理数集关于数的乘法构成群
C． 关于数的加法构成群
D． 关于数的加法构成群
8．任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 的三边是 ，它们所对的角分别是 ，则
有 ， ， ．请利用上述知识解答下面的题：在
中，若 ，则 ．
9．莫利定理，也称为莫雷角三分线定理，是由英国数学家法兰克·莫利于1899年左右发现的一个几何定理.
该定理的内容如下：将任意三角形的三个内角三等分，则靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，这
样的三个交点可以构成一个等边三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.如图，在等腰直角 中，
是 的莫利正三角形，则 的边长为 .
10．平面几何中有定理：若点 为锐角 的外心，直线 ， ， 分别与锐角 外接圆交于
另外一点 ， ， ，则 ．若锐角 的外接圆方程为 ，
且该圆与 轴的交点分别为 ， ，则六边形 的面积的最大值为 ．
11．（2024·全国·模拟预测）古希腊科学家阿基米德对几何很有研究，下面是他发现的一个定理：设
的外接圆的弧 的中点为 ，自点 向 ， 中较长的边作垂线，垂足为 ，则点 平分折
线 的长．如图，点 都在圆 ： 上， 轴，且 ，点 在第一象限，
点 为圆 与 轴正半轴的交点，且 ，则 ．
12．平面几何中有一个著名的定理： 的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点
共圆，该圆称为 的九点圆或欧拉圆，若 ， ， 的垂心为 ，则 的九点圆的标准方程为 ．
13．（2024·河南郑州·模拟预测）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心
（三角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆
E上，直线BC方程为 ，且 ，△ABC的垂心 在△ABC内，点E在线段AG上，
则圆E的标准方程 .
14．（2024·四川·模拟预测）在1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》中刊登了如下问题：
如图所示，设M为圆内弦AB的中点，过点M作弦CD和EF，连接CF和DE分别交AB于点P，Q，则M
为PQ的中点．这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，所以该问题被冠名为“蝴蝶定理”．若
点D到AB的距离为 ，点F到AB的距离为 ， ，△QMD的外接圆为 ，△PMF的外接圆为 ，
随机向圆 内丢一粒豆子，落入△QMD内的概率为 ，随机向圆 内丢一粒豆子，落入△PMF内的概率
为 ，利用蝴蝶定理的结论，可得 ， 的大小关系是 ．
15．汉代大将韩信集合部队欲知部队总人数，只要求部下先后按 报数，再报告一下每次报的
余数.这种算法，称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称韩信点兵，被誉为中国剩余定理，剩余定理是等差数列的
应用.明代数学家程大位用诗歌揭示了鬼谷算：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百
零五便得知.即用3除所得余数乘以70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得余数乘以15，就
是所得数，若结果大于 则减去105的倍数.如 ，则52的鬼谷
算式子为 .写出134的鬼谷算式子： .
16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”
问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的
一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中因剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这
样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，
构成数列 ，则此数列的项数为 ．
17．阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边
长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，
即如果AD是 中BC边上的中线，则 .(1)若在 中， ， ， ，求此三角形BC边上的中线长；
(2)请证明题干中的定理；
(3)如图 中，若 ，D为BC中点， ， ，
，求 的值.
18．法国著名军事家拿破仑 波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三
个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在 中，内角
， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．以 ， ， 为边向外作三个等
边三角形，其外接圆圆心依次为 ， ， ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 的面积的最大值．
19．如图，半圆O的直径为2 ，A为直径延长线上的点， ，B为半圆上任意一点，以AB为一
边作等边三角形 设 .(1)当 时，求四边形OACB的周长；
(2)克罗狄斯 托勒密 所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四
边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，
则当线段OC的长取最大值时，求
(3)问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值.
20．已知椭圆 （ ），四点 ， ， ， ， 中
恰有三点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）蝴蝶定理：如图1， 为圆 的一条弦， 是 的中点，过 作圆 的两条弦 ， .若 ，
分别与直线 交于点 ， ，则 .
该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆 中，弦 的中点 的坐标为 ，且两条弦 ，
所在直线斜率存在，证明： .21．（2024·福建泉州·模拟预测）在相同的介质中，人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光在不同
的介质中的传播速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面 中，
光在介质Ⅰ内点 以入射角 ，速度 在介质1内传播至 轴上的点 ，而后以折射角 ，速度
v在介质Ⅱ内传播至点 .
(1)将光从点A传播到点B的所需的时间关于x的函数的解析式 ；
(2)费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决
以下问题：
（i）证明： .
（ii）若 ， ， ，求光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围.
22．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作
一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个
内角均小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个内角大于或等
于 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：
(1)若 是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点 到各顶点的距离之和；
(2) 的内角 所对的边分别为 ，且 ，点 为 的费马点．
（i）若 ，求 ；
（ii）求 的最小值．
