文档内容
专题 13 空间向量与立体几何
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB，其模
记为|a|或|AB|.
2．几类常见的空间向量
名称 方向 模 记法
零向量 任意 0 0
单位向量 任意 1
a的相反向量：－a
相反向量 相反 相等
AB的相反向量：BA
相等向量 相同 相等 a＝b
【考点2】空间向量的线性运算
(1)、向量的加法、减法
空间向量 加法 OB＝OA＋OC＝a＋b
的运算 减法 CA＝OA－OC＝a－b加法运算 ①交换律：a＋b＝b＋a
律 ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)、空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
【考点3】共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义
及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP＝λa.
【考点4】向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序
实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使AP＝xAB＋yAC或对空间任意一
点O，有OP＝OA＋xAB＋yAC.
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
【考点5】空间向量数量积的运算空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
⇔
③cos〈a，b〉＝.
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
【考点6】利用数量积证明空间垂直关系
当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1.定义：已知两个非零向量 、 ，在空间任取一点D，作 ，则∠AOB叫做向量 与
的夹角，记作 ，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义： ，
那么空间两个向量 、 的夹角的余弦 。
【考点7】空间向量的长度
1. 定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地 ，所以向量 的模：
将其推广：
； 。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，
然后利用 来求解。
【考点8】空间向量的基本定理及样本概念的理解
空间向量基本定理：
如果空间中的三个向量 ， ， 不共面，那么对空间中的任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组，使得 .其中，空间中不共面的三个向量 ， ， 组成的集合{ ， ， }，常称
为空间向量的一组基底.此时， ， ， 都称为基向量；如果 ，则称 为 在
基底{ ， ， }下的分解式.
【考点9】空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个基底叫做单
位正交基底，常用 表示.
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
【考点10】用空间向量基本定理解决几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量
的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
【考点11】空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系 ，
点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是
平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的
正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，
y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
【考点12】空间直角坐标系中的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已
知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标：原点 ； 轴上的点的坐标分别为 ；坐标平面
上的点的坐标分别为 .
2.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点 ，则有点 关于原点的对称点是 ；
点 关于横轴(x轴)的对称点是 ；
点 关于纵轴(y轴)的对称点是 ；
点 关于竖轴(z轴)的对称点是 ；
点 关于坐标平面 的对称点是 ；
点 关于坐标平面 的对称点是 ；
点 关于坐标平面 的对称点是 .
【考点13】空间直角坐标系中的坐标
（1）空间两点的距离公式
若 ，则
①
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
② ，
或 .
知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量 的坐标表示，然
后再用模长公式推出。
（2）空间线段中点坐标
空间中有两点 ，则线段AB的中点C的坐标为 .
（3）向量加减法、数乘的坐标运算
若 ，则
① ;
② ;
③ ;
（4）向量数量积的坐标运算
若 ，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若 ，则
(1) .
(2) .
（6）空间向量平行和垂直的条件
若 ，则
①
②
规定： 与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
三、解法解密
方法一：直线的方向向量和平面的法向量
1.直线的方向向量：
点A是直线l上的一个点， 是直线l的方向向量，在直线l上取 ，取定空间中的任意一点O，
则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 或 ，这就是空间直线的向量表
达式.
知识点诠释：
（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的
方向向量．
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量
的坐标运算．
2.平面的法向量定义：
直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量 为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量 ，那么过点A，且以向量 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 .
知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内
两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．
3.平面的法向量确定通常有两种方法：
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向
量；
（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如
下：
（i）设出平面的法向量为 ；
（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标 ， ；
（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程 ；
（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程
组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
方法二：用向量方法判定空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．
（1）线线平行
设直线 的方向向量分别是 ，则要证明 ，只需证明 ，即 ．
（2）线面平行
线面平行的判定方法一般有三种：
①设直线 的方向向量是 ，平面 的向量是 ，则要证明 ，只需证明 ，即 ．
②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线
的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平
面内两个不共线向量线性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
②若能求出平面 ， 的法向量 ，则要证明 ，只需证明 ．
方法三、用向量方法判定空间的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．
（1）线线垂直设直线 的方向向量分别为 ，则要证明 ，只需证明 ，即 ．
（2）线面垂直
①设直线 的方向向量是 ，平面 的向量是 ，则要证明 ，只需证明 ．
②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．
（3）面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．
方法四、用向量方法求空间角
（1）求异面直线所成的角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为 ，
则 ．
知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为 ．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向
向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成
的角．
（2）求直线和平面所成的角
设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与 的角为 ，
则有 ．
（3）求二面角
如图，若 于 于 ，平面 交 于 ，则 为二面角 的平面角，
.若 分别为面 的法向量，
则二面角的平面角 或 ，
即二面角 等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．
①当法向量 与 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角 的大小等于 的夹角
的大小．
②当法向量 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角 的大小等于 的夹角的补角
的大小．
方法五、用向量方法求空间距离
1.求点面距的一般步骤：
①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
ABn
d
|n | B n
即：点A到平面 的距离 ，其中 ， 是平面 的法向量．
2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
ABn
d
a |n | Aa,B n
直线 与平面 之间的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量．
ABn
d
, |n | A,B n
两平行平面 之间的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量．
3. 点线距
设直线l的单位方向向量为 ， ， ，设 ，则点P到直线l的距离 .四、考点解密
重难点题型1 空间向量的基本运算
例1（1）、（湖南省益阳市2022-2023学年高二上学期12月大联考数学试题）已知两点 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）若直线 的一个方向向量为 ，平面 的
一个法向量为 ，则（ ）
A． B． C． D． 或
【变式训练1-1】、（2020·广东顺德德胜学校高二期中）设向量 分别是平面 的法向量，向量
，若 平行，则实数 ___________
【变式训练1-2】、（2022·上海松江·高二期末）已知向量 ，且 ，则
_________.
重难点题型2 利用空间向量研究平行与垂直问题
例2（1）、（2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试）已知平面 的一个法向量为 ，平面
的一个法向量为 ，若 ，则 =_________．
（2）、（2022·上海中学高二期中）已知向量 与 垂直，则m的值为______.
【变式训练2-1】、（2022·上海·复旦附中高一期末）已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的
一个法向量 ，若 ，则实数 _______．
【变式训练2-2】、（2022·重庆·高二阶段练习）已知向量 ，且 与 互相
平行，则 （ ）A． B． C． D．
重难点题型3 线线角与距离问题
例3、（1）、（2022·湖南·宁远县明德湘南中学高二阶段练习）已知 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·安徽·高三开学考试）在棱长均等的正三棱柱 中，直线 与 所成角的余
弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】、（2022·全国·高二单元测试）正方体 的棱长为 ，点 在 上，且
， 为 的中点，则 的长为 __．
【变式训练3-2】、（2022·河南·高二阶段练习）在平行六面体 中，
，且 交平面 于点M，则 （ ）
A． B． C． D．
重难点题型4 线面角
例4、（2022·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，二面角S-AB-D为直二
面角，∠SAB=∠SBA，点M为线段AD的中点.
(1)证明：SD⊥MC；
(2)若SA=AB，点N是线段BD上靠近点B的三等分点，求直线SA与平面SMN所成角的正弦值.【变式训练4-1】、（2022·吉林·东北师大附中高二阶段练习）如图，已知圆柱 ，过轴 的截面图
形 为正方形，点 在底面圆周上，且 ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值.【变式训练4-2】、（2022·云南·鹤庆县第三中学高二阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面
ABCD，AD BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，点M，N分别为棱PB，DC的中点．
(1)求证：AM 平面PCD；
(2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．
重难点题型5 二面角
例5、（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））如图，在三棱锥 中， 底面
分别为 的中点，点 都在棱 上， ，且满
足 平面 .
(1)求 的长；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.【变式训练5-1】、（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点
C在圆锥底面的圆周上， ， ，BE平分 ，D是SC上一点，且平面 平面
SAB．
(1)求证： ；
(2)求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值．
【变式训练5-2】、（2022·江苏苏州·高三阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 平面
是等边三角形，已知 是线段 上的一点（不与
端点 重合）.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点 是线段 上靠近 的三等分点，求锐二面角 的大小.五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高二期中）若 与 共线，则 （ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
2．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内
部且满足 ，则P到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东临沂·高二期中）已知空间向量 ， ，则 （ ）
A． B．6 C．36 D．40
4．（2022·河南开封·一模（文））如图，在正方体 中，点M，N分别是 ， 的中点，
则下述结论中正确的个数为（ ）
① ∥平面 ； ②平面 平面 ；
③直线 与 所成的角为 ； ④直线 与平面 所成的角为 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高二期中）已知四棱柱ABCD-ABC D 的侧棱AA 垂直于底面，底面
1 1 1 1 1
ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=AA=2BC，E为DD 的中点，F为AD的中点，则直线EF
1 1 1
与平面ACD所成角的正弦值为（ ）
1A． B． C． D．
6．（2022·辽宁抚顺·高二期中）已知 的三个顶点分别为 ， ， ，则
边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南省浚县第一中学高二阶段练习）已知平面 的法向量为 ，点 在平面
内，点 到平面 的距离为 ，则 （ ）
A．-1 B．-11 C．-1或-11 D．-21
8．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）如图，在正四棱锥 中，PA＝AB＝1，点Q，R分别
在棱AB，PC上运动，当QR取得最小值时，三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·陕西省神木中学高二阶段练习（理））已知平面 的法向量为 ，点 ，
，且 ， ，则点 到平面 的距离为______．
10．（2022·山东临沂·高二期中）已知空间向量 ， ，若 ，则 ______．
11．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
棱 的中点，点 在线段 上运动，给出下列四个结论：①平面 截正方体 所得的截面图形是五边形；
②直线 到平面 的距离是 ；
③存在点 ，使得 ；
④ 面积的最小值是 ．
其中所有正确结论的序号是__________．
12．（2022·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高三阶段练习）如图，在正方体 中，
为棱 的中点.动点 沿着棱 从点 向点 移动，对于下列三个结论：
①存在点 ，使得 ，且这样的点 有两个；
② 的面积越来越小；
③四面体 的体积不变.
所有正确的结论的序号是__________.
13．（2022·山西省运城中学校高二期中）在直角坐标系 中， ，沿直线 把直
角坐标系折成 的二面角，则 的长度为___________.
B组 能力提升
14．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）（多选题）如下图，正方体 中， 为线段
上的动点， 平面 ，则下面说法正确的是（ ）A．直线 与平面 所成角的正弦值范围为
B．已知 为 中点，当 的和最小时，
C．点 为 的中点时，若平面 经过点 ，则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．点 与点 重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大.
15．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高二期中）（多选题）如图，四棱柱 的底面
ABCD是正方形，O为底面中心， 平面ABCD， ．以O为坐标原点，建立如图所示的空
间直角坐标系，则（ ）
A．
B． 平面
C．平面 的一个法向量为
D．点B到直线 的距离为
16．（2022·山东临沂·高二期中）（多选题）在空间直角坐标系 中， ， ，
，则（ ）
A． B．异面直线OC与AB所成角等于
C．点B到平面AOC的距离是2 D．直线OB与平面AOC所成角的正弦值为
17．（2022·河南·郑州外国语学校高二期中）（多选）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，半圆面
平面ABCD，点P为半圆弧AD上一动点（点P与点A，D不重合），下列说法正确的是（ ）A．三棱锥 的四个面都是直角三角形
B．三棱锥 的体积最大值为
C．在点P变化过程中，直线PA与BD始终不垂直
D．当直线PB与平面ABCD所成角最大时，点P不是半圆弧AD的中点
18．（2021·陕西·子长市中学高三期中（理））如图，在底面为矩形的四棱锥 中，平面
平面ABCD， 为等腰直角三角形， ， ，O、Q分别为AD、PB的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线AQ与平面PBC所成角的正弦值．
19．（福建省莆田一中、龙岩一中、三明二中三校2023届高三上学期12月联考数学试题）四棱锥
平面 ，底面 是菱形， ，平面 平面 .
(1)证明： ；
(2)设 为 上的点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值.
20．（2022·福建省仙游县度尾中学高二期末）如图，在三棱锥 中， 是正三角形，
， 是 的中点．(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
21．（2022·贵州·遵义市南白中学高三阶段练习（理））图一，四边形 是边长为2的菱形，且
，点 为 的中点，现将 沿直线 折起，形成如图二的四棱锥 ，点 为
的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求二面角 的正弦值.
22．（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（理））已知四棱锥 ，底面 是 、边长为2
的菱形，又 ，且 ，点 分别是 的中点．
(1)证明：DN//平面PMB；
(2)证明：平面PMB 平面PAD；
(3)求二面角 的余弦值．
23．（2022·四川省岳池中学高三阶段练习（理））如图，在三棱锥 中， 平面 ，
， ， ， 为线段 上一点，且 ．(1)在线段 上求一点 ，使得平面 平面 ，并证明；
(2)求二面角 的余弦值．
24．（2022·广西广西·模拟预测（理））如图四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形， ，
平面ABCD⊥平面PCD， ， ， ， .
(1)证明：CD⊥平面PEB；
(2)若Q在线段PC上，且 ，求二面角 的余弦值.C组 真题实战练
25．（2020·全国·高考真题（理））如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，
． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
26．（2018·全国·高考真题（理））如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为
折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
27．（2017·全国·高考真题（理））如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直
于底面 ， 是 的中点．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为 ，求二面角 的余弦值．28．（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平
面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
