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专题 13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题
目 录
01 正方体、长方体外接球...................................................................................................................2
02 正四面体外接球...............................................................................................................................3
03 对棱相等的三棱锥外接球................................................................................................................7
04 直棱柱外接球..................................................................................................................................8
05 直棱锥外接球.................................................................................................................................10
06 正棱锥与侧棱相等模型.................................................................................................................16
07 侧棱为外接球直径模型.................................................................................................................20
08 共斜边拼接模型.............................................................................................................................22
09 垂面模型........................................................................................................................................25
10 二面角模型....................................................................................................................................31
11 坐标法............................................................................................................................................36
12 圆锥圆柱圆台模型.........................................................................................................................42
【淘宝店铺：向阳百分百】13 锥体内切球....................................................................................................................................45
14 棱切球............................................................................................................................................49
01 正方体、长方体外接球
1．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在长方体 中，已知 ，
，在该长方体内放置一个球，则最大球的体积为 .
【答案】 /
【解析】在长方体 中， ， ，由长方体的结构特征知，长方体的内置球
直径不超过最短棱长，
于是得球直径小于等于2，球半径 的最大值为1，此时有 ，
所以最大球的体积为 .
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
【答案】
【解析】设正方体的棱长为 ，因为正方体的表面积为 ，可得 ，解得 ，
则正方体的对角线长为 ，
设正方体的外接球的半径为 ，可得 ，解得 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为： .
3．（2023·吉林·高三校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为 ，则球的表面积为
．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】该球为正方体外接球，其半径 与正方体棱长 之间的关系为 ，
由 ，可得 ，所以球的表面积 .
答案：
02 正四面体外接球
4．（2023·山东·高三济南一中校联考阶段练习）在正四面体 中，以 为直径作球 ，点 在球
与 的中垂面相交所得的圆上运动，当三棱锥 的体积的最小值为 时，该正四面体
外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】设正四面体 的棱长为a，设点D到平面 的距离为h，则
当h最小时， 最小.
因为球O的半径为 ，
如图所示，当D在如图所示的位置时h最小.取AC的中点F，连接PF、BF，
则 ，所以 .
因为
则 ， ， .
【淘宝店铺：向阳百分百】所以h最小值为 ，
所以 ，解得 .
设正四面体 的外接球的半径为 ,球心为 .
如图所示，正四面体 的棱长为 ，过P作 平面 于 ，
由于 ,
所以 ，
利用勾股定理得 ，
所以 中， ，解得 ，
所以正四面体 的外接球的体积为 .
故答案为：
5．（2023·河北·统考模拟预测）在正四面体 中， 为 的中点，点 在以 为球心的球上运动，
，且恒有 ，已知三棱锥 的体积的最大值为 ，则正四面体 外
接球的体积为（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，
为 的中点，点 在以 为球心的球上运动， ，
所以 都在以 为球心的球上，
又因 ，则 在 的中垂面上，如图，
连接 ，
都为正三角形，且 为 的中点，
，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ，平面 是 的中垂面，即 在平面 上，
所以点 在平面 与以 为球心， 为半径的球的交线上，
即 在以 为圆心， 为半径的平面 内的圆上，
取 中点 ，连接 ，延长 至点 ，使 ，
作在平面 内，以 为圆心， 为半径的圆，
则圆 上的点 到平面 的距离最远，故 在 处，
设 ，则 ， ，
平面 ， 平面 ，
,
,
,
【淘宝店铺：向阳百分百】在 中， ，
点 到平面 的距离 ，
所以 ，
解得 ，
如图则其外接正方体的边长为 ，
所以正四面体 外接球即为边长为 正方体的外接球，
故外接球半径 ，
所以外接球体积 .
故选：A
6．（2023·山东济南·高三统考期末）若正四面体的表面积为 ，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为 ，由题意可知： ，解得： ，
所以正四面体的棱长为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为 ，正方体的体对角线长为 ，
因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径 ，
则外接球的体积为 ，
故选： .
7．（2023·河南·西平县高级中学校联考模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的
体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，四面体 是正四面体，棱长 ，将其补形成正方体 ，
则正方体 的棱长 ，此正方体的体对角线长为 ，
正四面体 与正方体 有相同的外接球，则正四面体 的外接球半径 ，
所以正四面体 的外接球体积为 ．
故选：A
03 对棱相等的三棱锥外接球
8．（2023•罗湖区月考）已知在四面体 中， ，则四面体
【淘宝店铺：向阳百分百】的外接球表面积为 ．
【解析】解：如下图所示，将四面体 放在长方体 内，在四面体 中，
，设该长方体的长、宽、高分别为2、2、1，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为 ，
所以，该四面体的外接球直径为 ，
因此，四面体 的外接球的表面积为 ，
故答案为： ．
9．（2023•孟津县校级期末）若四面体 中， ， ，则四面体
的外接球的表面积为 ．
【解析】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体 的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以 ， ， 为三边的三角形作为底面，
且以分别 ， ， 长、两两垂直的侧棱的三棱锥，
从而可得到一个长、宽、高分别为 ， ， 的长方体，
并且 ， ， ，
则有 为球的半径），
所以球的表面积为 ．
故答案为： ．
10．（2023•三模拟）在四面体 中， ， ， ，则其外接球的
表面积为 ．
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】解：如下图所示，
将四面体 放在长方体 内，设该长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为 ，
由勾股定理得 ，
上述三个等式全加得 ，
所以，该四面体的外接球直径为 ，
因此，四面体 的外接球的表面积为 ，
故答案为： ．
04 直棱柱外接球
11．（2023·陕西西安·高三高新一中校考阶段练习）在直三棱柱 中，
，则三棱柱 外接球体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在直三棱柱 中，因 ，即 ，则 ，
于是得 ，将其补形成棱长为2的正方体 ，如图，
【淘宝店铺：向阳百分百】则直三棱柱 的外接球即为棱长为2的正方体 的外接球，
球半径 ，因此， ，
所以三棱柱 外接球体积等于 .
故选：A
12．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知球O为正三棱柱 的外接球，正
三棱柱 的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设三棱柱 的高为h，底边边长为a．设球O的半径为R，
则三棱柱底面三角形的外接圆半径 满足： ，解得：
由题知， ，
，
故球O的表面积为 ，
故选：B.
【淘宝店铺：向阳百分百】05 直棱锥外接球
13．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）如图，在体积为 的三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AD＝
BD，PD⊥底面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
由题意 是直角三角形，AB的中点为D，连结PD，很明显球心在PD上，
设球心为O，PD＝h，AC＝x， ，OC＝R，则 ，解得 ，
在 中， ， ，则 ，
解得 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
【淘宝店铺：向阳百分百】即R的最小值是在 时取得 ，经检验正确，
即满足题意时三棱锥的高为2， ，故外接球体积的最小值为： ，
故选：A.
14．（2023·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）在三棱锥 中， 平面BCD，
，则已知三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设 ， ， 为 的外心， 为三棱锥 外接球的球心，则
平面 ，又 平面 ，所以 ， 平面 ，则 ，四边形 是
直角梯形，
设 ， ， ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，
则 ， ， ，即 ，
又 ，则 ，
，
令 ，则 ， ，
，当且仅当 ，即
时等号成立，
所以三棱锥 外接球表面积 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B．
15．（2023·浙江温州·统考模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ， ，
，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，在等腰 中， ，设 的外心是 ，外接圆半
径是 ，则 ，∴ ，
设外接球球心是 ，则 平面 ， 平面 ，则 ，同理 ， ，
又 平面 ，所以 ， 是直角梯形，
设 ，外接球半径为 ，即 ，
则 ，所以 ，
在直角 中， ， ，
， ，∴ ，
，
令 ，则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，当且仅当
， 时等号成立，
所以 的最小值是 ．
故选：D.
16．（2023·河南开封·高三河南省杞县高中校联考开学考试）在四棱锥 中，四边形 为正方
形， 平面 ，且 ，则四棱锥 的外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】设四棱锥 的外接球与内切球的半径分别为 .
因为 ，
四棱锥 的表面积 ，
所以 ，
因为 两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以 ，
所以四棱锥 的外接球与内切球的表面积之比为 .
【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B.
17．（2023·浙江丽水·高三统考期末）如图，在三棱柱 中， 底面 ， ，
， ， 在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥 的外接球体积的
最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
如图，取 中点为 ， 中点为 ，连接 ，取 的中点为 ，连接 .
因为 为直角三角形，所以 外接圆的圆心即为 .
同理， 外接圆的圆心即为 .
【淘宝店铺：向阳百分百】所以，当 位于 顶点时（不妨假设点 与点 重合），三棱锥 的外接球的球心恰好与三
棱柱 的外接球的球心重合，即三棱锥 的外接球的半径等于三棱柱 的外
接球的半径，此时体积有最大值.
因为 分别为 的中点，
根据三棱柱的性质可知， ，且 ，
所以，四边形 是平行四边形，
所以 ，且 ， .
根据三棱柱的性质可知 平面 ，
所以 平面 .
又 分别为 以及 外接圆的圆心，
所以，线段 的中点 即为三棱柱 的外接球的球心，
所以，三棱柱 的外接球的半径即等于 .
又 ，所以 ， .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，即 ，
所以， ，
所以，三棱锥 的外接球体积的最大值为 .
故选：C.
18．（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥 中， 平面 ， ， ．过点
【淘宝店铺：向阳百分百】分别作 ， 交 于点 ，记三棱锥 的外接球表面积为 ，三棱锥
的外接球表面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取 的中点 ， 的中点 ，连 ， ， ， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ， ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在直角三角形 中， 是斜边 的中点，所以 ，
在直角三角形 中， 是斜边 的中点，所以 ，
所以 是三棱锥 的外接球的球心， 为该球的直径.
因为 ， 是斜边 的中点，所以 ，
因为 ， 是斜边 的中点，所以 ，
所以 是三棱锥 的外接球的球心， 为该球的直径.
设 ，则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，
所以 .
故选：B.
06 正棱锥与侧棱相等模型
19．（2023·云南保山·高三统考期末）已知正三棱锥 的侧棱与底面所成的角为 ，高为 ，则
该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】 /
【解析】设顶点P在底面 的投影为 （ 为等边 的中心），则该三棱锥外接球的球心O在
上，连接 ，
因为 底面 ，则侧棱与底面所成的角为 ，可得 ，
设棱锥外接球的半径为R，
因为 ，即 ，解得 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为： .
【淘宝店铺：向阳百分百】20．（2023·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥 中， ，
，该三棱锥的外接球体积为 ．
【答案】
【解析】在正三棱锥 中 为等边三角形，顶点 在底面的射影为底面的重心，所以
，
又 ， ，所以 ，所以 ，同理可得 、 ，
即 ， ， 两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，易得三棱锥的外接球半径 ，
所以三棱锥的外接球体积 .
【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
21．（2023·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体
积为 ，则该正四棱锥的体积最大值为 ．
【答案】 /
【解析】因为球的体积为 ，所以球的半径为 ，
如图，设正四棱锥的底面边长 ，高 ，外接球的球心为 ，
根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，又 ，
在 中， ，即 ，
所以正四棱锥的体积为 ，
整理得 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
故答案为： ．
22．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等
分点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．
【答案】
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】如图，正四棱锥的侧棱的所有三等分点构成一个正四棱台，
棱台上底面是边长为1的正方形，棱台下底面是边长为2的正方形，侧棱长为1，
可求得棱台的高为 ，
设该棱台的外接球的半径为 ，
球心到下底面的距离 ，
球心到上底面的距离 ，
①球心在两个底面之间时，
所以 ，
因为 ，则 ，则上式无解；
②球心在下底面下方时，
，
，
两边同时平方： ，
，解得： ，
表面积 ，
故答案为： .
【淘宝店铺：向阳百分百】07 侧棱为外接球直径模型
23．（2023•保山期末）已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 是边长为6的正三角形，
为球 的直径，且此三棱锥的体积为 ，则球 的表面积为
A． B． C． D．
【解析】解： 是边长为6的正三角形， 外接圆的半径 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则棱锥 的体积 ，解得 ，
又 为球 的直径，
点 到平面 的距离为 ，则三棱锥外接球 的半径 ，
可得球的表面积 ．
故选： ．
24．（2023•大连模拟）球 的直径 ， ， 是该球球面上的两点， ， ，
则棱锥 的体积为
A． B． C． D．
【解析】解： 球 的直径 ， ， 是该球球面上的两点，
【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
由题意知，在棱锥 中，
， 都是等腰直角三角形，其中 ， ，
．
取 的中点 ，则 ， ，
垂直于面 ，
棱锥 的体积为两个棱锥 和 的体积和，
棱锥 的体积 ．
故选： ．
25．（2023•迎泽区校级月考）已知球 的直径 ， 、 是该球面上的两点，且 ，
， ，则三棱锥 的体积为
A． B． C． D．
【解析】解：设球心为 ，连结 、 ，
为球的直径， 、 是球面上的点， ．
又 ， ， ， ， ， ．
又 ， ，
为直角△， 的外心为 中点 ，
连接 ，根据球的性质，可得 面 ，
在 中， ， ， ，
，
【淘宝店铺：向阳百分百】，三棱锥 的体积为 ．
故选： ．
08 共斜边拼接模型
26．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 底面 是边长为 的等边三
角形､若二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球表面积大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：取 的中点 ，连接 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因此 为二面角 的平面角，
设 ，则 ，
， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得： ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以三棱锥的外接球的直径 ，
所以三棱锥的外接球的表面积为 ．
故选：C．
27．（2023·全国·高三专题练习）三棱锥D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD， AB⊥DB．则三棱
锥D-ABC外接球的表面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取 的中点为 ，连接 ，因为AC⊥CD， AB⊥DB
【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 即 为棱锥D-ABC外接球的球心，
又AB=DC=3，AC=DB=2，
∴ ，
∴三棱锥D-ABC外接球的表面积为 ．
故选：B．
28．（多选题）（2023·山东·泰安一中高一期中）三棱锥 中，平面 平面ABC，
， ，则（ ）
A．
B．三棱锥 的外接球的表面积为
C．点A到平面SBC的距离为
D．二面角 的正切值为
【答案】AD
【解析】对于A，因为平面 平面ABC， ，即 ，
平面 平面 ， 平面SAB，所以 平面ABC，
又因为 平面ABC，所以 ，故A正确；
对于B，因为 ， ， ，
所以 平面SAB，因为 平面SAB，
所以 ．又 平面ABC， 平面ABC，
所以 ，即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以三棱锥 外接球的直径为SC．因为 ，
所以 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 ，故B错误；
对于C，因为 平面SAB， 平面SBC，
所以平面 平面SBC，过点A作 ，交SB于点G，
根据面面垂直的性质定理，可得 平面SBC，
故点A到平面SBC的距离为AG，由 ， ，
得 ，则 ，
则 ，故C错误；
对于D， ， ，所以∠SBA为二面角 的平面角，
在 中， ，故D正确；
故选：AD．
【淘宝店铺：向阳百分百】09 垂面模型
29．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）在三棱锥 中，已知 ，
且平面 平面ABC，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点 ，连接 ，则由 ，得 ，
因为平面 平面ABC，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面ABC，则球心O在直线 上．
连接OA，则 ，
因为 ，所以 ；
因为 ，所以 .
因为 ，所以球心在线段 上．
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，解得 ，
所以三棱锥 的外接球表面积为 .
故选：B．
【淘宝店铺：向阳百分百】30．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）如图，在梯形 中，
，将 沿对角线 折起，使得点 翻折到点 ，若面 面
，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，
设 为 的中点， 为 的中点， 为 的外心， 为三棱锥 的外接球球心，
则 面 面 .
由题意得 为 的外心，
在 中， ，
所以 ，
又四边形 为矩形，
，设外接球半径为 ，
则 外接球表面积 ，
故选：B.
31．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知四棱锥 的底面 是矩形，其中 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，平面 平面 ， ，且直线 与 所成角的余弦值为 ，则四棱锥
的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示四棱锥 ，平面 平面 ， ，取 中点E，
则 ， 平面 ，故 ，又 ，可知 平面 ，
故 .
依题意，底面 是矩形，直线 与 所成角的余弦值为 ，即直线 与 所成角 的余弦
值为 ，故 中， ，由 知， ，故 ，又由 ，
知， 是等边三角形，故 的三等分点F（距离E近的三等分点）是三角形中心，过F作平面
的垂线，过矩形 的中心O作平面 的垂线，两垂线交于点I，则I即外接球球心.
， ，设外接球半径R，
则 ，
所以四棱锥 的外接球表面积为 .
故选：A.
32．（2023·四川泸州·统考一模）已知三棱锥 中，平面 平面 ，且 和 都
是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意画出图形分别取 与 的外心 ，过 分别作两面的垂线，相交于 ，结合
已知由 ，求出三棱锥外接球的半径，则外接球的表面积可求.如图，
由已知可得， 与 均为等边三角形，
取 中点 ，连接 ， ，则 ，
∵平面 平面 ，则 平面 ，
分别取 与 的外心 ，过 分别作两面的垂线，相交于 ，
则 为三棱锥 的外接球的球心，
由 与 均为边长为 的等边三角形，
可得 ，
，
，
∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为 .
故选：D.
33．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）在边长为2的菱形 中， ，将菱形
沿对角线 折起，使得平面 平面 ，则所得三棱锥 的外接球表面积为（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 在边长为2的菱形 中， ，
如图，
由已知可得， 与 均为边长为2的等边三角形，
取 中点 ，连接 ， ，则 ，
，
平面 平面 ，交线为 ，
而 平面 ，则 平面 ，
分别取 与 的外心 ， ，
过 ， 分别作两面的垂线，相交于 ，
则 为三棱锥 的外接球的球心，
由 与 均为等边三角形且边长为2，
可得 ，
，
，
【淘宝店铺：向阳百分百】即三棱锥外接球的半径： ，
三棱锥 的外接球的表面积为： .
故选：C.
34．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形， ，且面
面ABCD，则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】P-ABCD的外接球转化为三棱柱PAB-EDC的外接球，球心位于上､下底面中心连线段中点O处，
由正弦定理求出 ，勾股定理求出 ，代入球体表面积公式即可得解.P-ABCD的外接球与三棱柱PAB-
EDC外接球相同.
球心位于上､下底面中心连线段中点O处，设外接球半径为R，
因为 ，所以△PAB为等边三角形，由正弦定理得 ，
，
.
.
故选：D
10 二面角模型
35．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）在边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折
【淘宝店铺：向阳百分百】成二面角 为 的四面体 （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，取 的中点M， 和 的外接圆半径为 ， 和 的外心 ，
到弦 的距离（弦心距）为 .
法一：四边形 的外接圆直径 ， ，
；
法二： ， ， ；
法三：作出 的外接圆直径 ，则 ， ， ，
， ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ， .
故选：A
36．（2023·湖南郴州·高三统考阶段练习）在边长为 的菱形ABCD中， ，沿对角边 折
成二面角 为 的四面体 ，则四面体 外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示， ， ， ，
，
设 ，则
， ，
由勾股定理可得 ，
，
四面体的外接球的表面积为 ，
故选： ．
37．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）在边长为2的菱形 中， ，将菱形
沿对角线 折起，使二面角 的大小为 ，则所得三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】由于四边形 是边长为 的菱形，且 ，则 ，
所以， 、 都是边长为 的等边三角形，
由于菱形的对角线互相垂直，则 ， ，
所以， 为二面角 的平面角，即 ，
过点 作平面 的垂线 ，垂足为点 ，则点 在线段 上，
由 ， ，可得 ，
且 是等边三角形，所以， ，
设 的外心为点 ， 的中点 ，
在平面 内，过点 、 分别作平面 、 的垂线交于点 ，
则点 为三棱锥 的外接球的球心，则 ， ，
，则 ，
由于 、 、 、 四点共圆，可得 ，
所以，三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：B.
38．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在三棱锥 中， 底面 是边长为 的
【淘宝店铺：向阳百分百】等边三角形､若二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球表面积大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 的中点 ，连接 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因此 为二面角 的平面角，
设 ，则 ，
， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得： ，
所以三棱锥的外接球的直径 ，
所以三棱锥的外接球的表面积为 .
故选：C.
【淘宝店铺：向阳百分百】39．（2023·湖北·高三统考期末）在三棱锥 中， ， ，设侧面 与底面
的夹角为 ，若三棱锥 的体积为 ，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，
（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 为 的外接圆的直径，
设 的中点为 ，则 为 的外接圆的圆心，
因为 ，设 到平面 的距离为 ，
则 ，所以 ，
当该三棱锥外接球表面积取最小值时，半径最小，
设三棱锥 的外接球的球心为 ，半径为 ，则 平面 ，
若点 和点 在平面 的同侧，如图：
则 ，即 ，当且仅当 三点共线时，取等号，
在 中， ，所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以 ，当且仅当 三点共线时，取等号，
若点 和点 在平面 的异侧，
则 ，所以 ，
若 与 重合时， ，不合题意，
综上所述： 的最小值为 ，且当 时， 三点共线，
此时 平面 ，取 的中点 ，连 ， ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 是侧面 与底面 的夹角，即 ，
因为 ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
故选：B
11 坐标法
40．（2023·河南郑州·模拟预测）在长方体中 中， ，AD＝2，M是棱 的中
点，过点B，M， 的平面 交棱AD于点N，点P为线段 上一动点，则三棱锥 外接球表面
积的最小值为 ．
【答案】
【解析】设三棱锥 外接球球心为 ，半径为R，
则 在过直角 斜边的中点 与平面 垂直的直线上，且满足 .
以D为原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
设球心 ， ，又 ，
设 ， ，则 ，
由 ，得 ，
则 ，由 ， ，可得 ，
又 ，所以当 时， 取最小值，最小值为 ，
所以三棱锥 外接球表面积的最小值为 .
【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
41．（2023·上海·统考模拟预测）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 、
、 、 ，则该四面体的内切球与外接球体积之比为
【答案】 /
【解析】点 、 、 、 恰为棱长为 的正方体的四个点，
该四点构成了一个棱长为 的正四面体（如图所示）.
设该正四面体 的内切球和外接球半径分别为 、 ，体积分别为 、 ，
则该正四面体的外接球也是正方体的外接球，
则 ，即 .
由图可得该四面体的体积为：
【淘宝店铺：向阳百分百】，
又 ，
所以 ，解得 ，
则 ， .
故答案为： .
42．（2023·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位： ）
的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表
面积的最小值为
【答案】
【解析】如图将正方体补全，依题意可得 、 、 、 为正方体底面边上的中点，
要使球的表面积最小，即为求 的外接球的表面积，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ，则几何体 外接球的球心必在上、下底
面中心的连线上，
设球心为 ，球的半径为 ，则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，解得 ，
所以 ，
所以外接球的表面积 ，即该球表面积的最小值为 .
故答案为：
43．（2023·福建龙岩·统考二模）正方体 的棱长为2，若点M在线段 上运动，当
的周长最小时，三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 的周长为 ，由于 为定值，即 最小时， 的周长最小，
如图，将平面 展成与平面 同一平面，则当点 共线时，此时 最小，在展开图
中作 ，垂足为 ， ，解得： ，
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，
【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
连结 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 ，且 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
同理 ，且 ，
所以 平面 ，且三棱锥 是正三棱锥，所以 经过△ 的中心．
所以三棱锥 外接球的球心在 上，设球心 ， ， ，则 ，
即 ，
解得： ， ，所以外接球的表面积 .
故选：C.
44．（2023·江苏扬州·高三统考期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直
于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，
则该“阳马”的内切球表面积为 ，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为 ．
【答案】 /
【解析】
如图， 为正方形，设 垂直于平面 ，由题 ， ，
因为 ， ，所以 平面ADP，所以 ， 为直角三角形，
【淘宝店铺：向阳百分百】由题， ，四棱锥表面积 ，体积 ，
设内切球半径为r，则 ，得 ，内切球表面积为 ；
以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
因为内切球半径 ，所以内切球球心 ，
因为该四棱锥可以补全为棱长分别为3，3，4的长方体，所以外接球球心 ，
两点间距离 .
故答案为： ；
45．（2023·山西·统考一模）如图①，在 中， ， ，D，E分别为 ， 的中
点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图②.若F是 的中点，则四面体 的
外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，如图建立空间直角坐标系，则 、 、 、 、 、
【淘宝店铺：向阳百分百】，依题意 为直角三角形，所以 的外接圆的圆心在 的中点 ，设外接球
的球心为 ，半径为 ，则 ，即
，解得 ，所以 ，所以外接球的体积
；
故选：B
12 圆锥圆柱圆台模型
46．（2023·全国·高三专题练习）已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上､下底面的圆周均在球面上，
若球的体积为 ，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，球O的半径为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由题可知 ，解得 ，
则 ，可得 ，
所以 .
故选：C.
47．（2023·云南昆明·高三开学考试）“云南十八怪”描述的是由云南独特的地理位置、民风民俗所产生
的一些特有的现象或生活方式，是云南多元民族文化的写照.“云南十八怪”中有一怪“摘下草帽当锅盖”
所指的锅盖是用秸秆或山茅草编织成的，因其形状酷似草帽而传为佳话.一种草帽锅盖呈圆锥形，其母线长
为6dm，侧面积为 ，若此圆锥的顶点和底面圆都在同一个球面上，则该球体的表面积等于
______ .
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为 ，由 ，解得 ，
如图 ，设外接球的球心为 半径为 ，
由 圆 得 ，即 ，解得 ，
由 得 ，
所以该球体的表面积等于 .
故答案为： .
【淘宝店铺：向阳百分百】48．（2023·云南师大附中高三阶段练习）已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台的下底面，
圆台的上底面圆周在半球面上，且上底面圆半径为3，若半球的体积为 ，则圆台的体积为
___________.
【答案】
【解析】设半球半径为 ，圆台上底面圆半径为 ，圆台的高为 .
所以，作出轴截面，如图，
因为半球的体积为 ，所以 ，解得 ，
由题意知 ，代入解得 ，
所以，圆台体积 .
故答案为：
49．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表
面积为______．
【答案】
【解析】如图所示，
【淘宝店铺：向阳百分百】设外接球半径为r，球心到上底的距离为h，则球心到下底的距离为
则有 ， ，解得 ， ．所以外接球的表面积为 ．
故答案为：
13 锥体内切球
50．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1， ，将 沿AC翻折，当三
棱锥 表面积最大时，其内切球表面积为 .
【答案】
【解析】因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直
三棱锥 中，面 与面 的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面 与面
最大即可，而且 ；
，当 时， 取得最大值.
过点 向平面 作垂线，设 的中点为 垂足为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ，所以由余弦定理知 ，
所以 ，易得 .
所以 .
因为 ，
设内切球的半径为 ，则根据等体积法，有：
，
即 ，解之得 ，
所以其内切球的表面积为
故答案为：
51．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知圆锥的顶点为 ，轴截面为锐角 ， ，则当
时，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值最大，最大值为 ．
【答案】 / /
【解析】如下图所示：
不妨设 ， ， 为线段 的中点，
【淘宝店铺：向阳百分百】连接 ，圆锥的内切球球心为 ，半径为 ；外接球球心为 ，半径为 .
圆锥的内切球与外接球的表面积之比为 ，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ， ，
即 ，所以， ，
所以，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
所以，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值的最大值为 .
故答案为： ； .
52．（2023·江西抚州·高三临川一中校考期末）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公
路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更
是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和
正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则
模型中九个球的表面积和为 .
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】如图所示正四面体 ，记棱长为 ，高为 ， 为正四面体 内切球的球心，延长
交底面 于 ， 是等边三角形 的中心，过 作 交 于 ，连接 ，
则 为正四面体 内切球的半径，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
由图可知最大球内切于高 的正四面体中，最大球半径 ，
中等球内切于高 的正四面体中，中等球半径 ，
最小求内切于高 的正四面体中，最小球半径 ，
所以九个球的表面积之和 ，
故答案为：
【淘宝店铺：向阳百分百】53．（2023·山西长治·高三统考期末）如图，正四棱台 的上､下底面边长分别为2，
分别为 的中点，8个顶点 构成的十面体恰有内切球，则
该内切球的表面积为 .
【答案】
【解析】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，如图所示：
，可得
故
故答案为： ．
14 棱切球
54．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱 的各棱长均为 ，以A为球心的球与棱
相切，则球A于正三棱柱 内的部分的体积为 .
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】如图，
正三棱柱 的各棱长均为 ，
以A为球心与棱 相切的球的半径为 ，
则以平面 为截面的上半球的体积为 .
又 ，
球A位于正三棱柱 内的部分的体积为 .
故答案为： .
55．（2023·河南商丘·高三商丘市第一高级中学校考期中）已知正三棱锥
，球O与三棱锥 的所有棱相切，则球O的表面积为 ．
【答案】 /
【解析】取等边△ABC的中心E，连接SE，则SE⊥平面ABC，
连接AE并延长，交BC于点D，则D为BC中点，且AD⊥BC，
在SE上找到棱切球的球心O，连接OD，则OD即为棱切球的半径，
过点O作OF⊥SA于点F，则OF也是棱切球的半径，设 ，
因为 ，所以求得 ，
由勾股定理得： ，且∠ASE=30°，设OE=h，
【淘宝店铺：向阳百分百】，SO=3-h， ，
由题意得： ，解得： 或 ，
当 时， ，此时球O的表面积为 ；
当棱切球的半径最大时，切点为A，B，C，由于∠ASE=30°， ，
可求得最大半径 ，
而当 时， ，
显然不成立，故 舍去，
综上：球O的表面积为
故答案为：
56．（2023·全国·统考模拟预测）已知三棱锥A﹣BCD所有棱长都相等，球 与它的六条棱都相切，球
与它的四个面都相切，则球 与球 的表面积之比为 ．
【答案】3
【解析】显然此三棱锥为正四面体，如图1
【淘宝店铺：向阳百分百】取 中点 ，连结 ，由 ，所以 ，同理：
则可知 为球 的一条直径，连结 ，
设正四面体棱长为2，则 ，
所以 ，所以 ，球 半径 ．
如图2
过点 作 平面 ，垂足为 ，显然 为 的重心，
连结 并延长交 于 ，则 为 的中点， ，
所以 ，
所以 ，
由 ．
得 ，所以
【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：3
57．（2023·山东·高三校联考阶段练习）与棱长为 的正方体所有棱都相切的球的体积为 ．
【答案】
【解析】与正方体所有棱都相切的球的球心为正方体的体对角线的交点，
半径为面对角线的一半，因为正方体的棱长为
所以正方体的面对角线长为
，则球的半径为
所以球的体积为
故答案为：
58．（2023·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）在正三棱锥 中， ， ，
若球O与三棱锥 的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图示：
取 的中心E，连接PE，则 平面ABC，且与棱均相切的球的球心O在PE上.
连接AE并延长交BC于D，则D为BC的中点， ，连接OD.
因为 平面ABC，所有 .
因为 平面 ， 平面 ， ，所有 平面 .
因为 平面 ，所有
.过O作 ，交PA于点F.
球O的半径为r，则 .
【淘宝店铺：向阳百分百】由题意： 为正三角形，因为 ，所以 ， ，
.
因为 ， ，所以 ，所以 .
设 ，所以 ，因为 ，所以 ，解得: ，所以
，故球O的表面积为 ．
故答案为：
59．（2023·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）在正三棱锥 中， ，
若球 与三棱锥 的六条棱均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取 的中心 ，连接 ，
则 平面 ，且与棱均相切的球的球心 在 上，
连接 并延长交 于 ，则 为 的中点， ，
连接 ，易证 ，
过 作 ，交 于点 ，
设球 的半径为 ，则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由题意易求得 ，
由勾股定理得 ，
在 中， ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，从而 ，所以 ，
所以 ，
故球 的表面积为 .
【淘宝店铺：向阳百分百】
