文档内容
专题 13 双曲线
目录一览
2023真题展现
考向一 双曲线的离心率
真题考查解读
近年真题对比
考向一 双曲线的渐近线方程
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 双曲线的离心率
x2 y2
1．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C： - =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F ，F ．点
a2 b2 1 2
→ → → 2 →
A在C上，点B在y轴上，F A⊥F B，F A=- F B，则C的离心率为 ．
1 1 2 3 2
【命题意图】
考查双曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与双曲线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析
问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．
【考查要点】
双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．
【得分要点】
一、双曲线的定义
把平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F F |)的点的轨迹叫做双曲线．这
1 2 1 2
两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
注：1、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合: .常数要小于两个定点的距离．
2、对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF |－|MF ||＝2a＞|F F |时，M的轨迹不存在．
1 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)当||MF |－|MF ||＝2a＝|F F |时，M的轨迹是分别以F ，F 为端点的两条射线．
1 2 1 2 1 2
(3)当||MF |－|MF ||＝0，即|MF |＝|MF |时，M的轨迹是线段F F 的垂直平分线．
1 2 1 2 1 2
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于
与 的大小.
①若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支;
②若 ,则 ,点 的轨迹是靠近定点 的那一支.
二、双曲线的方程及简单几何性质
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
焦点 F ( － c , 0) ， F ( c , 0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 | F F | ＝ 2 c
1 2
范围 x ≤ － a 或 x ≥ a ，y∈ y ≤ － a 或 y ≥ a ，x∈
性质
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A ( － a , 0) ， A ( a , 0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
实轴：线段A A ，长：；
1 2
轴 虚轴：线段B B ，长：；
1 2
半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e＝∈ (1 ，＋ ∞ )
渐近线 y＝±x y＝±x
三、双曲线的焦点三角形
双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义
和正弦定理、余弦定理．
x2 y2
− =1(a>0,b>0)
a2 b2
以双曲线 上一点P(x ，y)(y≠0)和焦点F (－c,0)，F (c,0)为顶点的△PF F
0 0 0 1 2 1 2
中，若∠F PF ＝θ，则
1 2
||PF|−|PF ||=2a
(1)双曲线的定义： 1 2
|F F | 2
(2)余弦定理： 1 2 ＝|PF |2＋|PF |2－2|PF ||PF |·cos θ.
1 2 1 2
(3)面积公式：S ＝|PF ||PF |·sin θ，
△PF1F2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】b2
θ
tan
2
重要结论：S =
△PF1F2
推导过程：由余弦定理得|FF|2=|PF |2＋|PF |2－2|PF ||PF |·cos θ得
1 2 1 2 1 2
由三角形的面积公式可得
S =
△PF1F2
=
四、直线与双曲线的位置关系
1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察
方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．
2、弦长公式
直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于 ， 两点，则
（ 为直线斜率）
a=±1
3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 、 两点，则弦长 .
考向一 双曲线的渐近线方程
2．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为 ．
查考近几年真题推测以小题出现，常规题，难度中等．双曲线的定义、方程、性质是高考常考内容，
一．双曲线的标准方程（共5小题）
1．（2023•郑州模拟）已知双曲线 （a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
（ ）
A．x±y＝0 B． C． D．2x±y＝0
2．（2023•宝山区校级模拟）若双曲线经过点 ，且渐近线方程是 ，则这条双曲线的方
程是 ．
3．（2023•通州区模拟）双曲线 的焦点坐标为（ ）
A．（±1，0） B．（± ，0） C．（± ，0） D．（± ，0）
4．（2023•西山区校级模拟）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．2
5．（2023•青羊区校级模拟）已知双曲线 的右焦点为F，O为坐标原点，
以 OF 为直径的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于点 O 及点 ，则双曲线 C 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
二．双曲线的性质（共33小题）
6．（2023•天山区校级模拟）已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F 、F ，过F 且垂
1 2 2
直于x轴的直线与双曲线交于 A、B两点，若△F AB为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2023•朝阳区一模）过双曲线 的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为
A．若∠AFO＝2∠AOF（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D． 或2
8．（2023•博白县模拟）已知F ，F 分别是双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为
1 2
双曲线右支上一点，若∠F PF ＝60°， ＝ ac，则双曲线的离心率为（ ）
1 2
A． B． C． D．2
9．（2023•郑州模拟）点（4，0）到双曲线Γ： 的一条渐近线的距离为 ，
则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．5
10．（2023•武鸣区校级二模）双曲线x2﹣ ＝1的焦点坐标为（ ）
A．（±1，0） B．（0，± ） C．（± ，0） D．（0，±1）
11．（2023•河南模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为F ，F ，P是双
1 2
曲线C的一条渐近线上的点，且线段PF 的中点M在另一条渐近线上．若∠PF F ＝45°，则双曲线C的
1 2 1
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
12．（2023•源汇区校级模拟）已知F 、F 分别为双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为
1 2
双曲线右支上任意一点，若 的最小值为2c，c＝ ，则该双曲线的离心率是（ ）
A．3 B．4 C． D．
13．（2023•四川模拟）已知双曲线C：x2﹣ ＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线
C上，过点B作x轴的垂线BM，交PA于点M．若∠PAB＝∠PBM，则双曲线C的离心率为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C．2 D．3
14．（2023•贺兰县校级模拟）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．从双曲线右
焦点F 发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点 F .已知双曲
2 1
线的方程为x2﹣y2＝1，则当入射光线F P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），∠F F P的
2 1 2
余弦值大小为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023•海淀区校级模拟）若双曲线 的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截
得的弦长为 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023•广西模拟）双曲线C： （a＞0，b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于
y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
17．（2023•未央区模拟）设O为坐标原点，F ，F 是双曲线C： 的左、右焦
1 2
点，已知双曲线C的离心率为 ，过F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，则 ＝（ ）
2
A． B．2 C． D．
18．（2023•贵阳模拟）已知双曲线C：mx2﹣ny2＝1（m＞0，n＞0）的离心率为 ，虚轴长为4，则C
的方程为（ ）
A．3x2﹣4y2＝1 B．
C． D．
19．（2023•郑州模拟）已知双曲线 的左焦点为F，过原点O的直线与C交于点A，B，若|
OF|＝|OA|，则|AF||BF|＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】20．（2023•蕉城区校级二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为F 、F ，
1 2
过 F 的直线 l 交双曲线的右支于 A、B 两点．点 M 满足 ，且 ，者
2
，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023•凉山州模拟）已知以直线y＝±2x为渐近线的双曲线，经过直线x+y﹣3＝0与直线2x﹣y+6＝0
的交点，则双曲线的实轴长为（ ）
A．6 B． C． D．8
22．（2023•滨海新区校级三模）点F是抛物线x2＝8y的焦点，A为双曲线C： 的左顶点，直线
AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
23．（2023•恩施市校级模拟）已知F ，F 分别为双曲线C： 的左右焦点，且F 到渐
1 2 1
近线的距离为1，过F 的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且l⊥AF ，则下列说法正
2 1
确的为（ ）
A．△AF F 的面积为2 B．双曲线C的离心率为
1 2
C． D．
24．（2023•郑州模拟）已知F ，F 分别是双曲线Γ： 的左、右焦点，过F
1 2 1
的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， ，BF 平分∠F BC，则双曲线
2 1
Γ的离心率为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F ，
1
F ，过双曲线C上一点P向y轴作垂线，垂足为Q，若|PQ|＝|F F |且PF 与QF 垂直，则双曲线C的离
2 1 2 1 2
心率为（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】26．（2023•林芝市二模）已知双曲线 的左、右焦点分别是F ，F ，双曲
1 2
线C上有两点 A，B满足 ，且 ，若四边形 F AF B的周长l与面积S满足
1 2
，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 的左、右
焦点分别为F ，F ，过F 的直线与双曲线C的右支相交于点P，过点O，F 作ON⊥PF ，F M⊥PF ，
1 2 1 2 1 2 1
垂足分别为N，M，且M为线段PN的中点，|ON|＝a，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
28．（2023•长沙模拟）已知双曲线4x2﹣ ＝1的左、右焦点分别为F ，F ，点M是双曲线右支上一点，
1 2
满足 • ＝0，点N是线段F F 上一点，满足 ＝ ．现将△MF F 沿MN折成直二面角
1 2 1 2
F 1 ﹣MN﹣F 2 ，若使折叠后点F 1 ，F 2 距离最小，则 ＝（ λ ）
λ
A． B． C． D．
29．（2023•濠江区校级模拟）已知双曲线 的右焦点为F，过点F且斜率为k
（k≠0）的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D．若 ，则双
曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．（2023•洛阳模拟）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F （﹣c，0），
1
F （c，0），过点F 的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点
2 1
B，且|F F |＝2|OB|（O为坐标原点）．下列四个结论正确的是（ ）
1 2
① ；
②若 ，则双曲线C的离心率 ；
③|BF |﹣|BF |＞2a；
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】④ ．
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
31．（2023•江西二模）已知双曲线E： ，其左右顶点分别为A ，A ，P在双曲线右支上运动，
1 2
若∠A PA 的角平分线交x轴于D点，A 关于PD的对称点为A ，若仅存在2个P使直线A D与E仅有
1 2 2 3 3
一个交点，则E离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．（2，+∞）
32．（2023•江西模拟）双曲线 的左焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，
若过A，B和点 的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．±1 D．
33．（多选）（2023•宜章县模拟）已知F ，F 分别为双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦
1 2
点，P为双曲线C的渐近线在第一象限部分上的一点，线段PF 与双曲线交点为Q，且|F P|＝|F F |＝2|
2 1 1 2
PF |，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
2
A．|OP|＝2a
B．双曲线C的离心率e＝
C．|QF |＝ a
1
D．若△QF F 的内心的横坐标为3，则双曲线C的方程为 ＝1
1 2
34．（2023•万州区校级模拟）已知F ，F 为双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F
1 2 1
作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P，直线PF 与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF ，
2 1
如图，若△PQF 内切圆圆心恰好落在以F F 为直径的圆上，则∠F PF ＝ ；双曲线的离心率e
1 1 2 1 2
＝ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】35．（2023•淮北一模）已知双曲线 C： 过点 ，则其方程为
，设F ，F 分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过F 的直线与双曲线C的右支交于A，B两点
1 2 2
（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF F ，△BF F 的内心，则|ME|﹣|NE|的取值范围是
1 2 1 2
．
36．（多选）（2023•芜湖模拟）双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，
反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知 O为坐标原点，F ，F 分别是双曲线C：
1 2
的左右焦点，过F 的直线交双曲线C的右支于M，N两点，且M（x ，y ）在第一象限，
2 1 1
△MF F ，△NF F 的内心分别为I ，I ，其内切圆半径分别为r ，r ，△MF N的内心为I．双曲线C在
1 2 1 2 1 2 1 2 1
M处的切线方程为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．点I 、I 均在直线x＝3上
1 2
B．直线MI的方程为
C．
D．
37．（多选）（2023•广东模拟）双曲线 的左右焦点分别为F ，F ，P为双曲线右支上异于顶
1 2
点的一点，△PF F 的内切圆记为圆I，圆I的半径为r，过F 作PI的垂线，交PI的延长线于Q，则（
1 2 1
）
A．动点I的轨迹方程为x＝4（y≠0）
B．r的取值范围为（0，3）
C．若r＝1，则tan∠F PF ＝
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．动点Q的轨迹方程为x2+y2＝16（x≠4且x＞﹣ ）
38．（2023•赤峰模拟）初中时代我们就说反比例函数 的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系
可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把 的图象顺时针旋转 可以得到双曲线 ．已
知函数 ，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
三．直线与双曲线的综合（共22小题）
39．（2023•射洪市校级模拟）已知双曲线 的右焦点为F，点A（0，m），若直线AF与C
只有一个交点，则m＝（ ）
A．±2 B． C． D．±4
40．（2023•赤峰三模）2022年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线．
定义：在平面直角坐标系xOy中，把到定点F （﹣a，0）F （a，0）的距离之积等于a2（a＞0）的点的
1 2
轨迹称为双纽线C．已知P（x ，y ）是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（ ）
0 0
A．双纽线C关于原点O成中心对称
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．
C．双曲线C上满足|PF |＝|PF |的点P有两个
1 2
D．|OP|的最大值为
41．（2023•淮北二模）已知A（﹣2，0），B（2，0），过P（0，﹣1）斜率为k的直线上存在不同的两
个点M，N满足： ．则k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
42．（2023•河南模拟）设双曲线 的左、右焦点分别为F ，F ，B为双曲
1 2
线E上在第一象限内的点，线段F B与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且F M⊥AB，若
1 2
∠AF F ＝30°，则双曲线E的离心率为（ ）
1 2
A． B．2 C． D．
43．（2023•天津模拟）双曲线 的左右焦点分别是F ，F ，离心率为e，过点
1 2
F 的直线交双曲线的左支于M，N两点．若△MF N是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于（
1 2
）
A． B． C． D．
44．（2023•让胡路区校级模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为F ，
1
F ，过F 的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF 的中点，且BF ⊥BF ，则C的
2 1 1 1 2
离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
45．（2023•江西模拟）已知双曲线C： ＝1，若直线l：y＝kx+t（kt≠0）与双曲线C交于不同的两
点P，Q，且P，Q与M（0，1）构成的三角形中有∠MPQ＝∠MQP，则t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
46．（2023•咸阳一模）直线l过双曲线C： ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，与双曲线C的两条渐
近线分别交于A，B两点，O为原点，且 • ＝0，3 ＝ ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
47．（2023•包河区校级模拟）设点F为双曲线 的左焦点，经过原点O且斜率 的
直线与双曲线C交于A、B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q．若OP⊥OQ，则双曲线C的离心率e
的取值范围是 ．
48．（2023•宜宾模拟）已知双曲线C： 的左，右焦点分别为F ，F ，离心率
1 2
为 ，过F 作渐近线 的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若 ，则
2
△ABF 的周长为 ．
1
49．（2023•山东模拟）过双曲线x2﹣y2＝1的左、右焦点作两条相互平行的弦AB，CD，其中A，B在双曲
线的左支上，A，C在x轴上方，则|AF
1
|⋅|CF
2
|的最小值为 ，当AB的倾斜角为 时，四边形
AF F C的面积为 ．
1 2
50．（2023•黄石模拟）三等分角是古希腊三大几何难题之一．公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双
曲线解决了三等分角问题如图，已知圆心角ACB是待三等分的角（0＜∠ACB＜ ）具体操作方法如下：
在弦AB上取一点D，满足AD＝2DB，以AD为实轴， 为虚轴作双曲线，交π 圆弧AB于点M，则
∠ACM＝2∠MCB，即CM为∠ACB的三等分线已知双曲线E的方程为 ，点A，D分别为双
曲线E的左，右顶点，点B为其右焦点，点C为双曲线E的右准线上一点，且不在x轴上，线段CB交
双曲线E于点P若扇形CMB的面积为 ，则 的值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】51．（2023•九江模拟）过点A（0，1）作斜率为k的直线l交双曲线 于P ，P 两点，线段P P
1 2 1 2
的中点在直线 上，则实数k的值为 ．
52．（2023•嘉定区模拟）定义两个点集S、T之间的距离集为d（S，T）＝{|PQ||P S，Q T}，其中|PQ|表
示 两 点 P 、 Q 之 间 的 距 离 ， 已 知 k 、 t R ， S ＝ { （ x ， y ） |y ＝ kx+t ， x R} ，
∈ ∈
，若d（S，T）∈＝（1，+∞），则t的值为 ． ∈
53．（2023•思明区校级模拟）设F为双曲线E： ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为双曲
线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线
l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则 的最大值为 ．
54．（多选）（2023•广州二模）已知双曲线Γ：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左，右焦点分别为F ，F ，过F 的
1 2 2
直线l与双曲线Γ的右支交于点B，C，与双曲线Γ的渐近线交于点A，D（A，B在第一象限，C，D在
第四象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若BC⊥x轴，则△BCF 的周长为6a
1
B．若直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则BC∥EF
1
C．△AOD面积的最小值为4a2
D．|AB|+|BF |的取值范围为（3a，+∞）
1
55．（2023•海珠区校级三模）在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足 ＝ ，当
＞0且 ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆
λ λ
λ
为阿波罗尼斯圆．现有双曲线 ＝1（a＞0，b＞0），F ，F 分别为双曲线的左、右焦点，A，B
1 2
为双曲线虚轴的上、下端点，动点P满足 ＝2，△PAB面积的最大值为4．点S，T在双曲线上，
且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线QS和QT的斜率满足k •k ＝3，则双曲线方程是
QS QT
；过F 的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点M、N分别为△CF F 、
2 1 2
△DF F 的内心，则|MN|的范围是 ．
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】56．（2023•贵州模拟）已知双曲线E的焦点为F （﹣1，0），F （1，0），过F 的直线l 与E的左支相
1 2 1 1
交于A，B两点，过F 的直线l 与E的右支相交于C，D两点，若四边形ABCD为平行四边形，以AD
2 2
为直径的圆过F ，|DF |＝|AF |，则E的方程为（ ）
1 1 1
A．2x2﹣2y2＝1 B．
C． D．
57．（2023•江西模拟）已知F双曲线 的右焦点，A ，A 分别是双曲线C
1 2
的左右顶点，过F作双曲线渐近线的垂线与该渐近线在第一象限的交点为M，直线A M交C的右支于
1
点P，若|MP|＝|MA |，且 ，则C的离心率为（ ）
2
A． B． C．2 D．
58．（2023•福建模拟）双曲线 的下焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若过A，
B和点 的圆的圆心在x轴上，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C．±1 D．
59．（多选）（2023•合肥模拟）如图，O为坐标原点，F ，F 分别为双曲线 的左
1 2
右焦点，过双曲线C右支上一点P作双曲线的切线l分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点D，则下
列结论正确的是（ ）
A．|AB| ＝2b
min
B．S△AOB ＝2S△AOP
C．S△AOB ＝2b
D．若存在点P，使得 ，且 ，则双曲线C的离心率为2或
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】60．（多选）（2023•南通模拟）已知F ，F 是双曲线 的左、右焦点，
1 2
是C上一点，若C的离心率为 ，连结AF 交C于点B，则（ ）
2
A．C的方程为
B．∠F AF ＝90°
1 2
C．△F AF 的周长为
1 2
D．△ABF 的内切圆半径为
1
双曲线常用结论：
(1)如图：①动点P到同侧焦点F的距离最小值为：|PF| ＝|AF|＝c－a ；
2 2 最小 2 2
②焦点到渐近线的距离为：|FM|＝b；
2
(2)渐近线求法结论：可直接令方程－＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；
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