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专题强化四 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
目标要求 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.2.会分析平衡中的临界与极值问题．
题型一 动态平衡问题
1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平
衡状态．
2．做题流程
受力分析――――――→画不同状态平衡图构造矢量三角形―――――→
3．三力平衡、合力与分力关系
如图，F 、F 、F 共点平衡，三力的合力为零，则F 、F 的合力F′与F 等大反向，F 、
1 2 3 1 2 3 3 1
F、F′构成矢量三角形，即F′为F、F 的合力，也可以将F、F、F 直接构成封闭三角
2 3 3 1 2 1 2 3
形．
考向1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下
的直角三角形，比较力的大小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系．
基本矢量图，如图所示
例1 (多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体 A，A
的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，
球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F，A对B的支持力
1为F，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F、F 的变化情况分别是( )
2 1 2
A．F 减小 B．F 增大
1 1
C．F 增大 D．F 减小
2 2
答案 AD
解析 以球B为研究对象，受力分析如图所示，可得出F＝Gtan θ，F＝，当A向右移动少
1 2
许后，θ减小，则F 减小，F 减小，故A、D正确．
1 2
2．一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角
形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现．
基本矢量图，如图所示
作与F 等大反向的力F′，F、F 合力等于F′，F、F、F′构成矢量三角形．
1 1 2 3 1 2 3 1
例2 (多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间
均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
答案 BC
解析 对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力F 和挡板的弹力F ，如图，
N1 N2
当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件
得知，F 和F 的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力
N1 N2
分析图，由图看出，斜面对小球的支持力F 逐渐减小，挡板对小球的弹力F 先减小后增
N1 N2
大，当F 和F 垂直时，弹力F 最小，故选项B、C正确，A、D错误．
N1 N2 N2动态分析常用方法
1．解析法：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得
到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量
的变化．
2．图解法：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情
况．
考向2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1．一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向
等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边相
比相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：＝＝
例3 如图所示为一简易起重装置，(不计一切阻力)AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为
质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，
并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上．开始时，杆 BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使
∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°.在此过程中，杆BC所产生的弹力( )A．大小不变 B．逐渐增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案 A
解析 以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、
F 的合力F 与G大小相等、方向相反．
N 合
根据三角形相似得＝＝
又F ＝G得F＝ G，F ＝ G
合 N
∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC不变，则F变小，F 不变，故杆BC所产
N
生的弹力大小不变，故选A.
2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，
利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据
不同位置判断各力的大小变化．
基本矢量图，如图所示
例4 (多选)(2017·全国卷Ⅰ·21)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重
物，用手拉住绳的另一端 N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为
α(α＞)．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程
中( )
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大D．OM上的张力先增大后减小
答案 AD
解析 以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F 、MN上拉力F ，由
2 1
题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F 、F 的夹角为π－α不变，在F
1 2 2
转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F 逐渐增大，
1
OM上的张力F 先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误．
2
考向3 “活结”的动态分析
如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsin θ ＝Fsin θ ，故
1 2
θ＝θ＝θ，根据几何关系可知，sin θ＝＝，若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结点，θ
1 2 3
不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2F cos θ＝mg，F ＝也减小．
T T
例5 如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光
滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向
C点靠近(C点与A点等高)．则在此过程中绳中拉力大小( )
A．先变大后不变 B．先变大后变小
C．先变小后不变 D．先变小后变大
答案 A
解析 对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F＝F，由几何
1 2
关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，可知：F＝F＝①
1 2
如图乙所示，设绳长为L，由几何关系
即sin θ＝②
其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大
后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确．
题型二 平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出
现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见
的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力F ＝0.
N
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临
界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向
极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画
出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用
平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
例6 (2020·山东卷·8)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为 m和
2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平
行．A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板
与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为( )A. B. C. D.
答案 C
解析 A、B刚要滑动时受力平衡，受力如图所示．
对A：F ＝mgsin 45°＋μmgcos 45°
T
对B：2mgsin 45°＝F ＋3μmgcos 45°＋μmgcos 45°
T
整理得，μ＝，选项C正确．
例7 (2022·安徽和县第一中学高三开学考试)质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持
静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．如果用与木楔斜面成 α
角的力F拉着木块匀速上升，如图所示．已知重力加速度为g，木楔在整个过程中始终静止．
(1)木块与木楔斜面间的动摩擦因数μ；
(2)当α和θ满足何种关系时，拉力F有最小值，并求此最小值；
(3)当F取最小值时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
答案 (1)tan θ (2)α＝θ时，F有最小值，为mgsin 2θ (3)mgsin 4θ
解析 (1)木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin θ＝μmgcos θ
解得μ＝tan θ
(2)木楔在力F作用下沿斜面向上匀速运动，有Fcos α＝mgsin θ＋F，Fsin α＋F ＝mgcos θ
f N
F＝μF
f N
解得F＝＝＝
则当α＝θ时，F有最小值F ＝mgsin 2θ
min
(3)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，
即F＝Fcos(α＋θ)
f
当F取最小值mgsin 2θ时，F＝F cos 2θ＝mgsin 2θcos 2θ＝mgsin 4θ.
f min
课时精练
1.如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切．穿在轨
道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的
弹力为F .在运动过程中( )
N
A．F增大，F 增大
N
B．F减小，F 减小
N
C．F增大，F 减小
N
D．F减小，F 增大
N
答案 C
解析 对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示：
根据共点力平衡条件有：
F ＝mgcos θ，
N
F＝mgsin θ，
其中θ为支持力F 与竖直方向的夹角，当小球向上移动时，θ变大，故F 减小，F增大，
N N
故选C.
2.如图所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有
一光滑小金属环．现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对 M、N两点
的拉力F、F 的变化情况，下列判断正确的是( )
1 2
A．F 和F 都变大
1 2B．F 变大，F 变小
1 2
C．F 和F 都变小
1 2
D．F 变小，F 变大
1 2
答案 C
解析 由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力相等．木棒绕其左端逆时针缓慢转
动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力等于小金属环的重力，保持不
变，所以绳子上的拉力变小，选项C正确，A、B、D错误．
3.(多选)(2019·全国卷Ⅰ·19)如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑
轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止
状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°.已知M始终
保持静止，则在此过程中( )
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
答案 BD
解析 对N进行受力分析如图所示，因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力F 是
T
一对平衡力，从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A
错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若m g≥m gsin
N M
θ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若m gF，故A、D错误，B、C正确．
T1 T2 2 1
5.如图所示，质量分别为3m和m的两个可视为质点的小球a、b，中间用一细线连接，并通
过另一细线将小球a与天花板上的O点相连，为使小球a和小球b均处于静止状态，且Oa
细线向右偏离竖直方向的夹角恒为 37°，需要对小球b朝某一方向施加一拉力F.若已知sin
37°＝0.6，cos 37°＝0.8.重力加速度为g，则当F的大小达到最小时，Oa细线对小球a的拉
力大小为( )
A．2.4mg B．3mg
C．3.2mg D．4mg
答案 C
解析 以两个小球组成的整体为研究对象，作出F在三个方向时整体的受力图．根据平衡
条件得知F与F 的合力与总重力总是大小相等、方向相反的，由力的合成图可以知道当F
T
与绳子Oa垂直时F有最小值，即图中2位置，此时Oa细线对小球a的拉力大小为F ＝
T
4mgcos 37°＝3.2mg，故C正确，A、B、D错误．6.(多选)如图所示，倾角为α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a放在斜劈的斜面上，轻
质细线一端固定在物体a上，另一端绕过光滑的定滑轮1固定在c点，滑轮2下悬挂物体
b，系统处于静止状态．若将固定点c向右移动少许，而物体a与斜劈始终静止，则( )
A．细线对物体a的拉力增大
B．斜劈对地面的压力减小
C．斜劈对物体a的摩擦力减小
D．地面对斜劈的摩擦力增大
答案 AD
解析 对滑轮2和物体b受力分析，受重力和两个拉力作用，如图甲所示．根据平衡条件有
mg＝2F cos θ，解得F ＝，若将固定点c向右移动少许，则θ增大，拉力F 增大，A项正
b T T T
确；对斜劈、物体a、物体b整体受力分析，受重力、细线的拉力、地面的静摩擦力和支持
力作用，如图乙所示，根据平衡条件有F ＝G －F cos θ＝G －，恒定不变，根据牛顿第
N 总 T 总
三定律可知，斜劈对地面的压力不变，B项错误；地面对斜劈的静摩擦力F＝F sin θ＝tan
f T
θ，随着θ的增大，摩擦力增大，D项正确；对物体a受力分析，受重力、支持力、拉力和
静摩擦力作用，由于不知道拉力与重力沿斜面向下的分力的大小关系，故无法判断斜劈对物
体a的静摩擦力的方向，即不能判断静摩擦力的变化情况，C项错误．
7.(2022·陕西西安中学模拟预测)如图所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，
放置于斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行．现
给小滑块施加一个竖直向上的拉力，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜
劈，则有( )A．小球对斜劈的压力保持不变
B．轻绳对小球的拉力先减小后增大
C．竖直杆对小滑块的弹力先增大再减小
D．对小滑块施加的竖直向上的拉力逐渐增大
答案 D
解析 对小球受力分析，受重力、支持力和细线的拉力，如图所示
根据平衡条件可知，细线的拉力F 增大，支持力F 减小，根据牛顿第三定律，球对斜劈的
T N
压力也减小，故A、B错误；对球和滑块整体分析，受重力、斜面的支持力 F ，杆的支持
N
力F ′，拉力F，如图所示
N
根据平衡条件，水平方向有F ′＝F sin θ，竖直方向有F＋F cos θ＝G，由于F 减小，故
N N N N
F ′减小，F增大，故C错误，D正确．
N
8.(2021·湖南卷·5)质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A
为半圆的最低点，B为半圆水平直径的端点．凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的
小滑块．用推力F推动小滑块由A点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，
在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是( )
A．推力F先增大后减小
B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大
C．墙面对凹槽的压力先增大后减小
D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大答案 C
解析 对滑块受力分析，由平衡条件有F＝mgsin θ，
F ＝mgcos θ，θ为F与水平方向的夹角，
N
滑块从A缓慢移动到B点时，θ越来越大，则推力F越来越大，支持力F 越来越小，所以
N
A、B错误；
对凹槽与滑块整体受力分析，墙面对凹槽的压力为
F ′＝Fcos θ＝mgsin θcos θ＝mgsin 2θ，
N
则θ越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，所以C正确；
水平地面对凹槽的支持力为
F ＝(M＋m)g－Fsin θ＝(M＋m)g－mgsin2θ
N地
则θ越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，所以D错误．
9.如图，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，
此时A恰好不滑动，B刚好不下滑，已知A与B间的动摩擦因数为μ ，A与地面间的动摩擦
1
因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A与B的质量之比为( )
2
A. B.
C. D.
答案 B
解析 对A、B整体分析，受重力、支持力、推力和最大静摩擦力，根据平衡条件，有：
F＝μ(m＋m)g ①
2 1 2
再对滑块B分析，受推力、重力、向左的支持力和向上的最大静摩擦力，根据平衡条件，
有：
水平方向：F＝F
N
竖直方向：mg＝F
2 f
其中：F＝μF
f 1 N
联立有：mg＝μF ②
2 1
联立①②解得：＝
故选B.
10．(多选)如图所示，某工厂将圆柱形工件a放在倾角为θ的斜面上，为防止工件滚动，在
其下方垫一段半径与a相同的半圆柱体b.若逐渐减小斜面倾角，a、b始终处于静止状态，
不计a与接触面的摩擦，b的质量很小．则( )A．斜面对a的弹力变大
B．斜面对a的弹力先变大后变小
C．b对a的弹力逐渐变小
D．b对a的弹力不变
答案 AC
解析 对a进行受力分析，如图甲所示
根据平衡，斜面对a的弹力F 、b对a弹力F 的合力与a的重力等大反向，则在斜面倾角逐
1 2
渐减小过程中，斜面对a的弹力F 和b对a的弹力F 的变化过程如乙图所示分析可得，斜
1 2
面对a的弹力F 变大，b对a的弹力F 逐渐变小．故选A、C.
1 2
