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专题强化四 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
目标要求 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.2.会分析平衡中的临界与极值问
题．
题型一 动态平衡问题
1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平
衡状态．
2．常用方法
(1)解析法
对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自
变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化．
(2)图解法
此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．一般按照
以下流程分析：
―――――――→―――――――→
(3)相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何
关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例
求解(构建三角形时可能需要画辅助线)．
图解法
例1 (多选)如图1所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板
间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
图1
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
答案 BC解析 对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力F 和挡板的弹力F ，如图，
N1 N2
当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件
得知，F 和F 的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力
N1 N2
分析图，由图看出，斜面对小球的支持力F 逐渐减小，挡板对小球的弹力F 先减小后增
N1 N2
大，当F 和F 垂直时，弹力F 最小，故选项B、C正确，A、D错误．
N1 N2 N2
解析法
例2 如图2所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质
光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地
向C点靠近(C点与A点等高)．则在此过程中绳中拉力大小( )
图2
A．先变大后不变 B．先变大后变小
C．先变小后不变 D．先变小后变大
答案 A
解析 对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F＝F，由几何
1 2
关系易知绳子拉力与竖直方向夹角相等，设为θ，可知：
F＝F＝①
1 2
如图乙所示，设绳长为L，由几何关系＋＝L，
即sin θ＝＝②
其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大
后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确．
相似三角形法
例3 (2020·山西大同市开学考试)如图3所示，AC是上端带光滑轻质定滑轮的固定竖
直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重力为G的物体，且
B端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，
直到∠BCA＝30°.此过程中，轻杆BC所受的力( )
图3
A．逐渐减小 B．逐渐增大
C．大小不变 D．先减小后增大
答案 C
解析 以结点B为研究对象，分析受力情况，如图所示，根据平衡条件可知，F、F 的合力
N
F 与G大小相等、方向相反．根据相似三角形得＝，且 F ＝G，则有F ＝G，现使∠BCA
合 合 N
缓慢变小的过程中，AC、BC不变，即F 不变，则轻杆BC所受的力大小不变，C正确，
N
A、B、D错误．
1.(单个物体的动态平衡问题)(多选)(2020·广东惠州一中质检)如图4所示，在粗糙水平地面上
放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光
滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F ，A对B的支持力为F ，若把A向右移动少许后，它们仍
1 2
处于静止状态，则F、F 的变化情况分别是( )
1 2
图4
A．F 减小 B．F 增大
1 1
C．F 增大 D．F 减小
2 2
答案 AD
解析 法一：解析法
以球B为研究对象，受力分析如图甲所示，可得出F＝Gtan θ，F＝，当A向右移动少许后，
1 2
θ减小，则F 减小，F 减小，故A、D正确．
1 2
法二：图解法
先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图乙所示的矢量三角形，在θ角减小的过程中，从
图中可直观地看出，F、F 都减小，故A、D正确．
1 2
2．(多个物体的动态平衡问题) (多选)(2019·全国卷Ⅰ·19)如图5所示，一粗糙斜面固定在地
面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块 N，另一端与斜面上
的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动 N，直至悬挂N的细绳
与竖直方向成45°.已知M始终保持静止，则在此过程中( )
图5
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
答案 BD
解析 对N进行受力分析如图所示，因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力F 是
T
一对平衡力，从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A
错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若m g≥m gsin
N Mθ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若m gF，故A、D错误，B、C正确．
T1 T2 2 1
3．(多选)(2016·全国卷Ⅰ·19)如图3，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨
过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉
b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静
止，则( )
图3
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案 BD
解析 由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力F ′＝
T
mg，所以物块a受到的绳的拉力保持不变．滑轮两侧绳的拉力大小相等，所以 b受到绳的
a
拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以
OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示．由平衡条件得：F cos β＋
T
F＝Fcos α，Fsin α＋F ＋F sin β＝mg.其中F 和mg始终不变，当F大小在一定范围内变
f N T b T b
化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正
确．4.(2020·安徽黄山市高三期末)如图4所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不
可伸长的柔软轻绳，绳上套有一光滑小金属环．现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角
度，则关于轻绳对M、N两点的拉力F、F 的变化情况，下列判断正确的是( )
1 2
图4
A．F 和F 都变大
1 2
B．F 变大，F 变小
1 2
C．F 和F 都变小
1 2
D．F 变小，F 变大
1 2
答案 C
解析 由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力相等．木棒绕其左端逆时针缓慢转
动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力等于重力，保持不变，所以绳
子上的拉力变小，选项C正确，A、B、D错误．
5.(2020·广东高三模拟)如图5所示，竖直墙上连有细绳AB，轻弹簧的一端与B相连，另一
端固定在墙上的C点．细绳BD与弹簧拴接在B点，现给BD一水平向左的拉力F，使弹簧
处于伸长状态，且AB、CB与墙的夹角均为45°.若保持B点不动，将BD绳绕B点沿顺时针
方向缓慢转动，则在转动过程中BD绳的拉力F的变化情况是( )
图5
A．变小 B．变大
C．先变小后变大 D．先变大后变小
答案 A
解析 要保持B点的位置不变，BD绳顺时针转动的角度最大为45°，由于B点的位置不变，
因此弹簧的弹力不变，由图解可知，AB绳的拉力减小，BD绳的拉力也减小，故A正确，
B、C、D错误．
6．(2020·河南信阳市高三上学期期末)如图6所示，足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接，平板AP与水平面成53°角固定不动，平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m的
均匀圆柱体O放在两板间，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度为g.在使BP板由水平位
置缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是( )
图6
A．平板AP受到的压力先减小后增大
B．平板AP受到的压力先增大后减小
C．平板BP受到的最小压力为0.6mg
D．平板BP受到的最大压力为mg
答案 D
解析 圆柱体受重力、斜面AP的弹力F 和挡板BP的弹力F，将F 与F 合成为F＝mg，如
1 2 1 2
图
圆柱体一直处于平衡状态，故F 和F 的合力F一定与重力等值、反向、共线．从图中可以
1 2
看出，当挡板PB由水平位置缓慢地转向竖直位置的过程中，F 越来越大，F 先变小后变大，
1 2
选项A、B错误；由几何关系可知，当F 的方向与AP的方向平行(即与F 的方向垂直)时，
2 1
F 有最小值：F ＝mgsin 53°＝0.8mg，选项C错误；当挡板BP竖直时，F 最大，为：F
2 2min 2 2max
＝mg·tan 53°＝mg，选项D正确．
7. (2020·黑龙江哈尔滨市三中高三模拟)如图7所示，斜面固定，平行于斜面处于压缩状态的
轻弹簧一端连接物块A，另一端固定，最初A静止．在A上施加与斜面成30°角的恒力F，A
仍静止，下列说法正确的是( )
图7
A．A对斜面的压力一定变小
B．A对斜面的压力可能不变
C．A对斜面的摩擦力一定变大
D．A对斜面的摩擦力可能变为零答案 D
解析 设斜面倾角为θ，对物块进行受力分析，垂直于斜面方向，最初支持力等于mgcos
θ，施加恒力F后，支持力等于mgcos θ＋Fsin 30°，支持力一定增大．根据牛顿第三定律，
A对斜面的压力一定变大，故A、B错误；平行于斜面处于压缩状态的轻弹簧，最初摩擦力
方向可能向上，可能向下，也可能为 0，施加恒力F后，F沿斜面向上的分力为Fcos 30°，
由于F大小未知，摩擦力可能仍向上，可能等于0，也可能沿斜面向下，摩擦力的大小可能
增大，也可能减小，故C错误，D正确．
8．(多选)如图8所示，倾角为α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a放在斜劈的斜面上，
轻质细线一端固定在物体a上，另一端绕过光滑的定滑轮1固定在c点，滑轮2下悬挂物体
b，系统处于静止状态．若将固定点c向右移动少许，而物体a与斜劈始终静止，则( )
图8
A．细线对物体a的拉力增大
B．斜劈对地面的压力减小
C．斜劈对物体a的摩擦力减小
D．地面对斜劈的摩擦力增大
答案 AD
解析 对滑轮2和物体b受力分析，受重力和两个拉力作用，如图甲所示．根据平衡条件有
mg＝2F cos θ，解得F ＝，若将固定点c向右移动少许，则θ增大，拉力F 增大，A项正
b T T T
确；对斜劈、物体a、物体b整体受力分析，受重力、细线的拉力、地面的静摩擦力和支持
力作用，如图乙所示，根据平衡条件有F ＝G －F cos θ＝G －，恒定不变，根据牛顿第
N 总 T 总
三定律可知，斜劈对地面的压力不变，B项错误；地面对斜劈的静摩擦力F＝F sin θ＝tan
f T
θ，随着θ的增大，摩擦力增大，D项正确；对物体a受力分析，受重力、支持力、拉力和
静摩擦力作用，由于不知道拉力与重力沿斜面向下的分力的大小关系，故无法判断斜劈对物
体a的静摩擦力的方向，即不能判断静摩擦力的变化情况，C项错误．
9.(2020·广东茂名市测试)如图9所示，质量分别为3m和m的两个可视为质点的小球a、b，中间用一细线连接，并通过另一细线将小球a与天花板上的O点相连，为使小球a和小球b
均处于静止状态，且Oa细线向右偏离竖直方向的夹角恒为37°，需要对小球b朝某一方向
施加一拉力F.若已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.重力加速度为g，则当F的大小达到最小时，
Oa细线对小球a的拉力大小为( )
图9
A．2.4mg B．3mg
C．3.2mg D．4mg
答案 C
解析 以两个小球组成的整体为研究对象，作出F在三个方向时整体的受力图．根据平衡
条件得知F与F 的合力与总重力总是大小相等、方向相反的，由力的合成图可以知道当F
T
与绳子Oa垂直时F有最小值，即图中2位置，此时Oa细线对小球a的拉力大小为F ＝
T
4mgcos 37°＝3.2mg，故C正确，A、B、D错误．
10.(八省联考·重庆·7)如图10所示，垂直墙角有一个截面为半圆的光滑柱体，用细线拉住的
小球静止靠在接近半圆底端的M点．通过细线将小球从M点缓慢向上拉至半圆最高点的过
程中，细线始终保持在小球处与半圆相切．下列说法正确的是( )
图10
A．细线对小球的拉力先增大后减小
B．小球对柱体的压力先减小后增大
C．柱体受到水平地面的支持力逐渐减小
D．柱体对竖直墙面的压力先增大后减小
答案 D
解析 以小球为对象，设小球所在位置沿切线方向与竖直方向夹角为 θ，沿切线方向有F ＝
T
mgcos θ，沿半径方向有F ＝mgsin θ，通过细线将小球从M点缓慢向上拉至半圆最高点的
N
过程中θ增大，所以细线对小球的拉力减小，小球对柱体的压力增大，故 A、B错误；以柱
体为对象，竖直方向有F ＝Mg＋F sin θ＝Mg＋mgsin2θ，水平方向有F ＝F cos θ＝mgsin
地 N 墙 Nθcos θ＝mgsin 2θ，θ增大，柱体受到水平地面的支持力逐渐增大；柱体对竖直墙面的压力
先增大后减小，当θ＝45°时柱体对竖直墙面的压力最大，故D正确，C错误．
11．(多选)如图11所示装置，两根细绳拴住一小球，保持两细绳间的夹角θ＝120°不变，若
把整个装置顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力F、CB绳的拉力F 的大小
1 2
变化情况是( )
图11
A．F 先变小后变大 B．F 先变大后变小
1 1
C．F 一直变小 D．F 最终变为零
2 2
答案 BCD
解析 如图所示，画出小球的受力分析图，构建力的矢量三角形，由于这个三角形中重力不
变，另两个力间的夹角(180°－θ)保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，作初始三
角形的外接圆(任意两边的中垂线交点即外接圆圆心)，然后让另两个力的交点在圆周上按
F 、F 的方向变化规律滑动，力的矢量三角形的外接圆正好是以初态时的 F 为直径的圆周，
1 2 2
知F 先变大后变小，F 一直变小，最终CA沿竖直方向，此时F ＝mg，F 变为零，故选
1 2 1 2
B、C、D.
12.倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间
的动摩擦因数μ＝0.5.现给A施加一水平力F，如图12所示．设最大静摩擦力与滑动摩擦力
相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不
可能是( )
图12
A．3 B．2
C．1 D．0.5
答案 A
解析 设物体刚好不下滑时F＝F ，则Fcos θ＋μF ＝Gsin θ，F ＝Fsin θ＋Gcos θ，得＝
1 1 N N 1＝；设物体刚好不上滑时F＝F ，则Fcos θ＝μF ＋Gsin θ，F ＝Fsin θ＋Gcos θ，得＝＝
2 2 N N 2
2，即≤≤2，故F与G的比值不可能为3，故选A.
13.(2020·山西“六校”高三联考)跨过定滑轮的轻绳两端分别系着物体A和物体B，物体A
放在倾角为θ的斜面上，与A相连的轻绳和斜面平行，如图13所示．已知物体A的质量为
m，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ(μ
