文档内容
第 4 课时 专题强化：动态平衡和临界、极值问题
目标要求 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问
题。
考点一 动态平衡问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状
态。常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。
1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
(1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下
的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。
(2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定
力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。
例1 (多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间
均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
2．“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平
行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相
等。
基本矢量图，如图所示基本关系式：＝＝。
例2 如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻
杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨
过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，
直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力( )
A．大小不变 B．逐渐增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题
利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持
圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。
例3 (多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另
一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右
上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
分析动态平衡问题的流程受力分析―――――――→画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形―――――――→
考点二 平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出
现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见
的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。
(3)刚好离开接触面，支持力F ＝0。
N
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临
界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向
极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画
出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用
平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
例4 (2023·河南洛阳市期末)如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾
角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为( )
A. B. C. D.
例5 如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，
向右以v ＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝
0
10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用
“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉
力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合
力F′代替支持力与摩擦力，F ＝mgsin θ，其中F 与F 的合力F′方向一定，“摩擦
min N f
角”θ满足tan θ＝。
