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难点 04 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
一、动态平衡问题
1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态．
2．做题流程
受力分析――――――→画不同状态平衡图构造矢量三角形―――――→
3．三力平衡、合力与分力关系
如图，F、F、F 共点平衡，三力的合力为零，则F、F 的合力F′与F 等大反向，F、F、F′构成矢量三
1 2 3 1 2 3 3 1 2 3
角形，即F′为F、F 的合力，也可以将F、F、F 直接构成封闭三角形．
3 1 2 1 2 3
动态分析常用方法：
1．解析法：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自
变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化．
2．图解法：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．
（一）“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，比
较力的大小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系．
基本矢量图，如图所示
【例1】(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体 A，A的左端紧靠竖
直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整
个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F ，A对B的支持力为F ，若把A向右移动少许后，它们仍
1 2处于静止状态，则F、F 的变化情况分别是( )
1 2
A．F 减小 B．F 增大
1 1
C．F 增大 D．F 减小
2 2
2．一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小
的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现．
基本矢量图，如图所示
作与F 等大反向的力F′，F、F 合力等于F′，F、F、F′构成矢量三角形．
1 1 2 3 1 2 3 1
【例2】(多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当
挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
（二）“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1．一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力
构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边相比相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：＝＝
【例3】如图所示为一简易起重装置，(不计一切阻力)AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻
杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在
卷扬机上．开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°.在此过程中，杆BC所产生的弹力( )
A．大小不变 B．逐渐增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角
不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变
化．
基本矢量图，如图所示
【例4】(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始
时 ， OM 竖 直 且 MN 被 拉 直 ， OM 与 MN 之 间 的 夹 角 为
α(α＞)．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
（三）“活结”的动态分析
如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsin θ ＝Fsin θ ，故θ ＝θ ＝θ ，根
1 2 1 2 3
据几何关系可知，sin θ＝＝，若两杆间距离d不变，则上下移动悬线结点，θ不变，若两杆距离d减小，
则θ减小，2F cos θ＝mg，F ＝也减小．
T T【例5】如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一
重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)．
则在此过程中绳中拉力大小( )
A．先变大后不变 B．先变大后变小
C．先变小后不变 D．先变小后变大
二、平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不
出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力F ＝0.
N
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变
化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，
用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则
进行动态分析，确定最大值与最小值．
【例6】如图所示，光滑球体B放在粗糙水平地面上，半球体A与球B恰好相切，B球右侧有光滑的竖直
墙壁，两球半径相等，现用水平向右的推力F推半球体A，使其缓慢移动，直到球体B恰好运动到半球体
A的顶端，在推动过程中，下面说法正确的是（ ）A．推力F不断增大
B．地面对A球的摩擦力不变
C．B球对A球的弹力不变
D．竖直墙壁对B的弹力不断增大
【例7】如图所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光
滑水平面上，用水平力F推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高。当线拉力最小时，推
力F等于（ ）
A．mgsinα B． mgsinα
C．mgsin2α D． mgsin2α
【例8】某同学在家卫生大扫除中用拖把拖地，沿推杆方向对拖把施加推力 ，如图所示，此时推力与水
平方向的夹角为 ，且拖把刚好做匀速直线运动，则（ ）
A．拖把所受地面的摩擦力为
B．地面对拖把的作用力方向与水平向左的夹角大于
C．从某时刻开始保持力 的大小不变，减小 与水平方向的夹角 ，地面对拖把的支持力 变大
D．同学对推杆的作用力与推杆对拖把的作用力是一对作用力与反作用力
一、单选题
1．（2022·浙江·丽水第二高级中学高三阶段练习）某研究小组利用所学物理知识，研究篮球鞋的防滑性能。同学将球鞋置于斜面上，逐渐增大斜面与水平面之间夹角，当夹角等于37°时，篮球鞋恰好开始滑动，设
篮球鞋滑动摩擦力等于其最大静摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．需测量篮球鞋质量后，才能求得篮球鞋与斜面间动摩擦因数
B．鞋子与斜面间动摩擦因数为0.6
C．人穿上鞋子踩在相同材料板上时，压力增大，动摩擦因数也会变大
D．篮球鞋开始滑动前，摩擦力随夹角增大而变大
2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）某同学探究细线能承受的最大拉力。如图所示，他将质量为
的物体用轻质光滑挂钩挂在细线上，用双手捏取细线两端并靠近水平刻度尺，沿刻度尺缓慢增大细线两端
的距离，当细线两端位于图示位置时 ，细线恰好被拉断。则细线能承受的最大拉力约为
（ ）（g取 ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西吕梁·三模）如图所示，四根等长的细绳一端分别系于水桶上关于桶面圆心对称的两点，另
一端被两人用同样大小的力 、 提起，使桶在空中处于静止状态，其中 、 与细绳之间的夹角均为 ，
相邻两细绳之间的夹角均为 ，不计绳的质量，下列说法正确的是（ ）A．保持 角不变，逐渐缓慢增大 角，则桶所受合力逐渐增大
B．保持 角不变，逐渐缓慢增大 角，则细绳上的拉力逐渐增大
C．若仅使细绳长变长，则细绳上的拉力变大
D．若仅使细绳长变长，则 变大
4．（2022·上海嘉定·二模）如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细
绳将书本静止悬挂，现将两环距离变大后书本仍处于静止状态，若杆对A环的支持力为F ，杆对A环的
N
摩擦力为F，则（ ）
f
A．F 减小，F不变 B．F 减小，F增大
N f N f
C．F 不变，F不变 D．F 不变，F增大
N f N f
5．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测）如图所示，木块 、 和沙桶 通过不可伸长的轻质细绳和轻
质光滑滑轮连接，处于静止状态。其中 细绳的 端与滑轮的转轴连接， 端固定于天花板上。现向沙
桶 内加入少量沙子后，系统再次处于平衡状态。下列关于各物理量变化的说法，正确的是
（ ）
A．斜面对木块 的摩擦力增大
B．细绳对沙桶 的拉力不变
C．地面对斜面体的支持力增大
D． 绳与竖直方向的夹角增大
6．（2021·江苏盐城·高三期中）如图所示，甲、乙两个小球，通过细线悬挂在天花板上的O点，质量分别
为m、m，两个小球在弧形轻质细杆支撑下恰好位于同一水平线上，细线与竖直方向成53°和37°，则
1 2m∶m 为（ ）
1 2
A．9∶16 B．16∶9
C．3∶4 D．4∶3
7．（2022·重庆·西南大学附中高三阶段练习）如图a所示，工人用推车运送石球，到达目的地后，缓慢抬
起把手将石球倒出（图b）．若石球与板 、 之间的摩擦不计， ，图a中 与水平面的
夹角为 ，则在抬起把手使 变得水平的过程中，石球对 板的压力 、对 板的压力 的大小变
化情况是（ ）
A． 变小、 先变大后变小 B． 变小、 变大
C． 变大、 变小 D． 变大、 先变小后变大
8．（2022·湖南·常德市一中模拟预测）如图所示，半圆形框架竖直放置在粗糙的水平地面上，光滑的小球
P在水平外力F的作用下处于静止状态，P与圆心O的连线与水平面的夹角为θ，将力F在竖直面内沿顺
时针方向缓慢地转过90°，框架与小球始终保持静止状态．在此过程中下列说法正确的是（ ）
A．地面对框架的摩擦力始终为零
B．框架对小球的支持力先减小后增大C．拉力F的最小值为mgcosθ
D．框架对地面的压力先增大后减小
9．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，两根完全相同的劲度系数为20N/cm的轻质弹簧上端分别固定
在水平天花板上，下端与一轻质小圆环相连。a、b两根不可伸长的轻质细绳均系在圆环上。现手持细绳
a、b的另一端，使a绳水平，b绳与a绳成120°夹角。两弹簧形变量均为2cm，且夹角为60°。现保持a、
b绳夹角不变，逆时针缓慢转动70°，在转动过程中圆环静止不动且弹簧与细绳始终在同一竖直平面内。则
在a、b绳转动的过程中（ ）
A．a绳上的作用力先增大后减小
B．b绳上的作用力先减小后增大
C．a绳上作用力的最大值为80 N
D．b绳上作用力的最小值为40N
二、多选题
10．（2020·宁夏·银川一中高三阶段练习）如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于
斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定的范围，已知其最大值和最小值分别为 和
（ 和 的方向均沿斜面向上）。斜面的倾角为θ，由此可求出物块与斜面间的最大静摩擦力F和物体的
f
质量m为（ ）
A． B．C． D．
11．（2020·湖南·长郡中学高三开学考试）如图所示，一根不可伸长的长为L的轻绳两端分别固定在间距
为d的两竖直杆的P点和Q点上，晾衣架上挂着湿衣服，衣架上的钩挂在轻绳上可来回自由滑动。若忽略
衣架挂钩与轻绳间的摩擦，则下列说法正确的是（ ）
A．在湿衣服上的水滴下落过程中，轻绳中的张力不断减小
B．衣服不滴水时，将P点稍向上移动，则轻绳中的张力增大
C．衣服不滴水时，将左侧竖直杆稍向左移动，则轻绳中的张力减小
D．衣服不滴水时，刮起了向左的风，若风力大小恒定，此时再将P点稍向上移动，轻绳中的张力将增大
12．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R的半圆轨道，其两端点M、N
连线水平。将一轻质小环A套在轨道上，一细线穿过轻环，一端系在M点，另一端系一质量为m的小球，
小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．细线对M点的拉力大小为 mg
B．轨道对轻环的支持力大小为 mg
C．细线对轻环的作用力大小为mg
D．图示位置时MA＝ R
13．（2022·海南·昌江黎族自治县矿区中学模拟预测）如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻
环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态，现将两环距离变小后书本仍处于静止状态，则（
）A．杆对A环的支持力不变 B．B环对杆的摩擦力变小
C．杆对A环的力不变 D．与B环相连的细绳对书本的拉力变大
14．（2022·广西柳州·模拟预测）如图，带有光滑竖直杆的斜面固定在水平地面上，放置于斜面上的光滑
小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜而平行，现给小滑块施加一竖直向上的拉力，
使小滑块沿杆缓慢上升，小球始终未脱离斜面，在此过程中（ ）
A．轻绳对小球的拉力逐渐增大
B．斜面对小球的支持力先增大后减小
C．竖直杆对小滑块的弹力先增大后减小
D．对小滑块施加的竖直向上的拉力逐渐增大
三、解答题
15．（2021·全国·高三专题练习）质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木
块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示
（已知木楔在整个过程中始终静止，重力加速度为g）。
（1）当α变化时，求拉力F的最小值；
（2）F取最小值时，求木楔对水平面的摩擦力是多少。
16．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）如图所示，在一倾角为30°固定斜面上放一个质量为m=2kg的小物块A，一轻绳跨过两个轻滑轮一端固定于天花板上，一端连接在物块上，且物块上端轻绳与
1
斜面平行，动滑轮下方悬挂质量为m= kg的重物B，整个装置处于静止状态。已知跨过动滑轮的轻绳
2
夹角为60°，物块与斜面的动摩擦因数 ，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
g=10m/s2。求：
（1）斜面上物块所受的静摩擦力大小？
（2）若要使斜面上的物块不滑动，动滑轮下悬挂重物的质量应该满足什么条件？
17．（2022·全国·高三专题练习）质量为M的木楔倾角为θ（θ<45°），在水平面上保持静止，当将一质量
为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。当用与木楔斜面成α角的力F拉木块，木块匀速上升，
如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止）。
（1）当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值；
（2）求在（1）的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少。
18．（2021·天津河西·高三期中）图甲中滑索巧妙地利用了景区的自然落差，为滑行提供了原动力。游客
借助绳套保护，在高空领略祖国大好河山的壮美。其装置简化如图乙所示，倾角为 的轨道上套一个质
量为m的滑轮P，质量为3m的绳套和滑轮之间用不可伸长的轻绳相连。某次检修时，工人对绳套施加一
个拉力F，使绳套从滑轮正下方的A点缓慢移动，运动过程中F与轻绳的夹角始终保持 ，直到轻绳水平，绳套到达B点，如图所示。整个过程滑轮保持静止，重力加速度为g，求：
(1)绳套到达B点时，轨道对滑轮的摩擦力大小和弹力大小；
(2)绳套从A缓慢移动到B的过程中，轻绳上拉力的最大值。
19．（2023·山东·模拟预测）如图所示，两个半圆柱A、B相接触并静置于水平地面上，其上有一光滑圆
柱C，三者半径均为R。C的质量为2m，A、B的质量都为m，与地面间的动摩擦因数均为μ。现用水平向
右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，重力加速度为g。求：
（1）未拉A时，C受到B作用力的大小F；
（2）动摩擦因数的最小值 。
20．（2021·全国·高三专题练习）轻绳AB一段固定于A点，另一端自由。在绳中某处O点打结系另一轻
绳OC，下挂一质量为m的物体。现保持O点的位置不变，在OB段由水平方向缓慢转到竖直方向的过程
中，拉力F和绳OA的张力变化？
