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专题 29 机械振动
1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图像.
2.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式.
3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件．
考点一 简谐运动的规律
1．简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡
位置，质点的运动就是简谐运动．
2．平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置．
3．回复力
(1)定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力．
(2)方向：总是指向平衡位置．
(3)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力．对简谐运动的理解
受力特点 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增
运动特点
大，v减小
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能
能量
守恒
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝
OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
对称性 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即t ＝t
PO OP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即t ＝t
OP PO
(4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速
度、加速度大小相等，方向相反
【典例1】（2022·上海·模拟预测）做简谐运动的弹簧振子，其加速度a随位移x变化的规律应是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据
F=-kx
则振子的加速度故B错误；
C．同一列波中，所有质点只在自身平衡位置附近振动，并不随波向前传播，故C错误；
D．根据质点振动方向和传播方向的关系——上下坡法，由于质点 向下运动可知，波正向 轴正方向传
播，经很短时间后，波形图如虚线所示，故D正确。
故选D。
考点二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
1．简谐运动的表达式
x＝Asin_(ωt＋φ)，ωt＋φ 为相位，φ 为初相位，ω为圆频率，ω＝.
0 0 0
2．简谐运动的振动图像
表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线．
甲：x＝Asin t
乙：x＝Asin (t＋)．
从图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)．
0
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和
方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
【典例3】（2022·辽宁·三模）水平弹簧振子在做简谐运动过程中的位移（ ）随时间（ ）变化的关系如
图所示，则下列说法正确的是（ ）A．振子在 末的速度为0
B．振子在 和 时的回复力大小相等，方向相反
C．振子在 和 时的速度大小相等，方向相反
D．振子在 内通过的路程为
【答案】D
【解析】A．在 末振子在平衡位置，速度最大，选项A错误；
B．振子在 和 时所处的位置相同，回复力大小相等、方向相同，选项B错误；
C．振子在 和 时所处的位置关于平衡位置对称，且均沿 轴负方向运动，选项C错误；
D．振子在 内通过的路程为 ，选项D正确。
故选D。
【典例4】（2022·全国·高三专题练习）如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在C、D两点之间做
简谐运动，O点为平衡位置。振子到达D点时开始计时，以竖直向上为正方向，一个周期内的振动图像如
图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．振子在O点受到的弹簧弹力等于零
B．振子在C点和D点的回复力相同
C．t=0.3s时，振子的速度方向为竖直向上
D．t=0.75s到t=1.25s的时间内，振子通过的路程为 cm
【答案】C
【解析】A．振子在O点受到的合力等于零，弹簧弹力与其自身重力平衡。故A错误；
B．由简谐运动的对称性可知，振子在C点和D点的回复力大小相同，方向相反。故B错误；C．由乙图可知，t=0.3s时，振子由D点向O点运动，其速度方向为竖直向上。故C正确；
D．由乙图可知，t=0.75s到t=1.25s的时间内，振子通过的路程为
故D错误。
故选C。
考点三 单摆及其周期公式
1．定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以
忽略，这样的装置叫作单摆．(如图)
2．视为简谐运动的条件：θ<5°.
3．回复力：F＝mgsin θ.
4．周期公式：T＝2π.
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离．
(2)g为当地重力加速度．
5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和摆球质量无关．
单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F ＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F 与位移x
回 回
的方向相反，故单摆做简谐运动．
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F －mgcos θ＝m.
T
①当摆球在最高点时，v＝0，F ＝mgcos θ.
T
②当摆球在最低点时，F 最大，F ＝mg＋m.
T T
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为g ；单摆处在电梯中处于超重、失重状态时，重力加速度为等效重
月
力加速度．【典例5】（2022·北京·和平街第一中学模拟预测）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与
驱动力频率f的关系）如图所示，则（ ）
A．此单摆的固有周期约为0.5s B．此单摆的摆长约为1m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
【答案】B
【解析】A．由共振曲线可知，此单摆的固有频率约为
所以，固有周期约为
故A错误；
B．根据单摆周期公式
得
故B正确；
CD．根据单摆周期公式得，若摆长增大，则单摆的固有周期增大，所以固有频率减小，共振曲线的峰将向
左移动，故CD错误。
故选B。
【典例6】（2022·上海·模拟预测）一根轻绳一端系一小球，另一端固定在 点，在 点有一个能测量绳的
拉力大小的力传感器，让小球绕 点在竖直平面内做简谐振动（类似单摆的运动），由传感器测出拉力随时间 的变化图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．小球振动的周期为 B．小球动能变化的周期为
C．小球速度变化的周期为 D．小球重力势能变化的周期为
【答案】B
【解析】A．因为在最低点时，传感器拉力最大，最高点时，传感器拉力最小，由图像可知，t=0时刻小球
处在最低点，t=2s时小球再次处于最低点，所以小球振动周期为4s，故A错误；
BD．由于动能、重力势能均是标量，故单摆一个周期内它们发生了两个周期，即小球动能变化的周期和重
力势能变化的周期均为 ，故B正确，D错误；
C．由于速度是矢量，所以单摆振动一个周期小球速度变化了一个周期，故小球速度变化的周期为4s，故
C错误。
故选B。
考点四 受迫振动和共振
1．受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动．
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关．
2．共振
(1)概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大的现象．
(2)共振的条件：驱动力的频率等于固有频率．
(3)共振的特征：共振时振幅最大．
(4)共振曲线(如图所示)．
f＝f 时，A＝A ，f与f 差别越大，物体做受迫振动的振幅越小．
0 m 0简谐运动、受迫振动和共振的比较
振动
简谐运动 受迫振动 共振
项目
受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
由驱动力的周期或频
振动周期或 由系统本身性质决定，即
率决定，即T＝T 或f T ＝T 或f ＝f
驱 驱 0 驱 0
频率 固有周期T 或固有频率f
0 0
＝f
驱
由产生驱动力的物体 振动物体获得的能量
振动能量 振动系统的机械能不变
提供 最大
机械工作时底座发生 共振筛、声音的共鸣
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°)
的振动 等
【典例7】（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱
带动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下面连接一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中，
当小球振动稳定时（ ）
A．小球振动的频率与圆盘转速无关
B．小球振动的振幅与圆盘转速无关
C．圆盘的转速越大，小球振动的频率越大
D．圆盘的转速越大，小球振动的振幅越大
【答案】C
【解析】AC．小球振动的频率与圆盘转速有关，小球做受迫振动，小球振动频率等于圆盘转动的频率，圆
盘的转速越大，小球振动的频率越大，A错误，C正确；
BD．小球振动的振幅与圆盘转速有关，圆盘转动的频率越接近小球和弹簧组成的系统的固有频率，小球的
振幅越大，BD错误。
故选C。【典例8】（2022·江苏省如东高级中学高三阶段练习）如图甲为一波源的共振曲线，图乙表示该波源在共
振状态下的振动形式沿x轴正方向传播过程中形成的机械波在 时刻的波形曲线，P是平衡位置在
处的质点，Q是平衡位置在 处的质点，则下列说法正确的是（ ）
A．图甲中，若驱动力周期变大，共振曲线的峰将向频率f小的方向移动
B．在 时，质点P的加速度方向与y轴正方向相同
C．质点Q的振动方程为
D．从 到 ，质点P通过的路程为
【答案】B
【解析】A．当驱动力频率等于物体的固有频率时产生共振，振幅最大，驱动力周期变大时，物体的固有
频率不变，则振动曲线的峰不变，A错误；
B．由图乙可得波长λ＝8m，由图甲可得周期T＝2s故波速
根据波沿x轴正方向传播可得t＝0s时，质点P的位移为正，正沿y轴负方向运动，故经过 且
t＝2.5s时，质点P的位移为负，远离平衡位置沿y轴负方向运动，故加速度方向与y轴正方向相同，B正
确；
C．设Q质点的振动方程为
t＝0s时Q位于平衡位置并沿y轴正方向运动，故φ＝0
0
分别代入数据可得
C错误；D．从t＝1s到t＝2.5s，即 时质点P通过的路程大于3A＝30cm，D错误。
故选B。
一、单选题
1．（2022·上海交大附中模拟预测）如图所示，两单摆的摆长相同，平衡时两摆球刚好接触。现将摆球A
在两摆线所在的平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后两摆球分开各自作简谐振动，以m 、m 分别表
A B
示摆球的质量，则（ ）
A．当m >m 时，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
A B
B．当m 6m，求：
（1）求波的速度v；
（2）设P点距离b点2m，且在a、b之间，则从t=0 时刻开始，P点经过2秒通过路程是多少?
【答案】（1）20m/s；（2）26cm【解析】（1）由题意可知，波从a到b传播，则有
（n=0，1，2，3，4⋯）
因λ>6m，则有
n=0
由波速公式可知波速为
（2）a点的振动方程为
可得
对于P点，比a点推迟振动t，则有
1
则有
当t=0时
xp=2cm
当t=2s时
xp=−4cm
可得P点在2s内运动的路程
sP=4×4cm+10cm=26cm
20．（2022·北京·人大附中三模）将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲中O点
为单摆的固定悬点，现将质量 的小摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于伸直状态，释
放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，
（ 小于 且是未知量）。由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的
曲线如图乙所示，且图中 时刻为摆球从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中所给的信息，（g取 ），求：
（1）单摆的振动周期和摆长；
（2）摆球运动到最低点时的速度大小；
（3）图乙中细线拉力最小值为多少。
【答案】（1）T=0.4πs；L=0.4m（2）0.089m/s；（3）0.495N
【解析】（1）由F-t图可得
T=0.4πs
由
得
L=0.4m
（2）由F-t图可得，摆球运动到最低点时细线的拉力
F =0.510N
max
此时有
F -mg=m
max
解得
v=0.089m/s
（3）A→B机械能守恒F =mgcos
min
解得
F =0.495N
min
