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专题 29 机械振动
1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图像.
2.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式.
3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件．
考点一 简谐运动的规律
1．简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡
位置，质点的运动就是简谐运动．
2．平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置．
3．回复力
(1)定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力．
(2)方向：总是指向平衡位置．
(3)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力．对简谐运动的理解
受力特点 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增
运动特点
大，v减小
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能
能量
守恒
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝
OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
对称性 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即t ＝t
PO OP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即t ＝t
OP PO
(4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速
度、加速度大小相等，方向相反
【典例1】（2022·上海·模拟预测）做简谐运动的弹簧振子，其加速度a随位移x变化的规律应是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）下列四幅图中关于机械振动和机械波的说法正确的是（
）A．粗糙斜面上的金属球m在弹簧的作用下运动，该运动是简谐运动
B．单摆的摆长为l，摆球的质量为m、位移为x，此时回复力为
C．质点A、C的传播速度不同
D．实线为某时刻的波形图，此时质点M向下运动，经极短时间后波形图如虚线所示
考点二 简谐运动的表达式和图像的理解和应用
1．简谐运动的表达式
x＝Asin_(ωt＋φ)，ωt＋φ 为相位，φ 为初相位，ω为圆频率，ω＝.
0 0 0
2．简谐运动的振动图像
表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线．
甲：x＝Asin t
乙：x＝Asin (t＋)．
从图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)．
0
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和
方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．【典例3】（2022·辽宁·三模）水平弹簧振子在做简谐运动过程中的位移（ ）随时间（ ）变化的关系如
图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．振子在 末的速度为0
B．振子在 和 时的回复力大小相等，方向相反
C．振子在 和 时的速度大小相等，方向相反
D．振子在 内通过的路程为
【典例4】（2022·全国·高三专题练习）如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在C、D两点之间做
简谐运动，O点为平衡位置。振子到达D点时开始计时，以竖直向上为正方向，一个周期内的振动图像如
图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．振子在O点受到的弹簧弹力等于零
B．振子在C点和D点的回复力相同
C．t=0.3s时，振子的速度方向为竖直向上
D．t=0.75s到t=1.25s的时间内，振子通过的路程为 cm
考点三 单摆及其周期公式
1．定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以
忽略，这样的装置叫作单摆．(如图)2．视为简谐运动的条件：θ<5°.
3．回复力：F＝mgsin θ.
4．周期公式：T＝2π.
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离．
(2)g为当地重力加速度．
5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和摆球质量无关．
单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F ＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F 与位移x
回 回
的方向相反，故单摆做简谐运动．
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F －mgcos θ＝m.
T
①当摆球在最高点时，v＝0，F ＝mgcos θ.
T
②当摆球在最低点时，F 最大，F ＝mg＋m.
T T
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为g ；单摆处在电梯中处于超重、失重状态时，重力加速度为等效重
月
力加速度．
【典例5】（2022·北京·和平街第一中学模拟预测）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与
驱动力频率f的关系）如图所示，则（ ）
A．此单摆的固有周期约为0.5s B．此单摆的摆长约为1mC．若摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
【典例6】（2022·上海·模拟预测）一根轻绳一端系一小球，另一端固定在 点，在 点有一个能测量绳的
拉力大小的力传感器，让小球绕 点在竖直平面内做简谐振动（类似单摆的运动），由传感器测出拉力
随时间 的变化图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．小球振动的周期为 B．小球动能变化的周期为
C．小球速度变化的周期为 D．小球重力势能变化的周期为
考点四 受迫振动和共振
1．受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动．
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关．
2．共振
(1)概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大的现象．
(2)共振的条件：驱动力的频率等于固有频率．
(3)共振的特征：共振时振幅最大．
(4)共振曲线(如图所示)．
f＝f 时，A＝A ，f与f 差别越大，物体做受迫振动的振幅越小．
0 m 0
简谐运动、受迫振动和共振的比较
振动
简谐运动 受迫振动 共振
项目
受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期或 由系统本身性质决定，即 由驱动力的周期或频
T ＝T 或f ＝f
驱 0 驱 0
频率 固有周期T 0 或固有频率f 0 率决定，即T＝T 驱 或f＝f
驱
由产生驱动力的物体 振动物体获得的能量
振动能量 振动系统的机械能不变
提供 最大
机械工作时底座发生 共振筛、声音的共鸣
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°)
的振动 等
【典例7】（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱
带动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下面连接一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中，
当小球振动稳定时（ ）
A．小球振动的频率与圆盘转速无关
B．小球振动的振幅与圆盘转速无关
C．圆盘的转速越大，小球振动的频率越大
D．圆盘的转速越大，小球振动的振幅越大
【典例8】（2022·江苏省如东高级中学高三阶段练习）如图甲为一波源的共振曲线，图乙表示该波源在共
振状态下的振动形式沿x轴正方向传播过程中形成的机械波在 时刻的波形曲线，P是平衡位置在
处的质点，Q是平衡位置在 处的质点，则下列说法正确的是（ ）
A．图甲中，若驱动力周期变大，共振曲线的峰将向频率f小的方向移动
B．在 时，质点P的加速度方向与y轴正方向相同
C．质点Q的振动方程为
D．从 到 ，质点P通过的路程为一、单选题
1．（2022·上海交大附中模拟预测）如图所示，两单摆的摆长相同，平衡时两摆球刚好接触。现将摆球A
在两摆线所在的平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后两摆球分开各自作简谐振动，以m 、m 分别表
A B
示摆球的质量，则（ ）
A．当m >m 时，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
A B
B．当m <m 时，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
A B
C．只有当m ＝m 时，下一次碰撞才发生在平衡位置
A B
D．无论两球的质量关系如何，下一次碰撞一定还发生在平衡位置
2．（2022·上海嘉定·二模）如图所示，物体放在做简谐运动的振动平台上，并随平台上下振动而不脱离平
台台面。若以向上的位移为正，物体的振动图像如图所示，在图像上取a、b、c、d四点，则（ ）
A．处于a状态时物体对振动平台的压力最小
B．处于b状态时物体对振动平台的压力最大
C．处于c状态时物体对振动平台的压力等于物体重力
D．处于d状态时物体对振动平台的压力最小
3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，
两弹簧自由端相距 。套在杆上的小球从中点以初速度 向右运动，小球将做周期为 的往复运动，则（
）A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期为
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为
D．小球的初速度为 时，其运动周期为
4．（2022·上海徐汇·三模）如图，A、B、C、D、E、F是六个隔音房间，每个房间中有一个纸杯，它们相
互之间通过相同的鱼线连接到O点，每个房间到O点的距离相等。现有五位阿卡贝拉小组的成员同时在
A、B、C、D、E房间中通过纸杯演唱一首作品，那么在F处的听众通过纸杯会听到（ ）
A．五人的合唱
B．杂乱的噪音
C．单独某个人的声音
D．不同人的声音，但同一时刻只能听到一人
5．（2022·上海市复兴高级中学二模）如图，用轻质丝线与小铁球组成单摆，将摆球拉开一个微小的角度
后由静止释放，不计空气阻力，摆球到达最低点B时的动能为E、加速度为a，第一次到达B点所用的时
k
间为t。仅改变摆长L，将摆线拉开相同角度后由静止释放摆球，多次重复实验。下列图像正确的是
（ ）A． B． C． D．
6．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）如图所示是某一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是
（ ）
A．质点振动的周期为 B． 末质点受到的回复力改变方向
C． 时与 时质点速度相同 D．质点振动方程为
7．（2022·湖北·恩施市第一中学模拟预测）如图所示，一列简谐横波沿x轴正向传播，实线为 时刻的
波形，虚线为 s时的波形，P为平衡位置在 m处的质点， 为平衡位置在 m处的质点。
0.15s时间内，质点P运动的路程小于8cm，则下列判断不正确的是（ ）
A．0.15s时间内，质点P的路程为 cm
B．质点Q振动的周期为0.4s
C．若此波遇到宽度为7.8m的障碍物时能发生明显的衍射现象
D．质点Q的振动方程为 （cm）
8．（2022·山东·威海市教育教学研究中心二模）如图所示，用完全相同的轻质弹簧P、Q拴接小球A，固
定在竖直平面内处于静止状态，此时两弹簧的总长度恰好等于两弹簧的原长之和。已知弹簧的劲度系数为k，小球的质量为m，重力加速度为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧P的伸长量为
B．剪断弹簧Q的瞬间，小球A的加速度大小为g
C．剪断弹簧Q后，小球A的机械能守恒
D．剪断弹簧Q后，小球A做简谐运动的振幅为
9．（2022·江苏南通·三模）如图所示的直角坐标系中， 时刻，波源在O点开始沿着y轴正方向振动，
形成沿x轴正方向传播的简谐波，经 个周期后刚好传播到P点。已知该波的周期为0.4s，振幅为2cm，
则P点的振动方程为（ ）
A． cm（ ） B． cm（ ）
C． cm（ ） D． cm（ ）
10．（2022·上海交大附中高三阶段练习）如图所示，图甲为沿x轴传播的一列简谐机械波在t＝1s时刻的
波动图像，图乙为质点P的振动图像。下列说法正确的是（ ）A．波沿x轴负方向传播，波速为2m/s
B．质点P再经过2s时间，通过的位移大小为0.8m
C．该波可以与另一列频率为2Hz的波发生干涉
D．波在传播过程中遇到尺度为4m大小的障碍物将能发生明显的衍射
二、填空题
11．（2022·上海金山·二模）质量为m的单摆，拉开一定角度后由静止释放，摆绳对摆球的拉力大小F随
时间t变化的图像如图所示，则摆球在平衡位置的加速度为___________，该单摆的摆长为__________。
12．（2022·上海奉贤·二模）如图是一个单摆振动，O是平衡位置，B、C是球能到达的最远位置。设向右
为正方向，图乙是该单摆振动的图像，该单摆振动的频率是___________Hz；当 时，摆球正
___________摆动（选填“向左”“向右”或“不”）。
13．（2022·广东·模拟预测）图示为一单摆的共振曲线，根据曲线可求得此单摆摆长约为______；若该单
摆的摆长变短，则此共振曲线振幅A最大值对应的横坐标f的值将______（选填“增大”“减小”或“不
变”）（取 ）。14．（2022·广东·模拟预测）如图所示，小球与细线构成一个单摆（ ），其周期为T，振幅为A。现
将小球拉至B点静止释放，开始计时。经过 时间，小球运动距离________ （选填“大于”、“小于”
或“等于”）；在 时刻，小球的动能________（选填“最大”或“最小”）。
三、解答题
15．（2022·重庆·高三阶段练习）一位游客在重庆长寿湖边欲乘游船体验美景，当日风浪较大，游船上下
浮动。若把游船的上下浮动简化为竖直方向的简谐运动，已知该简谐运动的振幅为 ，周期为 。当
游船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。只要甲板与码头地面的高度差不超过 ，游客都能
舒适地登船。现在以游船刚好上升到甲板与码头地面平齐为计时起点。求：
（1）游船做简谐运动的振动方程；
（2）在 的时间里，游客能舒适地登船的总时间。
16．（2021·重庆·高三学业考试）如图为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时的完整波形图，质点P
位于x轴上x=5m处。已知该简谐横波的传播速度大小v=1m/s。求：
（1）请写出位于坐标原点的质点的位移y与时间t的关系式；
（2）从t=0开始，到质点P的位移 所经历的最短时间。
17．（2022·江西宜春·模拟预测）一列简谐横波沿x轴传播的波形如图所示，其中实线和虚线分别为t＝0
1
和t＝1s时的波形图。求：
2
（1）若波沿x轴负方向传播，则这列波的波速大小；
（2）当波速为5m/s时，平衡位置在x＝3m处的质点P从t＝0开始计时，在3s内通过的路程。
118．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）正在修建的楼房顶上固定一根不可伸长的细线垂到图示窗沿
下，某同学想应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，他先将线的下端系上一个小球，当小球静止时，
细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为l＝1m。他打开窗户，让
小球在垂直于墙的竖直平面内作小角度摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计用入到第21
次通过B点共用时40s。当地重力加速度g值取 ，根据以上数据，求：
（1）该单摆的周期；
（2）房顶到窗上沿的高度h。
19．（2022·安徽·合肥一中模拟预测）如图中a、b分别表示，一列横波上相距6m的两个质点a和b的振
动图像，且质点a比质点b先开始振动，已知波长为λ>6m，求：
（1）求波的速度v；
（2）设P点距离b点2m，且在a、b之间，则从t=0 时刻开始，P点经过2秒通过路程是多少?
20．（2022·北京·人大附中三模）将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲中O点
为单摆的固定悬点，现将质量 的小摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于伸直状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，
（ 小于 且是未知量）。由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的
曲线如图乙所示，且图中 时刻为摆球从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中所给的信息，
（g取 ），求：
（1）单摆的振动周期和摆长；
（2）摆球运动到最低点时的速度大小；
（3）图乙中细线拉力最小值为多少。
