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难点 23 电磁感应中的动力学和能量问题
一、电磁感应中的动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．
处理方法：根据平衡条件列式分析．
(2)导体的非平衡状态——加速度不为零．
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．
2．用动力学观点解答电磁感应问题的一般步骤
3．导体常见运动情况的动态分析
v 若F ＝0 匀速直线运动
合
↓ v增大，若a恒定，拉力F增大
E＝Blv v增大，F 增大，F 减小，a减小，做加速
安 合
a、v同向
↓ 度减小的加速运动，减小到a＝0，匀速直线
若F ≠0
合
I＝
运动
↓
↓
F ＝ma
合
F 安 ＝BIl v减小，F 安 减小，a减小，当a＝0，静止或
a、v反向
↓ 匀速直线运动
F
合
（一）“单棒＋电阻”模型
【例1】（2022·江苏·南京市第二十九中学高三阶段练习）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨
MN、PQ相距为L=0.1m，导轨平面与水平面的夹角为 ，导轨上端连接一定值电阻R=0.3Ω，导轨的
电阻不计，整个装置处于方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，长为L的金属棒cd垂直于MN、PQ放置在导轨上，且与导轨保持良好的接触，金属棒的质量为m=0.2kg，电阻为r=0.1Ω，现将金属棒从紧靠
NQ处由静止释放，当金属棒沿导轨下滑距离为S=12m时，速度达到最大值 ，重力加速度g取
，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若将金属棒下滑12m的时刻记作t=0，假设此时的磁感应强度 为已知，从此时刻起，让磁感应强度
逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，请用 和t表示出这种情况下磁感应强度B变化的表达式。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）金属棒达最大速度时产生的电动势
回路中产生的感应电流
金属棒棒所受安培力
cd棒受力如图所示当所受合外力为零时，下滑的速度达到最大，即
由以上四式解得
代入数据得
（2）金属棒从t＝0起运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律有
解得
因为不产生电流，所以磁通量不变
得
（二）“单棒＋电容器”模型
【例2】(2021·河北卷·7)如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨
间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点，狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，一电容为C的
电容器与导轨左端相连，导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，
忽略所有电阻，下列说法正确的是( )A．通过金属棒的电流为2BCv2tan θ
B．金属棒到达x 时，电容器极板上的电荷量为BCvxtan θ
0 0
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
【答案】A
【详解】根据楞次定律可知电容器的上极板应带正电，C错误；
由题知金属棒匀速切割磁感线，根据几何关系知切割长度为L＝2xtan θ，x＝vt
则产生的感应电动势为E＝2Bv2ttan θ
由题图可知电容器直接与电源相连，则电容器的电荷量为Q＝CE＝2BCv2ttan θ
则流过金属棒的电流I＝＝2BCv2tan θ，A正确；
当金属棒到达x 处时，金属棒产生的感应电动势为
0
E′＝2Bvxtan θ
0
则此时电容器的电荷量为Q′＝CE′＝2BCvxtan θ，B错误；
0
由于金属棒做匀速运动，
则F＝F ＝BIL＝4B2Cv3tan2θ·t，
安
F与t成正比，则F为变力，根据力做功的功率公式P＝Fv
可知功率P随力F变化而变化，D错误．
二、电磁感应中的能量问题
1．电磁感应中的能量转化
――――――→―――→
2．求解焦耳热Q的三种方法
3．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中哪些力做功，以及哪些形式的能量相互转化；
(3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解．
（一）应用功能关系解决电磁感应中的能量问题【例3】(多选)如图，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分
粗糙，两部分平滑连接，平直部分右端接一个阻值为R的定值电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d、
方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释
放，到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，
金属棒与导轨间接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中( )
A．流过金属棒的最大电流为
B．通过金属棒的电荷量为
C．克服安培力所做的功为mgh
D．金属棒内产生的焦耳热为mg(h－μd)
【答案】BD
【详解】金属棒下滑到弯曲部分底端时，根据动能定理有 mgh＝mv2，金属棒在磁场中运动时产生的感应
0
电动势E＝BLv，金属棒受到的安培力F＝BIL，当金属棒刚进入磁场中时，感应电流最大，分析可得 I
max
＝，所以A错误；金属棒穿过磁场区域的过程中通过金属棒的电荷量q＝t＝＝，所以B正确；对整个过程
由动能定理得mgh－W －μmgd＝0，金属棒克服安培力做的功W ＝mgh－μmgd，金属棒内产生的焦耳
克安 克安
热Q＝W ＝mg(h－μd)，所以C错误，D正确．
克安
（二）应用能量守恒定律解决电磁感应中的能量问题
【例4】如图甲所示，一足够长阻值不计的光滑平行金属导轨MN、PQ之间的距离L＝0.5 m，NQ两端连
接阻值R＝2.0 Ω的电阻，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，导轨平面与水平面间的夹
角θ＝30°，一质量m＝0.40 kg、接入电路的阻值r＝1.0 Ω的金属棒垂直于导轨放置并用绝缘细线通过光滑
1
的轻质定滑轮与质量m＝0.80 kg的重物相连．细线与金属导轨平行．金属棒沿导轨向上滑行的速度 v与时
2
间t之间的关系如图乙所示，已知金属棒在0～0.3 s内通过的电荷量是0.3～0.6 s内通过电荷量的，g＝10
m/s2，求：
(1)0～0.3 s内金属棒通过的位移大小；
(2)金属棒在0～0.6 s内产生的热量．
【答案】(1)0.3 m (2)1.05 J
【详解】(1)0～0.3 s内通过金属棒的电荷量
q＝＝
1
0．3～0.6 s内通过金属棒的电荷量q＝It＝
2 22由题中的电荷量关系＝，解得：x＝0.3 m
1
(2)金属棒在0～0.6 s内通过的总位移为x＝x＋x＝x＋vt，解得x＝0.75 m
1 2 1 02
根据能量守恒定律有mgx－mgxsin θ＝(m＋m)v2＋Q
2 1 1 2 0
解得Q＝3.15 J
由于金属棒与电阻R串联，电流相等，根据焦耳定律Q＝I2Rt，它们产生的热量与电阻成正比，所以金属
棒在0～0.6 s内产生的热量Q＝Q＝1.05 J.
r
一、单选题
1．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，ABCD是固定的水平放置的足够长的U形导轨，整个导轨处于
竖直向上的匀强磁场中，在导轨上架着一根金属棒ef，在极短时间内给棒ef一个水平向右的速度，ef棒开
始运动，最后又静止在导轨上，则ef在运动过程中，就导轨是光滑和粗糙两种情况相比较（ ）
A．整个回路产生的总热量相等
B．安培力对ef棒做的功相等
C．安培力对ef棒的冲量相等
D．电流通过整个回路所做的功相等
【答案】A
【详解】ABD．由能量守恒定律可知，ef棒具有的动能将全部转化为内能，无摩擦时，将全部转化为电热
（即克服安培力做的功）；有摩擦时，将一部分转化为电热，另一部分用于克服摩擦力做功，选项A正确。
电流通过整个回路所做的功等于克服安培力做的功，也等于产生的电热，B、D错误。
C ．由动量定理可知，合力的冲量等于物体动量的变化量，由于两次动量变化相同，则合力的冲量相等，
无摩擦时安培力的冲量较大， C错误。
故选A。
2．（2023·全国·高三专题练习）在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀
强磁场，如图所示。PQ为两个磁场的边界，磁场范围足够大。一个边长为a、质量为m、电阻为R的金属
正方形线框，以速度v垂直磁场方向从如图实线位置开始向右运动，当线框运动到分别有一半面积在两个磁场中时，线框的速度为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．此过程中通过线框截面的电荷量为
B．此时线框的加速度为
C．此过程中回路产生的电能为2mv2
D．此时线框中的电功率为
【答案】D
【详解】A．此过程中平均电动势
平均电流
通过线框截面的电荷量
A错误；
B．此时线框总电动势为
所受总安培力
根据牛顿第二定律得
B错误；C．对此过程，由能量守恒可得，回路产生的电能
C错误；
D．由电功率定义可得
D正确。
故选D。
3．（2022·全国·高三专题练习）如图1、2中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，图1中的电容
器C原来不带电。设导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，
且都处于方向垂直于水平面（即纸面）向里的匀强磁场中，导轨足够长。现给导体棒ab一个向右的初速度
v，在图1、2两种情形下，关于导体棒ab的运动状态，下列说法正确的是（ ）
0
A．图1中，ab棒先做匀减速运动，最终做匀速运动
B．图2中，ab棒先做加速度越来越小的减速运动，最终静止
C．两种情况下通过电阻的电荷量一样大
D．两种情形下导体棒ab最终都保持匀速运动
【答案】B
【详解】A．图1中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，由于充电电流不断减小，
安培力减小，则导体棒做变减速运动，当电容器C极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中
没有电流，ab棒不受安培力，向右做匀速运动，故A错误；
BD．图2中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，导体棒受向左的安培力而做减速运动，随速度的
减小，电流减小，安培力减小，加速度减小，最终ab棒静止，故B正确，D错误；
C．根据有
得
电荷量跟导体棒ab的动量变化量成正比，因为图1中导体棒的动量变化量小于图2，所以图1中通过R的
电荷量小于图2中通过R的电荷量，故C错误。
故选B。
4．（2022·全国·高三专题练习）如图甲所示，光滑“∠”形金属支架ABC固定在水平面上，支架处在垂
直于水平面向下的匀强磁场中，一金属导体棒EF放在支架上，用一轻杆将导体棒与墙固定连接，磁感应
强度随时间变化的规律如图乙所示，取垂直于水平面向下为正方向，则下列说法中正确的是（ ）
A．t 时刻轻杆对导体棒的作用力最大
1
B．t 时刻轻杆对导体棒的作用力最大
2
C．t 到t 时间内，轻杆对导体棒的作用力先增大后减小
2 3
D．t 到t 时间内，轻杆对导体棒的作用力方向不变
2 4
【答案】C
【详解】A．由法拉第电磁感应定律可得
可知t 时刻
1
，E=0
故导体棒受到的安培力为0，轻杆对导体棒的作用力为0，A错误；
B．t 时刻磁感应强度的变化率最大，感应电动势最大，感应电流最大，但由于磁感应强度为0，导体棒受
2
到的安培力为0，轻杆对导体棒的作用力为0，B错误；
C．t 到t 时间内，感应电流逐渐减小，而磁感应强度逐渐增大，导致导体棒受到的安培力先增大后减小，
2 3所以轻杆对导体棒的作用力先增大后减小，C正确；
D．t 到t 时间内，磁感应强度方向不变，而感应电流方向有发生改变，故导体棒受到的安培力方向改变，
2 4
则轻杆对导体棒的作用力方向改变，D错误。
故选C。
5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，两完全相同的阻值可忽略的平行导轨倾斜地固定在水平面上，
两导轨之间的距离为L，导轨与水平面之间的夹角为θ，在导轨的顶端连接一阻值为R的定值电阻。在导
轨间有4条与导轨垂直的虚线1234，且相邻两虚线之间的距离均为d，整个装置处在垂直导轨平面向上、
磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一质量为m、阻值可忽略的金属棒垂直导轨从虚线1处由静止释放，
已知金属棒仅与虚线23间涂有绝缘涂层的导轨有摩擦，金属棒在整个运动过程中始终与导轨垂直且接触良
好，金属棒到达虚线2之前已经开始做匀速直线运动，并一直匀速运动到达虚线4处，重力加速度为g，
则下列说法正确的是（ ）
A．金属棒在开始做匀速运动之前做匀加速直线运动
B．在虚线23之间，金属棒与导轨间的动摩擦因数为tanθ
C．金属棒在虚线4处的速度大小为
D．金属棒由虚线1到达虚线4的过程中定值电阻产生的焦耳热为2mgdsinθ
【答案】B
【详解】A．金属棒在开始做匀速运动之前速度越来越大，由
E=BLv
可知感应电动势越来越大，根据
F=BIL
得，所受的安培力越来越大，由牛顿第二定律有
mgsinθ-BIL=ma可知加速度越来越小，匀速运动后合力为零，A错误；
B．在虚线2、3之间由于有绝缘涂层且金属棒匀速运动，有
mgsinθ=μmgcosθ
解得
μ=tanθ
B正确；
C．金属棒在光滑导轨上滑动时受到的安培力
由平衡条件有
F=mgsinθ
解得
C错误；
D．金属棒在虚线2、3之间滑动时摩擦生热为
Qf=μmgdcosθ=mgdsinθ
整个运动过程中，根据能量守恒定律得
3mgdsinθ=Q＋Qf＋ mv2
解得
Q=2mgdsinθ-
D错误。
故选B。
6．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，阻值为R
的导体棒垂直于导轨放置，且与导轨接触良好。导轨所在空间存在匀强磁场，匀强磁场与导轨平面垂直。
t=0时，将开关S由1掷向2，分别用q、i、v和a表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度大小
和加速度大小，则下列图像中正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】ABCD．开关S由1掷向2，电容器放电，会在电路中产生电流，导体棒中有电流通过，会受到安
培力的作用，产生加速度而加速运动，速度增大，导体棒切割磁感线产生感应电动势，感应电动势增大，
则电路中电流减小，导体棒所受安培力减小，加速度减小，因导轨光滑，所以在有电流通过棒的过程中，
棒一直加速运动，加速度逐渐减小，速度逐渐增大；当感应电动势等于电容器两端的电压时，电路中无电
流，导体棒做匀速运动，加速度为零，速度达到最大值，此时电容器所带电荷量q=CU不为零。故A、
B、C错误，D正确。
故选D。
7．（2022·广东·开平市忠源纪念中学模拟预测）如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为
，水平U型导体框左端接一阻值为 的电阻，导体棒 质量为 、电阻为 ，垂直导轨置于导体框上，
导体框宽度为 导体棒与导轨接触良好。不计导体框的电阻和导体棒与导体框间的摩擦。 棒以水平向右
的初速度 开始运动，最终停在导体框上。此过程中说法正确的是（ ）A．导体棒做匀减速直线运动
B．导体棒中感应电流的方向为b→a，所以b点电势高于a点电势
C．刚开始运动时，ab两端电压为
D．电阻R消耗的总电能为
【答案】D
【详解】A．导体棒在安培力的作用下做减速运动，可得
整理得
根据牛顿第二定律可得
可知，导体棒做加速度减小的减速运动，A错误；
B．导体棒切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，电源内部电流由低电势流向高电势，根据楞次定律
可知，导体棒中感应电流的方向为b→a，所以b点电势低于a点电势，B错误；
C．ab两端电压为路端电压，刚开始运动时，ab两端电压为
C错误；
D．根据能量转化与守恒可知，导体棒的动能转化为电阻 与 产的焦耳热，即消耗的电能电阻 与 串联，产生的焦耳热与阻值成正比，则电阻R消耗的总电能为
D正确。
故选D。
8．（2022·上海市南洋模范中学模拟预测）两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨上
垂直放置两根导体棒a和b，俯视图如图所示。在整个导轨平面内有竖直向上匀强磁场，导体棒与导轨接
触良好且均可沿导轨无摩擦地滑行，若给a棒一初速度的同时释放b棒，在一段时间内a棒动能的减小量
为 ，b棒动能的增加量为 ，a棒克服磁场做功为 ，ab棒上产生总热量为Q，（不计ab棒间相互作
用）则（ ）
A． ＝ +Q
B． ＝Q+
C． ＝Q
D． ＝Q
【答案】B
【详解】设导体棒a的初动能为 、末动能为 ，由题意可知导体棒b的初动能为0，设导体棒b的末
动能为 ，对a、b棒组成的系统，由能量守恒定律可得
由题意可知
因此可得由于导体棒与导轨间无摩擦，对导体棒a，根据动能定理可得
联合可得
故ACD错误，B正确。
故选B。
二、多选题
9．（2022·河南·模拟预测）如图甲所示，光滑平行金属导轨水平放置，处在垂直于导轨平面向上的匀强磁
场中，磁场的磁感应强度大小为B=2T，导轨左端接有阻值为R=10Ω的定值电阻，导轨间距为d=1m。长为
L=1m、电阻为r=10Ω、质量为m=0.5kg的金属棒垂直放在导轨上。t=0时刻，用水平向右的拉力F拉金属
棒，金属棒从静止开始运动，电阻R中的电流随时间变化的规律如图乙所示，金属棒运动过程中始终与导
轨垂直并接触良好，则（ ）
A．金属棒做加速度越来越大的变加速运动
B．拉力F的最小值为1.25N
C．0~4s内，通过金属棒横截面的电荷量为4C
D．0~4s内，拉力F的冲量大小为9N·s
【答案】BD
【详解】A．电阻R中的电流
结合图像可得
代入数值解得v=2.5t
因此金属棒做加速度为a=2.5m/s2的匀加速直线运动，选项A错误；
B．根据牛顿第二定律有
可知，最小拉力
Fmi =ma=1.25N
n
选项B正确：
C．由I-t图像的面积可知，0~4s内，通过金属棒横截面的电荷量为
q= ×1×4C=2C
选项C错误；
D．由 得
当t=4s时
F=3.25N
2
则0~4s内，拉力F的冲量大小
选项D正确。
故选BD。
10．（2022·山西大同·高三阶段练习）如图所示，水平放置的平行金属导轨，相距 ，左端接一电
阻 ，磁感应强度 的匀强磁场方向垂直于导轨平面，导体棒垂直放在导轨上，并能无摩擦
地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。在导体棒的中点施加一个垂直棒的水平拉力 ，
使其从静止开始运动，运动 速度达到了最大，则从开始运动到达到最大速度过程中（ ）
A．导体棒做匀加速直线运动 B．导体棒最大速度为C．电路中的最大电流为 D．通过导体棒的电荷量为
【答案】BC
【详解】BC．速度最大时，感应电动势最大为
最大感应电流
此时安培力
安培力与拉力 相等
联立解得
故BC正确；
A．导体棒的加速度
随着速度增大，加速度逐渐减小，直到最后做匀速运动，故A错误；
D．通过导体棒的电荷量
代入数据解得
故D错误。
故选BC。
三、解答题
11．（2022·贵州贵阳·高三开学考试）如图所示，相距为d的两根足够长平行光滑直导轨放置在绝缘水平
面上，导轨左侧与阻值为 的电阻相连，虚线右侧导轨处于坚直向下、磁感应强度大小为 的匀强磁场中。
一质量为 、电阻为 、长度略大于 的导体棒垂直于导轨放置在虚线左侧，导体棒到虚线的距离为 。
某时刻给导体棒一沿导轨向右的水平恒力，导体棒进入磁场后恰好做匀速直线运动，不计导轨电阻。若导
体棒刚进入磁场时撤去水平恒力，导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，则下列说法正确的是（ ）
A．导体棒所受的水平恒力大小为
B．导体棒刚进入磁场时，电阻 两端的电压为
C．从刚撤去水平恒力至导体棒停下，通过导体棒的总电荷量为
D．进入磁场后，导体棒向右运动的最大位移为2
【答案】AD
【详解】A．导体棒进入磁场前由动能定理有
进入磁场后导体棒做匀速直线运动，有
解得导体棒运动的速度
水平恒力
故A正确；
B．刚进入磁场时导体棒切割磁感线的感应电动势
电阻R两端的电压
故B错误；C．撤去水平恒力后，由于水平方向上导体棒只受安培力，由动量定理可知
以平均电流计算可知
故C错误；
D．由
解得
故D正确。
故选AD。
12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示（俯视），MN、PQ为水平放置的足够长的水平平行光滑导轨，
导轨间距为L，导轨左端连接的定值电阻R，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，将电
阻为r的金属棒ab垂直放置在导轨上，且与导轨接触良好，导轨电阻不计，现对棒施加水平向右的恒力F
作用，使棒由静止开始向右运动，当通过R的电荷量达到q时，导体棒ab刚好达到最大速度。求：
（1）导体棒从释放到棒达到的最大速度 ；
（2）导体棒从释放到棒达到最大速度时滑动的距离s；
（3）导体棒从释放到棒达到最大速度的过程中电路产生的热能Q。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）当棒运动到最大速度 时，根据法拉第电磁感应定律有
根据闭合电路欧姆定律有而
而最大速度时合力为零，即有
联立可得
（2）最大速度时，由电荷量
可得
（3）对金属棒分析，由功能关系有
带入得
13．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，水平面上固定一个顶角为60°的光滑金属导轨MON，导轨处
于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中。质量为m的导体棒CD与∠MON的角平分线垂直，
导轨与棒单位长度的电阻均为r。t=0时刻，棒CD在水平外力F的作用下从O点以恒定速度v 沿∠MON
0
的角平分线向右滑动，在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。若棒与导轨均足够长，求:
（1）流过导体棒的电流I；
（2）t 时刻导体棒的发热功率；推导出回路中的热功率P随时间变化的关系式，并画出图像。
0【答案】（1） ；（2） t，P= t，见解析
0
【详解】（1）导体棒的有效切割长度
L=2vttan 30°
0
感应电动势
E=BLv
0
回路的总电阻
R= 2vttan 30°+ r
0
联立可得通过导体棒的电流
I=
（2）回路中热功率
P=I2R
回路中电流
I=
为定值，电阻为
R=（tan 30°+ ）2vtr
0
可得
P= t
故图像如图所示t 时刻导体棒的电阻为
0
Rx=2vttan 30°·r
00
则导体棒的发热功率
P =I2Rx= t
棒 0
14．（2022·江西省乐平中学高三阶段练习）如图，宽度为L的足够长光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面
上，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，整个导轨处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，
质量为m、电阻也为R的导体棒ab垂直导轨放置。不计导轨的电阻，导体棒ab与导轨始终垂直且接触良
好。现给导体棒ab一个水平向右的初速度，使其向右滑行，最终停在图中虚线的位置，整个过程中导体棒
ab的最大加速度为a，求：
（1）导体棒开始运动时的初速度大小；
（2）整个过程，电阻R上产生的焦耳热。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）开始时
电路中电流
由于刚开始运动时加速度最大，根据牛顿第二定律有
解得（2）设电阻R上产生的焦耳热为Q，导体棒ab的电阻也为R，导体棒ab上产生的焦耳热也为Q，因此根
据能量守恒有
解得
15．（2022·上海市复兴高级中学二模）如图，两根质量、电阻均相同的金属棒MN、PQ分别置于光滑的
金属导轨上，导轨水平和倾斜部分均处在垂直于导轨、强度相同的匀强磁场中，倾斜导轨与水平方向的夹
角α=37°，不计导轨的电阻，MN与固定在水平导轨上的力传感器连接。现对PQ施加平行于倾斜导轨的随
时间由0开始逐渐增大的作用力F，使其在距导轨底端x=3m处由静止开始运动，棒与导轨始终垂直且接
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触良好，电脑显示MN受到力传感器水平向右的拉力F 与时间成正比，即F=0.5t。MN始终保持静止状态，
2 2
重力加速度g取10m/s2。
（1）判断PQ的运动情况，并说明理由。
（2）判断F 的方向，并写出F 的大小与时间t的关系式。
1 1
（3）求PQ运动到导轨底端时，速度v的大小。
（4）若PQ运动到底端的过程中，F 做功W=1.5J，则MN产生的焦耳热Q为多少？
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【答案】（1）由静止开始沿导轨向下做匀加速直线运动；（2）F 平行导轨向下，F=0.5t；（3）6m/s；
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（4）0.75J
【详解】（1）设两根金属棒的质量和电阻分别为m、R，因MN水平方向受两个力处于平衡，故磁场对
MN的作用力F 水平向左，感应电流I由N指向M，PQ中的电流由P指向Q。由右手定则，可以判断PQ
安
沿导轨向下运动，又因为
F =BIL
安E=BLv
I=
故
F = v=F=0.5t
安 2
因B、L、R为恒量，故PQ的速度与时间成正比，即PQ由静止开始沿导轨向下做匀加速直线运动。
（2）对PQ受力分析如图
受到重力、支持力、F 、F 四个力作用，其中
安 1
即支持力不变，则仅有F 、F 随时间而变化，但加速度恒定，合外力恒定，故F 必须与F 平衡，由左手
安 1 1 安
定则知，F 平行于导轨向上，则F 平行导轨向下，且
安 1
F=F =F= 0.5t
1 安 2
（3）因F 与F 平衡，故PQ受四个力的合力为
1 安
F =mgsinα
合
由牛顿第二定律得
mgsinα=ma
解出
a=gsinα=6m/s2
由匀变速运动公式可得
（4）因为
F=F
1 安
且两者方向相反，则F 做功为
安由功能关系知
即
又因为两个金属棒电阻串联，正比分配总电热，故MN中产生电热为
