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类比归纳专题：切线证明的常用方法
——弄清不同条件下的证明方式，体会异同
类型一 有交点型：连半径，证垂直【方法9①】
一、利用勾股定理的逆定理或角度转换证垂直
1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为⊙O上一点，PC＝4，PB＝
2，AB＝6，求证：PC是⊙O的切线．
2．(2017·益阳中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且
∠BCD＝∠A.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
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二、利用全等证垂直
3．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE
于点F，连接CF.求证：CF与⊙O相切．
类型二 无交点型：作垂直，证半径
4．(2017·绥化中考)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交
AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.
(1)求证：CD与⊙O相切；【方法9②】
(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．
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参考答案与解析
1．证明：连接OC.在△OCP中，PC＝4，OC＝AB＝3，OP＝OB＋BP＝3＋2＝5.∵PC2＋
OC2＝OP2，∴△OCP是直角三角形，且∠PCO＝90°，∴PC是⊙O的切线．
2.证明：如图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝
90°.∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠ACO＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD
＝90°，∴CD是⊙O的切线．
(2)解：在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，∴OD＝＝5，∴BD＝OD－OB＝5
－3＝2.
3．证明：连接OF，OC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°.∵E
为 BC 边的中点，AO＝DO，∴AO＝EC，AO∥EC，∴四边形 OAEC 是平行四边形，
∴AE∥OC，∴∠DOC＝∠OAF，∠FOC＝∠OFA.∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠DOC＝
∠FOC.∵在△ODC和△OFC中，，∴△ODC≌△OFC(SAS)，∴∠OFC＝∠ODC＝90°，
∴OF⊥CF，∴CF与⊙O相切．
4．(1)证明：如图，过点 O 作 OG⊥DC，垂足为 G.∵AD∥BC，AE⊥BC 于 E，
∴OA⊥AD.∵OD为∠ADC的平分线，∴OG＝OA，∴DC是⊙O的切线．
(2)解：如图，连接OF.∵AE⊥ BC，∴BE＝EF＝BF＝12.在Rt△OEF中，OE＝5，EF＝12，∴OF
＝＝13.∴AE＝OA＋OE＝OF＋OE＝13＋5＝18.∴tan∠ABC＝＝.
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