文档内容
专题强化三 动态平衡及平衡中的临界、极值问题
素养目标
1．学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题．
2．学会分析平衡中的临界与极值问题．
考点一 动态平衡问题
1．动态平衡：是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向要发生
变化，所以叫动态平衡．
2．分析动态平衡问题方法的选取技巧
(1)解析法
①列平衡方程，列出未知量与已知量的关系表达式；
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况．
(2)图解法
(3)相似三角形法
①根据已知条件画出对应的力的三角形和空间几何相似三角形，确定对应边，利用三
角形相似法列出比例式；
②确定未知量的变化情况．
【温馨提示】 平衡中的“三看”与“三想”
(1)看到“缓慢”，想到“物体处于动态平衡状态”．
(2)看到“轻绳、轻环”，想到“绳、环的质量可忽略不计”．
(3)看到“光滑”，想到“摩擦力为零”．
例1 (多选)[2024·四川成都高三检测]某中学举行趣味运动会时，挑战用一支钢尺取出
深盒子(固定不动)中的玻璃球，该游戏深受大家喜爱，参与者热情高涨．游戏中需要的器
材和取球的原理分别如图甲和图乙所示．若忽略玻璃球与盒壁、钢尺间的摩擦力，在不损
坏盒子的前提下，钢尺沿着盒子上边缘某处旋转拨动(钢尺在盒内的长度逐渐变短)，使玻
璃球沿着盒壁缓慢上移时，下列说法正确的是( )
A．钢尺对玻璃球的弹力逐渐减小
B．钢尺对玻璃球的弹力先增大后减小
C．盒壁对玻璃球的弹力逐渐减小
D．盒壁对玻璃球的弹力先减小后增大例2 (多选)如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨
过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水
平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°.已知M始终保持静止，则
在此过程中( )
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
[教你解决问题]
读题―→选研究对象―→画受力图
例3 [2024·河北唐山模拟]如图所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O为光滑铰链．
轻杆一端与铰链O固定连接，另一端固定连接一质量为m的小球A.现将轻绳一端拴在小球
A上，另一端通过光滑的定滑轮O′由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静
止状态．现改变力F的大小使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到O′正下方，木板始终保
持静止，则在整个过程中( )
A．外力F大小不变
B．轻杆对小球的作用力大小变小
C．地面对木板的支持力逐渐变小
D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
例4 (多选)如图所示，绕过滑轮的轻绳一端固定在竖直墙上，站在地面上的人用手拉
着绳的另一端，滑轮下吊着一个小球，处于静止状态，保持B点高度不变，在人缓慢向左
移动一小段距离的过程中( )A．绳上张力变大
B．人对地面的压力变大
C．地面对人的摩擦力变大
D．滑轮受到绳的作用力变大
思维提升
三力作用下的动态平衡
考点二 平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰
好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问
题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力F ＝0.
N
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解决极值和临界问题的三种方法
正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件
极限法 必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向
极大或极小
通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图
数学分析法
像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形
图解分析法
定则进行动态分析，确定最大值和最小值例5 如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，用挡板AO将球挡住，使
球处于静止状态，若挡板与斜面间的夹角为β，则(重力加速度为g)( )
A．当β＝30°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mg sin α
B．当β＝60°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mg cos α
C．当β＝60°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mg sin α
D．当β＝90°时，挡板AO所受压力最小，最小值为mg sin α
例6 如图，倾角为 45°的斜面体A放在水平地面上，A与地面间的动摩擦因数为
0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，光滑半球体 B静止在竖直墙和斜面体之间，已知
A、B所受重力都为G.若在B的球心处施加一竖直向下的力F，要保持斜面体静止不动，F
的最大值是( )
A．G B．1.5G
C．2G D．2.5G
[解题心得]
专题强化三 动态平衡及平衡中的临界、极值问题
考点一
例1 解析：对玻璃球的受力分析如图所示，玻璃球受重力G，左侧钢尺对玻璃球的
弹力F ，盒壁对玻璃球的弹力F ，玻璃球在3个力作用下处于动态平衡，玻璃球沿着纸盒
1 2
壁缓慢上移时，θ角变大，利用图解法可知，F 和F 均逐渐减小，A、C项正确，B、D项
1 2
错误．故选AC.
答案：AC
例2 解析：如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向
左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐
增大；对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，
则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，
摩擦力f可能先减小后增加．故本题选BD.
答案：BD
例3 解析：对小球A进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示
mg F F'
根据几何关系可知两三角形相似，因此 ＝ ＝
OO' O' A OA
缓慢运动过程O′A越来越小，则F逐渐减小，故A错误；
由于OA长度不变，杆对小球的作用力大小不变，故B错误；
对木板，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的
夹角越来越小，所以地面对木板的支持力逐渐增大，地面对木板的摩擦力逐渐减小，故 C
错误，D正确．故选D.
答案：D
例4 解析：滑轮两边绳上的力大小相等，人缓慢向左移动一小段距离的过程，滑轮
m
θ (球)g
两边绳间的夹角θ变大，根据2T cos ＝m g，解得T＝ θ，可知，θ变大，绳上的
2 球 2cos
2
张力T变大，A正确；
θ
对人分析有N＝m g＋T cos
人 2
θ 1
结合上述解得N＝m g＋T cos ＝m g＋ m g
人 2 人 2 球
1
由牛顿第三定律得，人对地面的压力为N′＝N＝m g＋ m g，可知人对地面的压力
人 2 球
不变，B错误；
θ 1 θ
对人分析可知地面对人的摩擦力为f＝T sin ＝ m ·g tan
2 2 球 2
可知θ变大，地面对人的摩擦力变大，C正确；
对滑轮与小球整体分析可知，滑轮受到绳的作用力为F＝m g
球
即滑轮受到绳的作用力不变，D错误．
答案：AC考点二
例5 解析：分析小球的受力情况：重力G、斜面的支持力N 和挡板AO的压力N ，
2 1
由平衡条件得知N 和N 的合力与G大小相等、方向相反，保持不变．
2 1
当挡板与斜面的夹角变化时，作出四个位置受力图，由图看出当挡板与斜面垂直时，
挡板对小球的压力N 最小，挡板AO所受压力即最小，此时β＝90°，最小值N ＝mg sin
1 1
α，故D正确．
答案：D
例6 解析：对斜面体和半球体整体受力分析如图甲所示，施加力 F之后，可知斜面
体对地面的正压力为2G＋F，最大静摩擦力为F ＝μ(2G＋F)；对半球体受力分析如图乙所
fm
示，未施加力F时有，竖直墙壁的弹力大小F ＝G tan 45°，施加力F之后，竖直墙壁弹力
1
大小变为F′ ＝(G＋F)tan 45°，要使斜面体静止不动，水平方向上受力平衡，即(G＋F)tan
1
45°≤μ(2G＋F)，解得F≤2G，C项正确．
答案：C
