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2.4 共点力的动态平衡与临界极值问题
考点一 共点力的动态平衡问题........................................................................................................................................1
题组1：解析法................................................................................................................................................................1
题组2：图解法................................................................................................................................................................2
题组3：相似三角形法..................................................................................................................................................3
题组4：辅助圆周角法与正弦定理法.......................................................................................................................4
考点二 平衡中的临界极值问题........................................................................................................................................6
题组1：动态分析法.......................................................................................................................................................6
题组2：数学解析法.......................................................................................................................................................7
题组3：极限分析法.......................................................................................................................................................8
2.4 共点力的动态平衡与临界极值问题
考点一 共点力的动态平衡问题
题组1：解析法
1. （单选）质量为M的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A为半圆的最低点，B
为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m的小滑块。用推力F推动小滑块由A
点向B点缓慢移动，力F的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的
是
A. 推力F先增大后减小
B. 墙面对凹槽的压力先增大后减小
C. 凹槽对滑块的支持力先减小后增大
D. 水平地面对凹槽的支持力先减小后增大
2. （单选）如图所示，弹性绳(遵循胡克定律)的一端固定在天花板上的O点，另一端悬挂一质量为m的小
球，静止时小球位于B点，A点固定一光滑的小定滑轮，OA = l
2，AB =l。现对小球施加一沿BC方向的拉
力F，使小球沿BC缓慢运动到C点。已知A、B、C三点刚好组成一个正三角形，D为BC的中点，重力加
速度为g，则( )
1
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A. 小球在C点受到的拉力F等于小球重力的√3倍
B. 在D点时弹性绳的弹力大小为1
2 mg
C. 该弹性绳的原长为l
2
D. 从D到C的过程中拉力F可能先减小后增大
3.（单选）《墨经》中记载古代建造房屋过程中，通过斜面提升重物，如图所示.若斜面体上表面光滑，
则在缓慢拉升重物的过程中( )
A. 重物受到的支持力不变B. 重物受到的支持力减小
C. 斜面受到地面的支持力不变D. 斜面受到地面的支持力先增大后减小
题组2：图解法
4. （单选）如图所示，小球在F作用下处于静止状态。现保持θ不变，缓慢转动F，下列说法中正确是
( )
A. 细线拉力始终不变B. F可以竖直向下
2
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C. F可以竖直向上
D. 当F转到水平位置时最小
5. （单选）如图，重力为G的电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA，使连接点A沿墙向上移动而保持
结点O的位置和OB绳的位置不变。则在A点向上移动的过程中，下列判断中正确的是( )
A. 绳OB的拉力先增大后减小
B. 绳OB的拉力先减小后增大
C. 绳OA的拉力先增大后减小
D. 绳OA的拉力先减小后增大
6. （多选）如图所示，一根细线系着一个质量为m的小球，细线上端固定在天花板上，用力F拉小球，小
球平衡后细线与竖直方向的夹角为θ。现改变拉力F的方向与大小，并保持θ角不变，其中拉力F可能情况
由图中F1、F2(竖直向上)、F3(垂直于细线方向)、F4(水平向右)中选择，则下列说法正确的是( )
A. 拉力可能为F1
B. 拉力可能为F2
C. F3是所有可能情况中的最小值，即mgsinθ
D. 若拉力为F4，其值为mg
tanθ
题组3：相似三角形法
7. （单选）如图所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O为光滑铰链。轻杆一端与铰链O固定连接，另一
端固定连接一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮O'由力F牵引，
定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动
到O'正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中( )
A. 外力F大小不变
B. 轻杆对小球的作用力大小变小
3
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C. 地面对木板的支持力逐渐变小
D. 地面对木板的摩擦力逐渐减小
8. （单选）如图所示，一个重力为mg的小环套在竖直的半径为R的光滑大圆环上，一劲度系数为k，自然
长度为L0的轻质弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A，当小环静止时，弹簧与竖直
方向之间的夹角为θ，已知k = √3mg
2 L0
，L0= √3
3 R，则下列选项正确的是( )
A. θ = 45
∘
B. 弹簧的长度为2 L0
C. 小环受到大环的支持力为mg D. 弹簧弹力大小是√3mg
2
9. （单选）某同学通过如图所示的装置将吊篮中的物品缓慢拉到窗口，图中轻绳的一端拴在轻杆上，另一
端绕过定滑轮(不计一切摩擦).下列说法正确的是( )
A. 此人手上所受的拉力F始终不变B. 此人手上所受的拉力F先减小，后增大
C. 轻杆所受压力大小始终不变D. 轻杆所受压力一直增大
题组4：辅助圆周角法与正弦定理法
10. （单选）如图所示，光滑圆柱A和半圆柱B紧靠着静置于水平地面上，二者半径均为R。A的质量为m，
B的质量为m
2 ，B与地面间的动摩擦因数为μ。现给A施加一拉力F，使A缓慢移动，运动过程中拉力F与
圆心连线O1O2的夹角始终为60°保持不变，直至A恰好运动到B的最高点，整个过程中B保持静止，设最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法不正确的是( )
A. A、B间弹力逐渐增大
B. A、B间弹力先增大后减小
C. 拉力F逐渐减小
D. A、B间弹力的最大值Fmax = 2
3 √3mg
4
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11. （单选）如图所示，倾角θ =30
∘，顶端固定光滑滑轮的斜面体放置在水平面上，一跨过滑轮的轻质
细绳，一端悬挂质量为m的重物A，另一端与斜面上质量为2m的物块B相连，滑轮与物块B之间的细绳平
行于斜面。现用外力F缓慢拉动细绳上的结点O，使细绳OO'部分从竖直拉至水平，整个过程中始终保持
外力F的方向与细绳OO'的夹角α =120
∘不变，且细绳OO'部分始终拉直，物块B和斜面体始终处于静止
状态，下列说法错误的是( )
A. 细绳OO'的拉力先增大后减小
B. 外力F一直增大
C. 地面对斜面体的摩擦力先增大后减小D. 斜面对物块B的摩擦力一直增大
12. （单选）如图所示，送水工人用推车运桶装水，到达目的地后，工人抬起把手，带动板OA转至水平
即可将水桶卸下。若桶与接触面之间的摩擦不计，∠AOB为锐角且保持不变，板OA、OB对水桶的压力
大小分别为F1、F2，则在OA由竖直缓慢转到水平的过程中( )
A. F1、F2都不断增大B. F1不断增大，F2不断减小
C. F1不断减小，F2先增大后减小
D. F1先增大后减小，F2不断减小
考点二 平衡中的临界极值问题
题组1：动态分析法
1. （单选）某同学表演了一个魔术，将一块磁铁藏在自己的袖子里，对着用细线悬挂的金属小球施加“魔
力”，小球便按着他的指令运动起来。某时刻停止移动手臂，小球随即在手的右下方保持静止，此时悬线紧
绷且偏离竖直方向的夹角为θ =30
∘。已知小球的质量为m，重力加速度为g，则此时他对小球施加的“魔
力”大小可能为( )
A. 1
3 mg B. 1
2 mg C. √2mg
D. √3mg
5
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2. （多选）如图所示，水平地面上固定着一个竖直圆形轨道，圆心为O，轨道内壁光滑。轨道内放置一个
质量为m的小球，在水平拉力F的作用下静止在轨道内侧A点，AO连线与竖直方向的夹角θ =30°，轨道
对小球的支持力大小为F N，重力加速度为g。改变拉力F，小球始终静止在A点。下列说法正确的是( )
A. 将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，F的最小值为√3
3 mg
B. 将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，F N的最小值为(√3−1)mg
C. 将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，F一直在增大
D. 将拉力F顺时针缓慢旋转45
∘的过程中，F N的最小值为2mg
3. （单选）我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们
会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为15°，方形矿石与斜
面间的动摩擦因数为√3
3 ，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最
小值为
A. √2
2 mg
B. √6−√2
4
mg
C. √6
3 mg
D. √6+√2
4
mg
题组2：数学解析法
4. （单选）战机水平飞行时可通过转动发动机尾喷口方向获得斜向上的推力，同时飞行过程由于机翼上下
表面压强差，飞机会受到垂直机身向上的升力。若战机水平匀速飞行时升阻比(即垂直机身向上的升力和平
行机身向后的阻力之比)为√3，已知战机重力大小为G，则战机水平匀速飞行时获得的最小推力为( )
A. G
5
B. G
4
C. G
3
D. G
2
5. （单选）如图为某科普博主带领同学们做实验的情景，有顶角θ不同的圆锥放在桌面上，现让同学们挑
战按图示那样用手压紧圆锥表面将其拿起。若手与圆锥体间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力可认为等
于滑动摩擦力。则以下不同顶角圆锥，有可能被拿起的是( )
6
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A. 90
∘
B. 74
∘
C. 60
∘
D. 45
∘
6. （单选）如图所示，一质量为M的物块在拉力F作用下，沿水平地面做匀速直线运动，拉力F与水平面
间的夹角为θ。已知该物块与水平地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，忽略空气阻力，则( )
A. 该物块受到地面的摩擦力为μMg B. 拉力F的大小为
μMg
cosθ+ μsinθ
C. 其他条件不变，θ越大，拉力F越小
D. 其他条件不变，θ越大，拉力F越大
7. 如图所示，粗糙水平地面上固定有一竖直光滑杆，杆上套有质量为m=0.4 kg的圆环，地面上放一质量
为M =2.5kg的物块，物块与地面间的动摩擦因数为μ=0.5，圆环和物块由绕过光滑定滑轮的轻绳相连，
连接圆环和物块的轻绳与竖直方向的夹角分别为α =37
∘，β =53
∘。认为物块与地面间的最大静摩擦力等于
滑动摩擦力，且g=10 N /kg，sin37
∘=0.6，sin53
∘=0.8，整个系统处于静止状态，求此时：
(1)绳子拉力大小；
(2)物块对地面的压力和摩擦力的大小；
(3)若m、M大小可调，为保持系统的平衡，求m
M 满足的范围。
题组3：极限分析法
8. （单选）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸
长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。
小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为( )
7
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A. 1
2 G
B. √2
2 G C. G
D. √2G
9. （单选）某弹簧锁的开锁原理如图1所示，当钥匙插入锁孔时，锁芯内弹簧被压缩成相同长度，此时转
动钥匙就能开锁。如图2所示，插入钥匙的过程可简化为：A沿光滑水平槽向右推动，使B沿光滑竖直槽向
上滑动。已知A、B间的接触面与水平方向夹45
∘角，且A、B间动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动
摩擦力，B的质量为m，重力加速度为g。为使B上移，则加在A上的水平力F的最小值为( )
A. mg
1+ μ B. mg
1−μ C. 1−μ
1+ μ mg D. 1+ μ
1−μ mg
10.如图所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，已知A、B质量分别为2kg
和0.8kg，轻绳绕过光滑的定滑轮与水平轻绳OP右端及轻绳BO上端连接于O点，轻绳OC段与竖直方向的
夹角θ =60
∘，斜面倾角α =30
∘，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/ s
2，求：
(1)OP、OC绳的弹力大小；
(2)物块A受到的摩擦力；
(3)若A物体质量不变，物体A与斜面间动摩擦因数μ= √3
6 ，为了使A和B始终在图示位置处于静止状态，
B物体质量要满足什么条件？
8
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9
